畢業(yè)論文拉格朗日中值定理的應用

1、本科畢業(yè)論文設計題目： 拉格朗日中值定理的應用 學生姓名： 任雯蕾 學號： 201000820223 專業(yè)： 信息與計算科學 指導教師： 范進軍 學 院： 數(shù)學科學學院 1 2014 年 5 月 8 日畢業(yè)論文（設計）內(nèi)容介紹論文（設計）題 目拉格朗日中值定理的應用選題時間20131125完成時間201458論文（設計）字數(shù)8000關 鍵 詞拉格朗日中值定理、應用、極限、收斂論文（設計）題目的來源、理論和實際意義：以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個微分學地理論基礎，而拉格朗日中值定理是這幾個中值定理中最重要的一個，具有中值性，在微分中值定理和高等數(shù)學中有著承上啟

2、下的重要作用。中值定理的主要用于理論分析和證明，例如為利用導數(shù)判斷函數(shù)取極值、單調(diào)性、拐點、凹凸性等多項重要函數(shù)性態(tài)提供重要理論依據(jù)，從而可以把握函數(shù)圖像的各種幾何特征?？傊⒎种兄刀ɡ硎菧贤▽?shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的重要工具。拉格朗日中值定理作為微分中值定理中一個承上啟下的一個定理，研究其定理的證明方法，力求正確地理解和掌握它，并在此基礎上深入了解它的一些重要應用，是十分必要的，鑒于課本中對拉格朗日中值定理的應用只是簡單的舉了例子，而很多研究者也只是研究了它在某個方面的特殊應用，并沒有進行系統(tǒng)的總結，有鑒于此，本文將對其應用進行了深入的總結。論文（設

3、計）的主要內(nèi)容及創(chuàng)新：課本中對拉格朗日中值定理的應用只是簡單的舉了例子，而很多研究者也只是研究了它在某個方面的特殊應用，因而本文對拉格朗日中值定理的理解進行了深入的分析，介紹了它的幾種證法，并在此基礎上就拉格朗日中值定理的應用進行了系統(tǒng)的總結。附：論文（設計）本人簽名： 任雯蕾 2014 年 5 月 8 日 目 錄中文摘要.1英文摘要.2引言.3一、拉格朗日中值定理及其證明.31.定理內(nèi)容.3 2.定理意義.3 3.定理證明.4二、拉格朗日中值定理的應用.4 1.利用拉格朗日中值定理證明不等式.5 2.利用拉格朗日中值定理證明等式.6 3.利用拉格朗日中值定理求極限.7 4.利用拉格朗日中值定

4、理判別級數(shù)斂散性.8 6.利用拉格朗日中值定理估值.9 7.利用拉格朗日中值定理延吉函數(shù)性態(tài).10 8.利用拉格朗日中值定理判斷根的存在性.12三、結束語.14參考文獻.14 拉格朗日中值定理的應用任雯蕾（山東師范大學 ，數(shù)學科學學院， 信息與計算科學， 2010級2班）摘要：以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個微分學的重要理論基礎，而拉格朗日中值定理因其中值性是幾個中值定理中最重要的一個，在微分中值定理和高等數(shù)學中有著承上啟下的重要作用。中值定理的主要用于理論分析和證明，例如利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、凹凸性、取極值、拐點等項重要函數(shù)性態(tài)提供重要理論依據(jù)，從而把

5、握函數(shù)圖像的各種幾何特征?？傊?，微分學中值定理是溝通導數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的重要工具。而拉格朗日中值定理作為微分中值定理中一個承上啟下的一個定理，研究其定理的證明方法，力求正確地理解和掌握它，并在此基礎上深入了解它的一些重要應用，是十分必要的，鑒于課本中對拉格朗日中值定理的應用只是簡單的舉了例子，而很多研究者也只是研究了它在某個方面的應用，并沒有進行系統(tǒng)的總結，有鑒于此，本文將對其應用進行了深入的總結。關鍵詞：拉格朗日中值定理；應用；極限；收斂 Applications of Lagranges mean value theoremRen Wenlei

6、(Class 2 Grade 2010 , Information and Computing Science, School of Mathematical Science, Shandong Normal University) Abstract：A group of mean value theorem which includes Rolles mean value theorem , Lagranges mean value theorem and Cauchys mean value theorem is the theoretical basis of the different

7、ial calculus. And Lagranges mean value theorem is the most important one of these mean value theorems because of its property median and continuity. Mean value theorems main function include theory analysis and proof, such as providing theoretical basis for judging function monotonicity, convexity,

8、inflection point， and calculating extreme value by derivative, so that we can grasp the various geometric characteristic function image. All in all, differential mean value theorem is the communication bridge between the derivative value and the function value. And it is even the tool of inferring t

9、he whole nature of function by the local nature of derivative. As a structure connecting ecosystem and individuals in differential mean value theorem, it is very important to research Lagranges mean value theorems way to prove, understand and master it correctly, even keep gaining insight into its i

10、mportant applications. There is no special explanation about the applications of Lagranges mean value theorem and many researchers also just studied it in some applications and no systematic summary. This article will give the in-depth summary.Keywords：Lagranges mean value theorem; Application; Limi

11、t; Convergence拉格朗日中值定理的應用引言： 羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式因其中值性，是微分學的重要的和基本的定理,所以統(tǒng)稱微分中值定理，以拉格朗日中值定理作為中心，它們之間的密切關系可用示意圖表示如下：羅爾定理拉格朗日定理柯西定理泰勒公式 特例 推廣 以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個微分學的理論基礎，特別是拉格朗日中值定理。因為它建立了導數(shù)值與函數(shù)值之間的定量聯(lián)系，因而可用中值定理通過導數(shù)從而研究出函數(shù)的性態(tài)。中值定理的主要用于理論分析和證明，例如為利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、凹凸性、拐點、取極值等各項重要函數(shù)性態(tài)提供重要理論依據(jù)

12、，從而可以準確的把握函數(shù)圖像的各種幾何特征。總之，微分中值定理是溝通函數(shù)值與導數(shù)值之間的重要橋梁，是利用導數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具。而拉格朗日中值定理作為其中一個承上啟下的定理，力求正確地理解和掌握它，并在此基礎上深入了解它的一些重要應用，這是十分必要的。一、拉格朗日中值定理及其證明1.定理內(nèi)容： 若函數(shù)滿足如下條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導；則在內(nèi)至少存在一點，使。2. 幾何意義： 函數(shù)在區(qū)間上的圖形是連續(xù)光滑曲線弧 上至少有一點，曲線在點的切線平行于弦。如圖 3.定理證明：（1）教材證法從拉格朗日中值定理的條件與結論可見，若在閉區(qū)間兩端點的函數(shù)值相等，即，則拉格朗日中值定

13、理就是羅爾中值定理（如果函數(shù)滿足條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導；（3）,則在內(nèi)至少存在一點 ,使得）。 換句話說，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個特殊情形。所以，我們只須對函數(shù)作適當變形，便可借助羅爾中值定理導出拉格朗日中值定理.證明：作輔助函數(shù) 顯然，函數(shù)滿足在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，而且于是由羅爾中值定理知道，至少存在一點，使.即.（2）用作差法引入輔助函數(shù)法證明：作輔助函數(shù) ，顯然，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，。因此，由羅爾中值定理得，至少存在一點，使得，即 二、拉格朗日中值定理的應用拉格朗日中值定理作為微分中值定理的核心，有著廣泛的應用，主要有以下幾個方面：利用

14、拉格朗日中值定理證明等式和不等式、利用拉格朗日中值定理求極限、證明級數(shù)收斂、研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)、估值等問題。1.利用拉格朗日中值定理證明不等式例1當x0時，證明。證明：做輔助函數(shù)。 函數(shù)在定義域上可導，故對于0,有在閉區(qū)間 上連續(xù)，在開區(qū)間上可導。 則至少存在一點，使得=, 而，。 當0時，有，即， 又當時，有， 所以得證。 對于證明不等式， 關鍵怎樣構造函數(shù)， 其后巧用拉格朗日中值定理， 畫龍點睛恰到好處。例2已知0，證明。證明：做輔助函數(shù)。 由于函數(shù)在上連續(xù)可導，且， 于是當0時，在閉區(qū)間內(nèi)可導， 即滿足拉格朗日中值定理的條件。 所以，使得。 有（1）。 又在上單調(diào)遞減， 所以當0時，

15、有0， 即轉化成(2)。 綜合（1）、（2）可得成立。 綜上所得當0，。 拉格朗日定理的應用使本題簡化了計算量，對于構造函數(shù)也比較簡單，其優(yōu)勢表現(xiàn)的淋漓盡致。2. 利用拉格朗日中值定理證明等式（包含恒等式和等式）例 3證明 恒等。證明：令， 則在時有意義，且 。 在時，（為常數(shù)）。 又取內(nèi)任一點，如，有， 且，所以端點值也成立， 有推論恒等。 由拉格朗日中值定理知，函數(shù)在定義域內(nèi)取兩點，（不妨設）有。那么若恒為0，則有，所以，由的任意性可知，在定義域內(nèi)函數(shù)值恒等。例4 設在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，試求，使得.證明：令， 則在上滿足拉格朗日中值定理條件， 故存在，使得。 由條件，可得。 再令， 則

16、在上滿足拉格朗日中值定理條件。 故存在，使得， 綜合上述兩式可得即。用拉格朗日中值定理證明等式也是它的應用中很重要的一項，證明的目標在于湊出形式類似于拉格朗日中值定理的式子，尋找機會應用。3.利用拉格朗日中值定理求極限例5 求極限 。解：分母是兩式相減的情形，可構造， 易知函數(shù)在區(qū)間上是符合定理條件的。 所以，其中，當時，。 所以。在有些求極限問題當中，用常規(guī)方法很難入手，但是運用拉格朗日中值定理卻可以迎刃而解，尤其是一些比較復雜的分式的極限計算問題。例6證明如果函數(shù)在R上可導，極限。證明：運用拉格朗日中值定理 于是有。 0）收斂。證明：做輔助函數(shù)，則有， 當時在閉區(qū)間上用拉格朗日中值定理得到

17、 ， 。 由，所以原題得證。5. 利用拉格朗日中值定理估值 對于證明估值問題，尤其是二級或者二級以上的導函數(shù)估值， 一般情況下通常選用泰勒公式證明比較簡便。 但是對于某些積分上的估值，可以采用拉格朗日中值定理中值定理來證明。 例9 設導函數(shù)在上連續(xù)，且有，記M=max設設導函數(shù)f(x)在a,c上連續(xù)且f(a) = f(b) = 0, 記M = 。求證：。 證明: 對任意的b a,c, 由拉格朗日中值定理可知: = = =。 令，則有， 所以，原題得證，即。例10設在上連續(xù)，且，試證。 證明：若，不等式顯然成立。 若不恒等于零，使，在及 上分別用拉氏中值定理，有從而得： 。 再利用， 即得所證。

18、6.利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)性態(tài) 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導，則在上（若在與之間），這可視為函數(shù)的一種變形，它建立了函數(shù)與導數(shù)的關系，我們可以用它來研究有關函數(shù)性態(tài)，如函數(shù)的一致連續(xù)、單調(diào)性等.（1）一致連續(xù)例11 證明如果在上可導，且，有, 其中為常數(shù)，則在上一致連續(xù).證明 ：，在以為端點的區(qū)間上， 有 ，且介于之間。 再利用已知條件，有 即 在 上滿足Lipschitz條件， 則在上一致連續(xù)。（2） 單調(diào)性例12 試證：若函數(shù)在 上可導，單調(diào)遞增，且，則函數(shù)在上單調(diào)遞增。證明：對任意的，且 ，則在和上均滿足 拉格朗日中值定理，于是分別存在， 使 。 由于 單調(diào)遞增，且 ，所以 ， 即： ，通

19、分移項整理得 ， 即函數(shù)在上單調(diào)遞增。（3） 有界性例13設在內(nèi)可導且有界，試證在有界證明：任取，有拉格朗日中值定理知： （在之間）， 可得： +， 式中是在內(nèi)的界，有， 即在內(nèi)有界。7. 利用拉格朗日中值定理證明方程根的存在性 運用拉格朗日中值定理證明根的存在性的關鍵在于：構造輔助函數(shù)，運用拉格朗日中值定理或者它的特殊形式羅爾中值定理與連續(xù)函數(shù)的介值性等證明根的存在性。例14設在上可導，且對于內(nèi)的所有點，有證明方程在內(nèi)有唯一實根。證明：存在性：令則在上可導，又 因，且， 故由介值定理得在內(nèi)至少有一個零點， 即方程在（0,1）內(nèi)至少有一實根。 唯一性：設方程在內(nèi)有兩個實根，不妨設 則有因在上滿

20、足拉格朗日中值定理，所以至少存在一點使 。 即在內(nèi)是少存在一點，使得這與題設矛盾。 所以 ， 假設不成立，即方程在內(nèi)有唯一實根。例15設在可導，且對任何，都有 ，又，試證明在內(nèi)，方程有唯一實根。 證明：（存在性）令在 利用零點定理易證。 （唯一性）反證法，假設有兩個實根，使得。 不妨設 在 上對應用拉格朗日中值定理，有 。 這與矛盾， 故結論得證。三、結束語本文從數(shù)學分析中幾個比較常用的方法出發(fā)，總結了拉格朗日中值定理的證明方法，又從高等數(shù)學中比較常用的幾個方面，概述了拉格朗日中值定理的一些重要應用，以便使讀者能夠更好的理解和掌握拉格朗日中值定理。鑒于拉格朗日中值定理的應用是一個非常龐大的、復

21、雜的研究課題，并且因為我自身理論、能力等諸多方面的不足，造成本文當中還有很多不足和無法涉及到的方面和內(nèi)容。對于本文對拉格朗日中值定理的應用的某些相關論述所產(chǎn)生的不可避免的諸多不足、漏洞，懇請各位老師予以批評和改正，以使學生能夠更好的進步。參考文獻：1 華東師范大學數(shù)學系數(shù)學分析（第三版）（上冊）M北京：高等教育出版社，2001，119-1212 華東師范大學.數(shù)學分析習題解析M陜西：陜西師范大學出版社，2004，87-913 裴禮文. 數(shù)學分析中的典型問題與方法M. 北京: 高等教育出版社, l993.4 韓應華，姚貴平等. 微分中值定理的應用及推廣J.內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學學報，2009,95 朱智

22、和.微分中值定理在解題中的若干應用J. 紹興文理學院學報，2009,126 劉坤林，譚澤光.大學數(shù)學概念、方法與技巧M.北京：清華大學出版社,2006, 67-707 沈樹民微積分解題分析上M.南京：江蘇科學技術出版社，2008，140.8 余慶紅.中值定理的應用探討D.西安航空技術高等?？茖W校學報，2007（25）：34-36.9 錢吉林.數(shù)學分析題解精粹M武漢：崇文書局，2003，61-8310 G.A.BeauchampCurriculum Theory（2nd）JPeacock Press，1986，6-611 G波利砸，涂泓譯怎樣解題數(shù)學M上海：上海科技教育出版社，2002，6-6.

23、12 周煥芹.淺談中值定理在解題中的應用J.高等數(shù)學研究，1999,2(3),30-32.13 Pullman N.J, Positive definite matrices, AmerMath MonthlyJOxford University Press, Aug 2000, 259 264 山東師范大學本科畢業(yè)論文（設計）題目審批表學院：數(shù)學科學學院(章) 系別/教研室：信息與計算 時間： 2013 年 11月 25 日課題情況題目名稱拉格朗日中值定理的應用課題性質(zhì)A基礎研究 B基礎應用研究 () C應用研究教師姓名范進軍職稱教授學位碩士課題來源A.科研 B.生產(chǎn) C.教學 D. 學生自

24、擬() E. 其它成果類別A.論文() B.設計主要研究內(nèi)容與研究目標在文章中我首先介紹了拉格朗日中值定理及其證明，并在此基礎上深入研究并系統(tǒng)總結了其應用，包括利用拉格朗日中值定理證明等式、不等式、求極限、證明級數(shù)收斂、證明根的存在性、估值、研究函數(shù)性態(tài)等等 指導教師（簽名）： 年 月 日 選題學生（簽名）： 年 月 日系所或教研室審題意見負責人（簽名）: 年 月 日學院審批意見學院學位分委員會主任（簽名）: 年 月 日表4（學生用）山東師范大學本科畢業(yè)論文（設計）開題報告 論文題目： 拉格朗日中值定理的應用 學院名稱： 數(shù)學科學學院 專 業(yè)： 信息與計算科學 學生姓名： 任雯蕾 學 號： 2

25、01000820223 指導教師： 范進軍 2013年 12 月 16 日1、 選題的性質(zhì) 基礎應用的性質(zhì)二、選題的目的和意義 拉格朗日中值定理是微分學上的重要、基礎定理之一，是溝通導數(shù)及其函數(shù)之間關系的橋梁，是利用導數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的有力工具，從拉格朗日中值定理的思想出發(fā)，學習構造輔助函數(shù)的方法，對于進一步學習數(shù)學有深遠意義。三、與本課題相關的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，預計可能有所創(chuàng)新的方面 研究現(xiàn)狀：課本中關于拉格朗日中值定理的應用并沒有專門的講解，而很多學者也只是研究了某一方面的應用，并沒有進行深入、系統(tǒng)的總結。 有所創(chuàng)新的方面：先給出拉格朗日中值定理的本質(zhì)，深入了解拉格朗日中值定理

26、及其證明過程，并在此基礎上總結它的廣泛應用及其重要作用。4、 課題研究的可行性分析 大學期間，我們學習了數(shù)學分析、數(shù)學學分析方法等課程，并在論文準備期間閱讀了很多關于這方面的資料，為我在這個課題上能夠獲得成績打下了堅實的基礎，而且我們的這兩門課程的老師都十分注重教授給同學們關于數(shù)學分析一些基礎應用方面的東西，授課時給我們補充了大量的關于應用的內(nèi)容，耳濡目染，使得我能對拉格朗日中值定理的應用做出十分系統(tǒng)的總結。五、課題研究的策略、方法和步驟 思路：首先敘述拉格朗日中值定理內(nèi)容和該定理的證明，在此基礎上再使用拉格朗日中值定理來求極限、證明恒等式、證明不等式、研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)、估值、證明方程根

27、的存在性，深入理解該定理 方法：打算采用文獻研究法、演繹推理、邏輯推理、反證法等多種方法步驟。 六、預期成果形式描述 預計形成8000字左右的論文7、 指導教師意見指導教師（簽名）：年 月 日8、 學院學位分委員會意見 學院學位分委員會主任（簽名）： 年 月 日表5（學生教師合用）山東師范大學本科畢業(yè)論文（設計）教師指導記錄表學院： 數(shù)學科學學院 系別： 信息與計算 專業(yè)： 信息與計算科學 論文（設計）題目：拉格朗日中值定理的應用學生姓名任雯蕾學號201000820223指導教師范進軍職稱教授計劃完成時間：2014-5-6指導情況紀錄（含指導時間、指導內(nèi)容） 范進軍導師在先后幾次見面中都對我提

28、出了許多寶貴和有價值的建議，我對他的建議非常重視，并且都有仔細記錄并且認真思考，我總結了一下幾點：1.主要指導內(nèi)容： 與學生進行初步談話，確定論文寫作的大致方向，包括涉及到的主要結構等，經(jīng)過分析、帥選，確定最終的選題。 2014年1月6號2. 主要指導內(nèi)容： 下達任務，知道學生根據(jù)任務書，查閱、收集、整理文獻，開展調(diào)研，確定思路，并指導學生完成開題報告，同時指導學生將畢業(yè)設計（論文）題目匯總表（初選）報教務處。 2014年1月9號3. 主要指導內(nèi)容： 導 學 生 論 文 初 稿 的 撰 寫 和 批 改 。主 要 是 對 論 文 結 構 的 指 導，還 包 括 ：內(nèi) 容 是 否 與 論 點 和

29、論 題 相 關，論 點 的 闡 述 是 否 完 整 ， 指 導 學 生 文 章 中 邏 輯 混 亂 的 地 方 ，并 指 導 修 改 常 見 的 語 法 錯 誤 和 表 述 錯 誤 。另 外 指 出 學 生 抄 襲 的 地 方 ，指 導 其 改 正 、重 寫 。 2014年3月7號4. 主要指導內(nèi)容：組織學生進行畢業(yè)設計（論文）中期檢查，并完成論文第二稿的批閱和修改。主要指導學生第一稿中尚未修改的遺留問題，還包括論文中存在的其他新的問題。進一步完善論文的寫作，指導學生刪減和添加的部分，使其文章更加具體，完整。 2014年4月18號5. 主要指導內(nèi)容： 完成論文三稿的修改和定稿工作，指導學生論文

30、中遺留的問題，進一步審查了論文中的細節(jié)部分，包括字體大小，文章編排，指導學生仔細閱讀畢業(yè)論文的格式要求，并完全按照標準完成論文。完成畢業(yè)設計（論文）的批閱、評閱，答辯資格審查和答辯安排，并將答辯安排報教務處。 2014年5月4號 指導教師（簽名）： 學生（簽名）：學院學位分委員會主任（簽名）： 年 月 日注：本科論文（設計）的指導應不少于5次，如表格空間不足可另附頁。指導教師意見（包括選題的意義，資料收集或?qū)嶒灧椒?、?shù)據(jù)處理等方面的能力，論證或?qū)嶒炇欠窈侠?，主要觀點或結果是否正確，有何獨到的見解或新的方法，基礎理論、專業(yè)知識的掌握程度及寫作水平等，并就該論文是否達到本科畢業(yè)論文水平做出評價）成

31、績： 指導教師（簽名）： 年 月 日注：成績按優(yōu)、良、中、合格、不合格五級分制計。評閱人意見（包括選題的意義，資料收集或?qū)嶒灧椒ā?shù)據(jù)處理等方面的能力，論證或?qū)嶒炇欠窈侠?，主要觀點或結果是否正確，有何獨到的見解或新的方法，基礎理論、專業(yè)知識的掌握程度及寫作水平等，并就該論文是否達到本科畢業(yè)論文水平做出評價） 成績： 評閱人（簽名）： 年 月 日注：成績按優(yōu)、良、中、合格、不合格五級分制計。 答辯委員會意見（應根據(jù)論文內(nèi)容和答辯情況，并參考指導教師意見、評閱人意見對論文的綜合水平做出具體評價）成績： 答辯委員會主任（簽名）： 年 月 日學院學位分委員會意見 成績： 學位分委員會主任（簽名）： （

32、公章） 年 月 日注：成績按優(yōu)、良、中、合格、不合格五級分制計。表6（學院用）山東師范大學本科畢業(yè)論文（設計）答辯記錄表學院： 數(shù)學科學學院 （章）系別： 信息與計算 專業(yè)： 信息與計算科學 論文（設計）題目：拉格朗日中值定理的應用學生姓名任雯蕾學 號201000820223指導教師范進軍職 稱教授答辯時間2014年5月16日答辯地點答辯委員會名單姓 名性別職 稱職 務其它劉茜女副教授主任肖新玲女講師委員宋麗葉女講師秘書范進軍男教授委員答辯記錄： 記錄人（簽名）： 答辯委員會主任（簽名）： 年 月 日 年 月 日山東師范大學本科畢業(yè)論文（設計）摘要學院： 數(shù)學科學學院 專業(yè)： 信息與計算科學 班級：2班姓名任雯蕾學號201000820223指導教師范進軍論文（設計）題 目拉格朗日中值定理的應用關鍵詞拉氏中值定理、應用、極限、收斂論文（設計）字數(shù)8000內(nèi)