一、微分方程組

1、一、微分方程組一、微分方程組微分方程組微分方程組由幾個微分方程聯(lián)立而成的方程組由幾個微分方程聯(lián)立而成的方程組稱為微分方程組稱為微分方程組注意：注意：這幾個微分方程聯(lián)立起來共同確定了幾這幾個微分方程聯(lián)立起來共同確定了幾個具有同一自變量的函數(shù)個具有同一自變量的函數(shù)常系數(shù)線性微分方程組常系數(shù)線性微分方程組微分方程組中的每一個微分方程組中的每一個微分方程都是常系數(shù)線性微分方程叫做常系數(shù)線微分方程都是常系數(shù)線性微分方程叫做常系數(shù)線性微分方程組性微分方程組第十三節(jié)第十三節(jié) 常系數(shù)線性微分方程組解法舉例常系數(shù)線性微分方程組解法舉例步驟步驟: : 從方程組中消去一些未知函數(shù)及其各階導(dǎo)從方程組中消去一些未知函數(shù)

2、及其各階導(dǎo)數(shù)，得到只含有一個未知函數(shù)的高階常系數(shù)線性數(shù)，得到只含有一個未知函數(shù)的高階常系數(shù)線性微分方程微分方程二、常系數(shù)線性微分方程組的解法二、常系數(shù)線性微分方程組的解法解此高階微分方程解此高階微分方程, ,求出滿足該方程的未知求出滿足該方程的未知函數(shù)函數(shù). .把已求得的函數(shù)帶入原方程組把已求得的函數(shù)帶入原方程組, ,一般說來，一般說來，不必經(jīng)過積分就可求出其余的未知函數(shù)不必經(jīng)過積分就可求出其余的未知函數(shù)例例1 1解微分方程組解微分方程組 )2(.2)1(,23zydxdzzydxdy 由由(2)式得式得)3(21 zdxdzy設(shè)法消去未知函數(shù)，設(shè)法消去未知函數(shù)，y解解兩邊求導(dǎo)得，兩邊求導(dǎo)得，

3、)4(,2122 dxdzdxzddxdy把把(3), (4)代入代入(1)式并化簡式并化簡, 得得0222 zdxdzdxzd解之得通解解之得通解)5(,)(21xexCCz )6(.)22(21221xexCCCy 再把再把(5)代入代入(3)式式, 得得原方程組的通解為原方程組的通解為,)()22(2121221 xxexCCzexCCCy用用D表示對自變量表示對自變量x求導(dǎo)的運(yùn)算求導(dǎo)的運(yùn)算,dxd)(1)1(1)(xfyayayaynnnn 例如，例如，D用記號用記號可表示為可表示為)()(111xfyaDaDaDnnnn 注意注意: :nnnnaDaDaD 111是是D的多項(xiàng)式的多項(xiàng)

4、式可進(jìn)行相加和相乘的運(yùn)算可進(jìn)行相加和相乘的運(yùn)算例例2 2 解微分方程組解微分方程組 . 02222ydtdxdtydexdtdydtxdt用用記記號號D表表示示dtd, ,則則方方程程組組可可記記作作解解類似解代數(shù)方程組消去一個未知數(shù)類似解代數(shù)方程組消去一個未知數(shù),消去消去x 0)1()1(22yDDxeDyxDt()():)2()1(D ,3teyDx ():)3()2(D .)1(24tDeyDD ()teyDD )1(24()即即非齊線性方程非齊線性方程其特征方程為其特征方程為0124 rr解得特征根為解得特征根為,215,2514,32, 1 irr易求一個特解易求一個特解,tey 于是通解為于是通解為.sincos4321tttetCtCeCeCy ()將將()代入代入()得得.2sincos43332313tttetCtCeCeCx 方程組通解為方程組通解為 ttttttetCtCeCeCyetCtCeCeCxsincos2sincos432143332313注意：注意：