Maple在非線性方程求解中的應(yīng)用.kdh

1、Maple 在非線性方程求解中的應(yīng)用岳崇山1,景海斌2,張賀1(1.河北北方學(xué)院數(shù)學(xué)系,河北張家口075000;2.河北建筑工程學(xué)院數(shù)理系,河北張家口075000摘要:介紹了數(shù)學(xué)軟件Maple 因式分解和解方程軟件包Factorization and Solving Equations 的部分函數(shù),并利用Maple 圖形軟件包Graphics 的plot 函數(shù),通過(guò)具體的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),給出了求解一般非線性代數(shù)方程的比較快速的方法.關(guān)鍵詞:非線性方程;Maple ;浮點(diǎn)數(shù)解中圖分類號(hào):O151.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1673-1972(200706-0005-04Maple 是加拿大滑鐵盧大學(xué)

2、(University of Waterloo 和Waterloo Maple Software 公司注冊(cè)的一套為微積分、線性代數(shù)、微分方程、概率統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)分支研制開發(fā)的數(shù)學(xué)分析型的數(shù)學(xué)軟件,它的主要功能包括數(shù)學(xué)圖形的描繪、數(shù)值計(jì)算和符號(hào)處理等方面.有不少文獻(xiàn)對(duì)其進(jìn)行了不同方面的論述,如文獻(xiàn)1,2,3.本文僅從解非線性方程方面,來(lái)探究Maple 在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中的應(yīng)用.求解一般的非線性方程(或非線性方程組,傳統(tǒng)的方法是利用函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)(或偏導(dǎo)數(shù)的判斷單調(diào)性、凹凸性的幾何方法,以及利用牛頓迭代法為代表的數(shù)值方法4,它們分別存在精確度差和計(jì)算繁瑣的缺點(diǎn).本文利用Maple 的強(qiáng)大的繪圖功

3、能和計(jì)算能力,通過(guò)具體的例子,尋找求解非線性方程的一般方法.對(duì)于次數(shù)低于4的多項(xiàng)式方程,Maple 提供的solve (函數(shù)一般能解出其精確解或解析解.例如要求方程x 3+2x 2-5x-6=0的解,就可以在Maple 中輸入以下命令:輸入solve (x3+2*x2-5*x-6=0,x ,顯示x=-1x=2x=-3.而在數(shù)學(xué)上,5次方以上的多項(xiàng)式未必會(huì)有根式解,另外一些非線性方程也不一定有有理解,這些數(shù)學(xué)上的限制,使得solve(函數(shù)無(wú)法找到方程的解,例如要求方程x-x 4!"4-cos (x 5=0的解,在Maple 中輸入以下命令solve (x-(x/44-cos (x5=0

4、,x 時(shí),Maple 則顯示出一個(gè)非常復(fù)雜的解析表達(dá)式,從中很難得到有益的結(jié)果,而函數(shù)fsolve (則可以找出這個(gè)非線性方程式的浮點(diǎn)數(shù)解(以下簡(jiǎn)稱解.輸入fsolve (x-(x/44-cos (x5=0,x ,顯示x=0.8744267217.但是fsolve (函數(shù)每次只能找到方程的一個(gè)解,那么怎樣盡可能找到方程的全部解呢?下面通過(guò)具體的例子,尋找一種求非線性方程解的方法.首先介紹一下將要用到的Maple 中的函數(shù).1本文用到的Maple 中的函數(shù)solve (eqn ,var ,求解eqn 中的未知數(shù)var ;fsolve (eqn ,var ,求解eqn 中的未知數(shù)var ,并返回一

5、個(gè)浮點(diǎn)數(shù)解;fsolve (eqn ,var=x 0,從var=x 0來(lái)搜尋eqn 的解,并返回一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)解;plot (f (x ,x=xmin xmax ,從xmin 到xmax 繪出f (x 的函數(shù)圖.另外Maple 用inf inity 表示無(wú)窮大.關(guān)于這幾個(gè)函數(shù)更多的用法見(jiàn)文獻(xiàn)5.接下來(lái),舉幾個(gè)例子.收稿日期:2007-05-27作者簡(jiǎn)介:岳崇山(1979-,男,河北崇禮人,助教,碩士研究生,主要從事微分幾何、拓?fù)湟约皵?shù)學(xué)軟件研究.第9卷第6期石家莊學(xué)院學(xué)報(bào)Vol.9,No.62007年11月Journal of Shijiazhuang University Nov.20072例子

6、例1求方程x 212-6x=sin (x+8的解.解將方程改寫為x 212-6x-sin (x+8=0.設(shè)函數(shù)f 1(x =x 212-6x-sin (x+8,輸入f 1=x->x2/12-6*x-sin (x+8,再求(1式的一個(gè)解.輸入fsolve (f 1(x =0,x ,顯示x=-0.1662486925,接著在不同的范圍尋找(1式的解.先在區(qū)間-1,1的范圍內(nèi)繪出函數(shù)f 1(x 的圖形:輸入plot (f 1(x ,x=-1.1,顯示如圖1.如圖1顯示,(1式確實(shí)有解為x=-0.1662486925.但是(1式只有這一個(gè)解嗎?試著將搜尋的范圍擴(kuò)大.輸入plot (f 1(x ,

7、x=-inf inity -0.17,顯示如圖2.如圖2顯示,(1式在x<-0.17時(shí)是無(wú)解的.同樣,觀察0.5x 100時(shí),函數(shù)f 1(x 的圖形.輸入plot (f 1(x ,x=0.5.100,顯示如圖3.(1圖1函數(shù)f 1(x 在區(qū)間-1,1上的圖像圖2函數(shù)f 1(x 在區(qū)間-,-0.17上的圖像圖3函數(shù)f 1(x 在區(qū)間0.5,100上的圖像圖4函數(shù)f 1(x 在區(qū)間100,+上的圖像6420-1-0.50.51-2-4-6x石家莊學(xué)院學(xué)報(bào)2007年11月6岳崇山,景海斌,張賀:M aple 在非線性方程求解中的應(yīng)用如圖3所示,(1式在x=80附近還有一個(gè)解.輸入fsolve

8、(f 1(x =0,x=80,顯示71.83908018.那么,當(dāng)x>100時(shí),(1式還有其他解嗎?輸入plot (f 1(x ,x=100.inf inity ,顯示如圖4.如圖4所示,當(dāng)x>100時(shí),(1式?jīng)]有其他解了.那么x 1=-0.1662486925,x 2=71.83908018是否一定是(1式的解呢?這就需要進(jìn)行驗(yàn)根.方法很簡(jiǎn)單,只要將上述數(shù)值代入函數(shù)f 1(x ,如果f 1(x i -0<,(i=1,2則其即為(1式的解,這里是一個(gè)足夠小的正整數(shù).為此:輸入abs (f 1(-0.1662486925,abs (f 1(71.83908018,顯示1,10-

9、10,2.5,10-9.上面的數(shù)據(jù)表明,x 1=-0.1662486925,x 2=71.83908018確實(shí)為(1式的解.那么,為什么不一次繪出函數(shù)f 1(x 的全部圖形來(lái)尋找方程的解呢?不妨做個(gè)試驗(yàn).輸入plot (f 1(x ,x=-inf inity.inf inity ,顯示如圖5,這時(shí)Maple 繪制的圖形出現(xiàn)了失真現(xiàn)象.例2求方程sinh 2(x +cosh (x 2=6x-1的解.解首先,將方程改寫為sinh 2(x +cosh (x 2-6x+1=0.設(shè)函數(shù)f 2(x =sinh 2(x +cosh (x 2-6x+1,輸入f 2=sinh (x 2+cosh (x2-6*x

10、+1,接著求(2式的一個(gè)解.輸入fsolve (f 2(x =0,x ,顯示x=0.3568224931;其次,再在不同的范圍尋找(1式的解:輸入plot (f 2(x ,x=-1.1,顯示如圖6.輸入plot (f 2(x ,x=inf inity.0.3,顯示如圖7;輸入plot (f 2(x ,x=0.2.2,顯示如圖8;圖5Maple 繪制的(-,+上函數(shù)f 1(x 上的圖像(2圖6函數(shù)f 2(x 在區(qū)間-1,1上的圖像圖7函數(shù)f 2(x 在區(qū)間-,0.3上的圖像圖8函數(shù)f 2(x 在區(qū)間0.2,2上的圖像圖9函數(shù)f 2(x 在區(qū)間2,4上的圖像第6期7輸入fsolve (f 2(x

11、=0,x=1.4,顯示1.412520994;輸入plot (f 2(x ,x=2.4,顯示如圖9.如果繼續(xù)擴(kuò)大搜尋范圍,Maple 將提示數(shù)據(jù)溢出,如:輸入plot (f 2(x ,x=2.130,顯示Error ,Floating point overflow.Please shorten axes.這表明當(dāng)x 時(shí),函數(shù)f 2(x 增長(zhǎng)得非?？?與x 軸沒(méi)有交點(diǎn).下面進(jìn)行驗(yàn)根:輸入abs (f 2(0.3568224931,abs (f 2(1.412520994顯示0,1,10-10.上面的數(shù)據(jù)表明,x 1=0.3568224931,x 2=1.412520994確實(shí)為(2式的解.例3求

12、方程組1-x 2+y 2=02-x 2-y 2="0的解.解設(shè)變量f 3(x ,y =1-x 2+y 2=0,2-x 2-y 2=0.輸入f 3=1-x2+y2=0,2-x2-y2=0,在(x ,y -2,2×-2,2的范圍內(nèi)尋求(3式的解.輸入plotsimplicit(f 3(x ,x=-2.2,y=-2.2,scaling=CONSTRAINED 顯示如圖10.觀察圖10,有:輸入fsolve (f 3(x =0,x=-1,y=-0.7,顯示x=-1.224744871,y=-0.7071067812;輸入fsolve (f 3(x =0,x=-1,y=0.7,顯示y

13、=0.7071067812,x=-1.224744871;輸入fsolve (f 3(x =0,x=-1,y=-0.7,顯示y=-0.7071067812,x=1.224744871;輸入fsolve (f 3(x =0,x=-1,y=0.7,顯示y=0.7071067812,x=1.224744871.這樣,就找到了(3式的全部解,仿照例1與例2,也可以進(jìn)行驗(yàn)根,這里從略.3結(jié)論通過(guò)上面的3個(gè)例子,可以找到解非線性方程(或非線性方程組的一般方法,步驟如下:1將方程化成f (x =0(或f (x ,y =0的形式,再將方程左邊設(shè)為一個(gè)函數(shù)f (x ;2運(yùn)行指令fsolve (f (x =0,x

14、 ,求出方程的一個(gè)解x=x 0;3用函數(shù)plot (在區(qū)間x 0-,x 0+內(nèi)繪出函數(shù)f (x 的圖形,觀察函數(shù)圖形與x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),設(shè)為x 1,x 2,x 3;4運(yùn)行指令fsolve (f (x =0,x=x i ,求出方程f (x =0的精確解x=x i ,i=1,2,3;5利用3和4的結(jié)果改變x 0及的值,重復(fù)步驟3和步驟4,直到找到方程f (x =0的全部的解;6將解代入函數(shù)f (x 進(jìn)行驗(yàn)根.(下轉(zhuǎn)第36頁(yè)(3圖10方程組函數(shù)f 3(x 在-2,2×-2,2上的圖像石家莊學(xué)院學(xué)報(bào)2007年11月8(上接第8頁(yè)參考文獻(xiàn):1孫利霞.Maple 在線性代數(shù)中的可視化教學(xué)J.

15、長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)報(bào),2005,24(5:28-32.2王蕾,趙燕清,孫培安,等.Maple 在級(jí)數(shù)和廣義積分的應(yīng)用J.山東科學(xué),2007,20(1:65-68.3程瑤,李揚(yáng),李世奇.基于Maple 的原根及本原多項(xiàng)式的計(jì)算J.重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào),2005,22(2:27-29.4同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè)(第五版M.北京:高等教育出版社,2002.5洪維恩.數(shù)學(xué)魔法師Maple 6M.北京:人民郵電出版社,2001.(責(zé)任編輯梁志星Application of Maple in Solving Nonlinear EquationYUE Chong-shan 1,JING Hai-bin

16、2,ZHANG He 1(1.Department of Mathematics,Hebei North University ,Zhangjiakou ,Hebei 075000,China ;2.Department of M athematics &Physics ,Heibei Institute of Architecture &Civil Engineering Zhangjiakou ,Hebei 075000,China Abstract :The article presents part of functions of Factorization and S

17、olving Equations software package of Maple.It provides a relatively quick solution to an ordinary nonlinear algebraic equation by using plot function of Graphics package of the sofeware and mathematical experiments .Key words :nonlinear equation ;maple ;floating point solve 參考文獻(xiàn):1丘淦才.HPLC 測(cè)定土霉素片的含量J

18、.現(xiàn)代食品與藥品雜志,2006,16(2:30-31.2WILLIAM W ARMSTRON ,etal.Oxytetracycline Compositions.US:4259331J,1981-03-31.3Winfried Dornhofer ,Erwin Embrechts.Injection Solution for Intramuscular and Subcutaneous Administration to Animals.US:5753636J,1998-03-19.4國(guó)家獸藥典委員會(huì).中華人民共和國(guó)獸藥典(一部M.北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2005.(責(zé)任編輯李健飛Study

19、on the Preparative Process of Lon-Actin Oxytetracycline InjectionLI Jing ,CHANG Ming ,CHANG Yong-fang ,MOU Wei ,REN Lei(School of Chemical Engineering ,Shijiazhuang University ,Shijiazhuang ,Hebei 050035,China Abstract :In order to obtain the optimum production technique and technical parameter ,the preparation of Lon-Actin Oxyte