三垂線定理(一)

1、三垂線定理（一） 一、素質(zhì)教育目標(biāo)（一）知識教學(xué)點1三垂線定理及其逆定理的形成和論證2三垂線定理及其逆定理的簡單應(yīng)用（二）能力訓(xùn)練點1猜想和論證能力的訓(xùn)練2由線面垂直證明線線垂直的方法（線面垂直法）；3訓(xùn)練學(xué)生分清三垂線定理及其逆定理中各條直線之間的關(guān)系；4善于在復(fù)雜圖形中分離出適用的直線用于解題（三）德育滲透點通過定理的論證和練習(xí)的訓(xùn)練滲透化繁為簡的思想和轉(zhuǎn)化的思想二、教學(xué)重點、難點、疑點及解決方法1教學(xué)重點（1） 掌握三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直（2）掌握三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么

2、它也和這條斜線的射影垂直2教學(xué)難點：兩個定理的證明及應(yīng)用3教學(xué)疑點及解決方法（1）三垂線定理及其逆定理，揭示了平面內(nèi)的直線與平面的垂線、斜線及斜線在平面內(nèi)的射影這三條直線的垂直關(guān)系，其實質(zhì)是平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線（或斜線在平面內(nèi)的射影）垂直的判定定理（2）本節(jié)課的兩個定理，涉及的直線較多，學(xué)生在認(rèn)識和理解上都會存在困難，為了加深印象并說明復(fù)雜的直線位置關(guān)系，可以采用一些教具，或者讓學(xué)生準(zhǔn)備三根竹簽，按照教師的要求擺放在學(xué)生感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，進行理性的證明和記憶，有助于定理的掌握（3）三垂線定理是先有直線a垂直于射影AO的條件，然后得到a垂直于斜線PO的結(jié)論；而其逆定理則是已知直線a垂

3、直于斜線PO，再推出a垂直于射影AO在引用時容易引起混淆，解決的辦法是，構(gòu)造一個同時使用這兩個定理的問題，引導(dǎo)學(xué)生分清（4）教學(xué)核心是定理的形成教學(xué)，教學(xué)的指導(dǎo)思想是：遵循由具體探究抽象、由簡單到復(fù)雜的認(rèn)識規(guī)律，啟發(fā)學(xué)生反復(fù)思考，不斷內(nèi)化成為自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)三、課時安排本課題共安排2課時，本節(jié)課為第一課時四、學(xué)生活動設(shè)計三垂線定理及其逆定理的條件和結(jié)論都比較簡單，但應(yīng)用卻很廣泛，為了培養(yǎng)學(xué)生的能力，應(yīng)讓學(xué)生探索定理的命題形式，充分利用好手中的三根竹簽設(shè)計學(xué)生活動符合建構(gòu)主義的教學(xué)思想，也符合教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)思想；教師根據(jù)教學(xué)要求，提出問題，創(chuàng)設(shè)情景，引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想，主動發(fā)現(xiàn)，主動

4、發(fā)展，從而調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性五、教學(xué)步驟（一）溫故知新，引入課題師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和平面的垂直關(guān)系，學(xué)新課之前，讓我們作個簡單的回顧：1直線和平面垂直的定義？2直線和平面垂直的判定定理3什么叫做平面的斜線、斜線在平面上的射影？4已知平面和斜線l，如何作出l在平面上的射影？（板書）lA，作出l在平面上的射影（二）猜想推測，激發(fā)興趣師：根據(jù)直線與平面垂直的定義我們知道，平面內(nèi)的任意一條直線都和平面的垂線垂直，那么，平面內(nèi)的任意一條直線是否也都和平面的一條斜線垂直呢？（教師演示教具，用一個三角板的一條直角邊當(dāng)平面的斜線，一根包有色紙的竹竿擺放在桌面的不同位置當(dāng)作平面內(nèi)的不同直線，學(xué)生容易看出

5、它們不一定互相垂直）師：是否平面內(nèi)的任意一條直線都不和這條平面的斜線垂直呢？（教師將三角板的另一條直角邊平放在桌面上，并提示學(xué)生注意這條直角邊與平面的關(guān)系在平面上，與斜線的關(guān)系垂直）師：在平面上有幾條直線和這條斜線垂直？（學(xué)生可能會回答一條，也可能回答無數(shù)條，教師應(yīng)調(diào)整桌面上的竹竿位置，使其平行于三角板的直角邊，然后平行移動，并向?qū)W生說明，這些直線都與斜線垂直）師：平面內(nèi)一條直線具備什么條件，才能和平面的一條斜線垂直？（學(xué)生的直覺判斷是要與那條和桌面接觸的直角邊平行，這是正確的，但無多大用途；這時教師提醒學(xué)生注意斜線在平面內(nèi)的射影，并調(diào)整教具，將三角板的斜邊當(dāng)作平面的斜線，構(gòu)成垂線、斜線和射影

6、的立體模型；要求學(xué)生與同桌配合，擺放課前準(zhǔn)備的竹簽成教師示范的模型；然后在教師的引導(dǎo)之下觀察、猜想，與同桌的探討中發(fā)現(xiàn)了只要與斜線的射影垂直就和斜線垂直）（三）層層推進，證明定理師：猜測和實驗的結(jié)論不一定正確，那么你想怎樣證明這個猜想呢？（若用幻燈或投影儀，可以節(jié)省板書時間）已知：PA、PO分別是平面的垂線、斜線，AO是PO在平面求證：aPO師：這是證明兩條直線互相垂直的問題，你準(zhǔn)備怎么證明？分析：從直線和平面垂直的定義可知，要證兩條直線互相垂直，只要證明其中一條直線垂直于另一條直線所在的平面即可師：這個平面你找到了嗎？生：是平面PAO師：怎樣證明a平面PAO呢？生：只要證明a垂直于平面PAO

7、內(nèi)的兩條相交直線證明：說明：1定理的證明，體現(xiàn)了“由線面垂直證明線線垂直”的方法；2上述命題反映了平面內(nèi)的直線、平面的斜線和斜線在平面內(nèi)的射影這三條直線之間的垂直關(guān)系，這就是著名的三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直3改變定理的題設(shè)和結(jié)論，得到逆命題：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直可以用同樣的方法證明，這就是三垂線定理的逆定理（請學(xué)生簡要說明其證明方法和步驟）4定理中包含了三個垂直關(guān)系：PA，AOa，POa，看出三垂線定理名稱的來由5從定理的條件看，關(guān)鍵的是直線和平面的相對位置關(guān)系，而與平面本

8、身是否水平放置無關(guān)；在平面內(nèi)的直線a與斜線或斜線的射影的位置關(guān)系關(guān)鍵在于垂直；這樣直線a的如下四種位置關(guān)系，都是三垂線定理及其逆定理常見的情形6從定理的結(jié)論看，三垂線定理及其逆定理是判斷直線垂直的重要命題（四）初步運用，提高能力1（見課后練習(xí)題1）已知：點O是ABC的垂心，OP平面ABC求證：PABC（學(xué)生先思考，教師作如下點撥）（1）什么叫做三角形垂心？（2）點O是ABC的垂心可以得到什么結(jié)論？（3）可以考慮使用三垂線定理證明：你能找出本題中，應(yīng)用三垂線定理必須涉及到的幾個重要元素？生：首先先確定一個平面平面ABC，斜線是PA，PA在平面ABC上的射影是AD，AD垂直于BC，PABC師：他的

9、回答是否有缺漏？生：應(yīng)該交代BC是平面ABC上的一條直線師：對，這個交代是必需的?。ㄒ晫W(xué)生程度作適當(dāng)補充，用教具演示，還可以舉反例說明）證明：連接AO并延長交BC與D師：三垂線定理是證明空間兩條直線互相垂直的重要方法，上面的示例反映了應(yīng)用三垂線定理解題的一般步驟，即確定一個平面、平面的垂線、斜線和斜線在平面上的射影同時要注意的是平面內(nèi)的一條直線和射影垂直，有這條直線和斜線垂直（定理）；平面內(nèi)的一條直線和斜線垂直，有這條直線和射影垂直（逆定理），同學(xué)們必須理解掌握2（見課本例1）如果一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線上AC，PO，垂足分別是E、F、O

10、，PEPF求證：BAOCAO（學(xué)生思考，教師作適當(dāng)?shù)狞c撥）（1）在平面幾何中，證明點在角的平分線上的常規(guī)方法是什么？（2）PEPF給我們提供了什么結(jié)論？（3）所缺的垂直關(guān)系可以用三垂線定理或逆定理證明，你能列出證明所需的條件嗎？證明：3（課堂練習(xí)，師生共同完成）如圖1-91，點P為平面ABC外一點，PABC，PCAB，求證：PBAC分析：證明直線與直線垂直的問題，可以考慮三垂線定理及其逆定理，圖形中缺少的平面的垂線需要添加上去證明：過P作平面ABC的垂線，垂足為O，連結(jié)AO、BO、CO PABC，AOBC（三垂線逆定理）同理可證 COAB，O是ABC的垂心OBAC，PBAC（三垂線定理）（五）歸納小結(jié)，強化思想師：這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了三垂線定理及其逆定理，定理的證明方法是證明空間兩條直線互相垂直的基本方法，我們稱之為線面垂直法；還通過三個練習(xí)的訓(xùn)練加深了定理的理解，同時得到立體幾何問題解決的一般思路六、布置作業(yè)P216 練習(xí)4 2提高要求，完成以下兩個補充練習(xí)：1如圖1-92，PAABC所在平面，ABAC13，BC10，PA5，求點P到直線BC的距離參考答案：設(shè)BC的中點為D，連結(jié)PDABAC13，BC10，ADBC且AD12又PA平面ABC，PDBC即 PD的長度就是P到直線BC的距離而 PD132如圖1-93，l是平面的斜線，斜足