數(shù)列求與7種方法(方法全_例子多)13773

1、1、2、3、5、一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法n(a1 an)“ n(n -1)na1d2等差數(shù)列求和公式:等比數(shù)列求和公式:SnSnn(n 1)2nSn 八 k3k 4= y(1 -qn)1 2 燈n+1)例1已知log3 x解：由log3 x1 -qa1 a n q1 -q(q = 1)4、 & 八 k2 二1 n(n 1)(2n 1)6-，求x x2 x的前n項(xiàng)和.log2 3-1=logs x = -log3 2 =log 2 3由等比數(shù)列求和公式得Sn = xx2x3(利用常用公式)例 2設(shè) Sn= 1+2+3+ +n , n

2、N，求 f(n)解:由等差數(shù)列求和公式得Sn題1.等比數(shù)列Snf(n) ,n 32)Sn 1x(1 xn)1 -xSn1 12(1-班)_ 1 丄J _-歹2(n 32)Sn 1的最大值.1= -(n 1)( n 2)2(利用常用公式)2n 34n 641 1 . 1=冬n 3464(、n -8 )25050nIn 8、n ，即 n= 8 時(shí)，f (n) v8max150丄；的前n項(xiàng)和S n = 2n - 1,貝y - V '+ag -1)«* (2n -1) _- 3w" +解：原式=.L二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方

3、法主要用于求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例 3求和：& =1 3x 5x2 7x3（2n -1）xnJ 的通項(xiàng)之積解：由題可知，（2n- 1）xnJ的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列xn_1設(shè) xSn =1x 3x2 5x3 7x4 宀：(2nn-1)x（設(shè)制錯(cuò)位）得(x)Sn =1 2x 2x2 2x32x42xnJ -(2n - 1)xn（錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：（1 -x）Snn1 _ xh 2x(2n - 1)xn1 - x(1 - x)2c (2n -1)xn (2n 1)xn (1 x)Sn 口2 46例4求

4、數(shù)列一，2，亍廠2 22 23Q n 乍的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列222 23解：由題可知,丄的通項(xiàng)之積2設(shè)Sn2Sn自2n二2門12 2 亠232n2 n 1一亠.22 23 24122一得（1 一 ）Sn =22222=2吩_n Jl-1練習(xí)題1 已知，求數(shù)列 anS 二於2心二答案：r2422n2n2n 1（設(shè)制錯(cuò)位）（錯(cuò)位相減）的前n項(xiàng)和Sn.加2九2"+11 3 52-1 ' ' '' 練習(xí)題2 J J "-'的前n項(xiàng)和為S* = 3 一攀答案：I三、反序相加法求和，再把它與原這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的

5、方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(反序)數(shù)列相加，就可以得到 n個(gè)(a1 an).例 5求證：C0 3C： 5C；(2n 1)C：二(n 1)2n證明：設(shè) Sn =C0 3C； 5C2 - (2n 1)C： 把式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得(反序)Sn =(2 n 1)C： (2 n-1)C：3C： C；又由C；=C；可得Sn -(2n 1)C0 (2n-1)C：3C：-c； .(反序相加)+得 2S； =(2n+2)(C0 +C；十+C：+c；n) =2(n+1) 2；S； =(n 1) 2n例 6求 sin 1 sin 2 sinsin 88 sin 89 的值2Q2Q202。2。解：設(shè) S =sin 1

6、 +sin2+sin3 + +sin88+sin89 將式右邊反序得(反序)2 02。 2 0 202 0S = sin 89 sin 8s i n 3 s i n 2 s i n 1 .2 2(反序相加)又因?yàn)?sinx=cos(90 x),sin x cos x= 1+得n On On -Qn -QnOnO2S 二(sin 1 cos 1 ) (sin 2 cos 2 )- (sin 89 cos 89 ) = 89S= 44.5題1 已知函數(shù)(1)證明：I(2)110丿+/ 77 +/2? io丿的值.解：（i）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，后證明左邊=右邊【9(5 +/+ /二二/

7、+/而而，、帀UoJ<10;（2）利用第（1 ）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知,/ Q X則 2 +/11U丿兩式相加得:£二？所以 練習(xí)、求值:1(?17+*四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可1 1 1例7求數(shù)列的前n項(xiàng)和：11,4,-y 7,；u 3n -2 ,a aa1 1 1解：設(shè) Sn = (11)(4)( 27)爲(wèi)3n - 2)aaa將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得1 1三j) (14 7 -囂 3n _ 2)a± (3n 1)n(3n +1)n二 n=2 21

8、-丄an +(3n T)n a_a+ (3n_1)n1 _12 a-12a例8求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和.1Sn = (1-a當(dāng)a= 1時(shí),（分組）Sn解：設(shè) ak 二 k(k 1)(2k 1)二 2k 3k k（分組求和）（分組）（分組求和）這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:(1)an=f (n 1)-f(n)(2)sin1cosn cos(n 1)-=tan(n 1) -tann(3)ann(n 1)(4)(2n)2n _(21)(2n 1)2 2n 1

9、2n 1(5)ann(n -1)(n 2)1_ 2n(n 1) (n 1)(n 2)(7)(8)例9anan求數(shù)列n(n 1)2n2(n1) -nn(n 1)2nn -2n4(n 1)2n，則 &=1 -1(n 1)2n(An B)(A n C) C -B( A n B AnC)111223，-，的前n n 1n項(xiàng)和.32Sn 八 k(k 1)(2k 1)八(2k 3k k)k 4k 4將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得nnnSn= 2k3 3、 k2、kk 4k Ak 4=2(13 23 亠亠 n3) 3(12 22 亠亠 n2) (1 2 亠亠 n)2 2n (n 1) n(n 1)(2n

10、 1) n(n 1)2 2 2 n(n 1)2( n 2)2五、裂項(xiàng)法求和（裂項(xiàng)）解：設(shè)an（裂項(xiàng)求和）1 1 1貝V Sn = += 十，+ _1 + J2丘七 V3 亦 + Jn +1=(.2 - .1) ( .3 -、2) n 1 - n)=.、n 1 -1例 10在數(shù)列an中,an1 2+n 1n +n，又bna n an 1解:，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.an bnSnn 11 1 -8(- )n n 1（裂項(xiàng)）數(shù)列b n的前n項(xiàng)和1 11 1 1 1 1 皿（1一2）（廠3）（3蔦）（裂項(xiàng)求和）8n=8(1例 11求證:+cos0 cos1 cos1 cos 2解:設(shè)S -cos0

11、cos1 cos1 cos 2cos12cos88 cos89 sin 1cos88 cos89sin1tan(n 1) - tanncos n cos(n 1)（裂項(xiàng)）1 1 1 S1一一(裂項(xiàng)求和)cos0 cos1 cos1 cos 2cos88 cos891 = (tan 1 -ta nO ) (ta n2 - tan1 ) (tan3 - tan2 ) tan 89 - ta n88 sin 111cos1= (tan 89 -tanO ) = cot1 =2sin 1sin 1sin 1 原等式成立1 1 1練習(xí)題 1.4 + 4x7+-2)心+ 1)+ +練習(xí)題 2。，： r &

12、quot;/:=答案:六、分段求和法(合并法求和)針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這 些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cos1° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179° 的值.解：設(shè) Sn= cosl° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179° cosn 二-cos(180 - n )(找特殊性質(zhì)項(xiàng)) Sn= (cosl ° + cos179 &#

13、176; ) + ( cos2° + cos178 ° ) + ( cos3° + cos177 °) + + (cos89° + cos91 °) + cos90°(合并求和)=0例 13數(shù)列an: a = 1,a2 =3, a3 = 2,an 2 二 a* 1 - a* ,求 S2002.解：設(shè) S2002= a*i ' a2a' a2002由 ai - 1, a2 - 3, a3 = 2, an 2 an d _ an 可得a = -1, a5 = -3, a = -2,a7 1, a8 = 3a9 =

14、 2,a6k 1 - 1,a6k2 - 3,a6k3 - 2,4 =1,a6k 5 -_3,6 =2a6k 1 a6k 2 a6k 3 ' Osk .4 ' a6k 5a6k0(找特殊性質(zhì)項(xiàng))-S2002 = a1a2a3 丁 -a2002(合并求和)=佝 a?a?as)7a$%)6k 1ask2asks)+ (a1993 * Q994 +，'a1998)+ a1999 + a2000 * a2001 * a2002=a1999a2000a2001 a2002=a6k 1a6k 2a6k 3°6k 4=5解：設(shè) Sn nlogsd Iog3a2 亠Tog3a1

15、0由等比數(shù)列的性質(zhì)m n二p q= aman二apaq(找特殊性質(zhì)項(xiàng))和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)loga M loga N = log a M N 得Sn=(log3ailog3aio)(log3a2log?a?)-(logs a§log3 a6)(合并求和)=(logs ai aio) (logs a2 a?) - (logsas a6)=log3 9 log39 亠Tog3 9=io練習(xí)、求和:練習(xí)題i 設(shè)巳- U+-匚二*則r =練習(xí)題 2 .若 Sn = i-2+3-4+ +(-i) n-i n，則 Si7 + S33 + s 50 等于 ()A.iB.-iC.0D .2為奇)4為偶)

16、解：對(duì)前n項(xiàng)和要分奇偶分別解決，即：Sn= L 2答案：A練習(xí)題 3i002-992+982-972+22-i2 的值是A.5000B.5050C.i0i00D.20200解：并項(xiàng)求和，每?jī)身?xiàng)合并，原式=(i00+99)+(98+97)+ +(2+i)=5050.答案：B七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法1 1解：由于 11119999（10k -1）一；個(gè)廠9 一；個(gè)廠 9 111111X11n個(gè) 1111 1=(101 -1) (102 -1)(103 -1) (10n -1)（

17、找通項(xiàng)及特征）（分組求和）9999=9(10110210_初丄(1 11)9n個(gè)110(10n -1) n1019181(10n 1 _10_9 n)例16已知數(shù)列an: an8(n 1)(n3)OC,求a (n 1)(an -an 1)的值.n a解：（n 畑宀旳 1）（Tq-（T（找通項(xiàng)及特征）（設(shè)制分組）1 ) 8( 1 n 4n 3 n4）（裂項(xiàng)）1 ' (n 1)(an - an=4、(n 壬n T n 2丄)8丄-丄)n 4 n# n 3 n 4（分組、裂項(xiàng)求和）1=4 (3_ 13 3-) 844提高練習(xí)：1.已知數(shù)列Qn 中，Sn是其前n項(xiàng)和，并且設(shè)數(shù)列 bn 二 an, -2an（n =1,2,Sn 1 二 4an 2(n = 1,2,1 II), a1 = 1 ,求證：數(shù)列"bn是等比數(shù)列；