高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 命題的若干否定

1、命題的若干否定在形式邏輯中，我們把反映事物具有或不具有某種屬性或關(guān)系的思維形式叫做判斷表達(dá)判斷的語句叫命題在數(shù)學(xué)中，用語言、符號或式子表示的并且能區(qū)別真假的語句叫數(shù)學(xué)命題命題按能否分解可分為簡單命題和復(fù)合命題，按其所判斷的是事物的性質(zhì)或存在的關(guān)系可分為性質(zhì)命題和關(guān)系命題在數(shù)學(xué)證明中，準(zhǔn)確無誤地寫出一個命題的否定式是十分重要的一、簡單命題的否定1性質(zhì)命題的否定每一個性質(zhì)命題都由主項(xiàng)、謂項(xiàng)、量項(xiàng)、聯(lián)項(xiàng)四部分組成，其中立項(xiàng)表示被判斷的對象；謂項(xiàng)表示主項(xiàng)的性質(zhì)；量項(xiàng)表示主項(xiàng)的數(shù)量，分為全稱量項(xiàng)和特稱量項(xiàng)，全稱量項(xiàng)常用“一切”、“所有”、“每一個”、“任意一個”等詞語表達(dá)，特稱量項(xiàng)常用“有些”、“存在”

2、、“至少有一個”等詞語表達(dá)；聯(lián)項(xiàng)表示主項(xiàng)與謂項(xiàng)的聯(lián)系，分為肯定聯(lián)項(xiàng)與否定聯(lián)項(xiàng)，前者常用“是”、“有”表示，后者常用“不是”?！皼]有”表示如命題“至少有一個質(zhì)數(shù)不是奇數(shù)”中，“質(zhì)數(shù)”為主項(xiàng)，“奇數(shù)”為謂項(xiàng)，“至少有一個”為量項(xiàng)，“不是”為聯(lián)項(xiàng)性質(zhì)命題除全稱命題和特稱命題外，還有一種命題叫做單稱命題，它的主項(xiàng)的外延不是一類事物，而是單獨(dú)的個體單稱命題的否定極為簡單，只要否定“聯(lián)項(xiàng)”即可例如“2是偶數(shù)”的否定為“二不是偶數(shù)”；“小王不是團(tuán)員”的否定為“小王是團(tuán)員”而全稱命題和特稱命題的否定，一般要對“量項(xiàng)”和“聯(lián)項(xiàng)”同時(shí)進(jìn)行否定，全稱與特稱互為否定，肯定與否定互為否定例如，命題“一切矩形是平行四邊形

3、”的否定為“存在一個矩形不是平行四邊形”；命題“至少有一個質(zhì)數(shù)不是奇數(shù)”的否定為“所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)”特別要注意的是，由于全稱量項(xiàng)表示主項(xiàng)的全部外延，往往可以省略不寫，從而在作命題否定時(shí)易將全稱命題誤當(dāng)為單稱命題處理而出錯，如將命題p“實(shí)數(shù)的絕對值是正數(shù)”否定 寫成“實(shí)數(shù)的絕對值不是正數(shù)”這就錯了很顯然，這里的“p”與“ ”都是假命題，“ ”復(fù)合命題的真值表相矛盾究其原因，命題p為全稱命題而不是單稱命題，省略了量詞“所有”，正確的否定形式是“存在一個實(shí)數(shù)的絕對值不是正數(shù)”事實(shí)上由于實(shí)數(shù)是一個全稱概念，命題p應(yīng)為“實(shí)數(shù)的絕對值（都）是正數(shù)”故其否定形式亦可寫成“實(shí)數(shù)的絕對值不都是正數(shù)”另外，我們

4、常用“都是”表示全稱肯定，用“不都是”表示特稱否定，這兩者互為否定；而用“都不是”表示全稱否定，它的否定形式應(yīng)特稱肯定，可用“至少有一個是”來表達(dá)2關(guān)系命題的否定關(guān)系命題由主項(xiàng)、謂項(xiàng)和量項(xiàng)三部分組成，主項(xiàng)是存在某種關(guān)系的對象，謂項(xiàng)是對象之間的某種關(guān)系，量項(xiàng)表示主項(xiàng)的數(shù)量（用全稱量詞和特稱量詞表示）關(guān)系命題的否定與性質(zhì)命題的否定相似，需要對“謂項(xiàng)”和“量項(xiàng)”同時(shí)進(jìn)行否定，例如命題“對任意實(shí)數(shù)x，都有”的否定是“存在一個實(shí)數(shù)x，使得”；命題“至少有一個銳角，使”的否定是“對所有的銳角，都有”和性質(zhì)命題類似，作命題否定時(shí)，不能把省略量詞的全稱命題當(dāng)作單稱命題去做，例如命題“自然數(shù)的平方大于零”的否定

5、不是“自然數(shù)的平方不大于零”，而是“存在一個自然數(shù)的平方不大于零”二、復(fù)合命題的否定復(fù)合命題有五種基本形式，分別用五個邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”、“且”、“或”、“若則”、“等值”（ ）由命題p或q組成1非命題的否定“”是對命題“p”的否定，命題“”與命題“p”的真假正好相反對“”的否定，就是對命題“p”的否定之否定，因此，命題“p”與命題“”具有相同的真值，邏輯學(xué)上稱為邏輯等價(jià)或等價(jià)命題故“p”可作為“”的否定（有特殊要求的除外）例如命題“不是有理數(shù)”的否定是“是有理數(shù)”，命題“不是每個人都會開車”的否定是“并非不是每個人都會開車”即“每個人都會開車”2聯(lián)言命題的否定用聯(lián)結(jié)詞“且（）”聯(lián)結(jié)兩個命題p、

6、q構(gòu)成的復(fù)合命題“”稱為聯(lián)言命題當(dāng)且僅當(dāng)p、q，p、q皆真時(shí)為真聯(lián)言命題的否定可根據(jù)德摩根律“”來寫，例如命題“2是質(zhì)數(shù)且是偶數(shù)”的否定為“2不是質(zhì)數(shù)或不是偶數(shù)”；命題“某班至少有一個同學(xué)既不會唱歌又不會跳舞”的否定為“某班所有的同學(xué)或者會唱歌或者會跳舞”，即“某班沒有一個同學(xué)既不會唱歌又不會跳舞”3選言命題（）的否定用聯(lián)結(jié)詞“或（）”聯(lián)結(jié)兩個命題p、q，構(gòu)成的復(fù)合命題“”稱為選言命題當(dāng)且僅當(dāng)p、q皆假時(shí)為假與聯(lián)言命題類似，選言命題的否定可根據(jù)德摩根律“”來寫，例如，命題“123是2的倍數(shù)或是3的倍數(shù)”的否定為“123不是2的倍數(shù)且不是3的倍數(shù)”；命題“全班同學(xué)都是三好生或共青團(tuán)員”的否定是“

7、全班同學(xué)中至少有一個同學(xué)不是三好生且不是共青團(tuán)員”必須說明的是，日常生活中的“或”有兩種意義：可兼的和不可兼的而在命題中的“或”是可兼的4假言命題（）的否定用聯(lián)結(jié)詞“若則”聯(lián)結(jié)兩個命題p、q，構(gòu)成的復(fù)合命題“若p則 ”稱為p、q的蘊(yùn)含式或稱假言命題當(dāng)且僅當(dāng)p真q假時(shí) 為假由命題演算定律：，可寫出假言命題（）的否定例如，命題“若，則”（省略量詞的全稱命題）的否定是“有在實(shí)數(shù)x和y，使且；命題“若a和b是偶數(shù)，則 是偶數(shù)”的否定是“存在數(shù)a和b是偶數(shù)，且不是偶數(shù)”必須注意，假言命題的否命題與該命題的否定是兩個不同的概念首先，對象不同，否命題僅針對假言命題而言，而任一命題都可以寫出它的否定其次，命題的否定式是原命題的矛盾命題，兩者一真一假，而假言命題的否命題則木然，與原命題的真假可能相反也可能相同如上述命題“若a和b是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題是“若a或b不是偶數(shù)，則不是偶數(shù)”，仍是全稱命題，而其否定式“存在數(shù)a和b是偶數(shù)，且不是偶數(shù)”是一個特稱命題5等值式命題（）的否定用聯(lián)結(jié)詞“等值”聯(lián)結(jié)兩個命題p、q，構(gòu)成的復(fù)合命題“p等值”稱為p、q的等值式當(dāng)且僅當(dāng)p、q具有相同的真假值時(shí)為真等值式“”的語言表達(dá)也有多種形式，如p當(dāng)且僅當(dāng)q；p是q的充分必要條件；若p則q并且若q則p等值式命題（）的否定比較簡單，只要否定“聯(lián)項(xiàng)”即可例如命題是實(shí)數(shù)一元二次方程有實(shí)根的充分必要