球的體積與表面積教案設計

1、球的體積和表面積一、教材分析本節(jié)內容是數學2第一章空間幾何體第3節(jié)空間幾何體的表面積與體積的第2課時球的體積和表面積，是在學習了柱體、錐體、臺體等基本幾何體的基礎上，通過空間度量形式了解另一種基本幾何體的結構特征.從知識上講，球是一種高度對稱的基本空間幾何體，同時它也是進一步研究空間組合體結構特征的基礎；從方法上講，它為我們提供了另外一種求空間幾何體體積和表面積的思想方法；從教材編排上，更重視學生的直觀感知和操作確認，為螺旋式上升的學習奠定了基礎.課時分配本節(jié)內容用1課時的時間完成，主要講解球的體積公式和表面積公式及公式的應用.二、教學目標知識與技能(1)通過對球的體積和面積公式的推導，了解推

2、導過程中所用的基本數學思想方法：”分割一一求和一一化為準確和”，有利于同學們進一步學習微積分和近代數學知識.(2)能運用球的面積和體積公式靈活解決實際問題.(3)培養(yǎng)學生的空間思維能力和空間想象能力.過程與方法4.通過球的體積和面積公式的推導，從而得到一種推導球體積公式V=-nR33和面積公式S=4nR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和轉化為球的體積和面積”的方法，體現了極限思想.情感與價值觀通過學習，使我們對球的體積和面積公式的推導方法有了一定的了解，提高了空間思維能力和空間想象能力，增強了我們探索問題和解決問題的信心.三、教學重點、難點重點：引導學生了解推導球的體積和面積公式所運用的基

3、本思想方法.難點：推導體積和面積公式中空間想象能力的形成，以及與球有關的組合體的表面積和體積的計算.四、學法和教學用具學法：學生思考老師提出的問題，通過閱讀教材，發(fā)揮空間想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似值的和轉化為球的體積和面積”的解題方法和步驟.教學用具：投影儀，旨在通過動態(tài)圖形使得學生對球這一立體圖形有一個直觀的認識.五、教學設計創(chuàng)設情景【設計意圖】通過大家所熟知 的寓言小故事引出教學內容， 提高學生學習興趣.教師提出問題：烏鴉喝水的問題我們都知道，只有一顆一顆的小圓石頭往水瓶里投烏鴉才能喝到水，那么我們是不是可以用數學方法精確的計算出烏鴉具體需要投入幾顆小圓石頭呢？這里

4、就涉及到了小石子的體積了，假設小石子都是均勻的球體，我們知道球既沒有底面，也無法像在柱體、錐體和臺體那樣展開成平面圖形，那么怎樣來求球的表面積與體積呢？引導學生進行思考.教師設疑：球的大小是與球的半徑有關，如何用球半徑來表示球的體積和面積？激發(fā)學生推導球的體積和面積公式.探究新知1.球的體積：如果用一組等距離的平面去切割球，當距離很小之時得到很多“小圓片”，“小圓片”的體積的體積之和正好是球的體積，由于“小圓片”近似于圓柱形狀，所以它的體積也近似于圓柱形狀，所以它的體積有也近似于相應的圓柱和體積，因此求球的體積可以按“分割一一求和一一化為準確和”的方法來進行.步驟:第一步：分割首先，把半球的垂

5、直于底面的半徑OA作n等分,過這些等分點，用一組平行于底面的平面把半球切割R成n個“小圓片”，“小圓片”厚度近似為-,底n面是“小圓片”的底面，如下圖所以，第i層“小圓片”下底面的半徑和體積:2 R 2。二機2-、。1)2" = 1,2，n.【設計意圖】利用分割原理， 通過對小圓片體積的計算，推導出球的體積公式， 使學生知 道知識的來龍去脈，提升學生 的學習興趣與信心，以及對新 知識的探索發(fā)現能力.【注意】由于學生的學習水平 不一致，所以在實際教學中， 需根據學生的具體學習能力 而確定是否適合公式推到過 程的學習Vii-121-(),i=1,2,nn第二步：求和V半球二V1+V2+V

6、n322二R12(n-1)1+1-2+1-2+1-2r 1,2221 +2 +(n-1)n n nnnn2十22+十(n_T)F(n_1)n(2n_1)R3nn1(n-1)n(2n-1)第三步：化為準確的和3r1(n-1)(2n-1)=R1-n263111V半球=：R1-6(1-n)(2-n)【設計意圖】透過教師的講解，讓學生初步感受“分割”、“近似替代”、“取極限”等思想，滲透微積分思想.，1，當n-8時，即>0時,n2V半球=-R3得到定理：半徑是R的球的體積練習：一種空心鋼球的質量是142g,外徑是5cm,求它的內徑（鋼的密度是7.9g/cm3）.2.球的表面積:【思考】：球的表面

7、積推導過程是以什么量作為等量變換的？球的表面積是球的表面大小的度量，它也是球半徑R的函數，由于球面是不可展的曲面，所以不能像推導圓柱、圓錐的表面積公式那樣推導球的表面積公式，所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和轉化為準確和”方法推導。簡單講述中國魏晉時代的劉徽與“割圓術”.（不再具體證明）半徑為R的球的表面積為S=4nR2練習：長方體的一個頂點上三條棱長分別為3、4、5,是它的八個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是.（答案50元）運用新知典例分析：課本P27例4鞏固深化、反饋矯正（1）方形的內切球和外接球的體積的比為,表面積比為.（2）球心同側有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積分別為49冗cm2和4007tcm,求球的表面2積.（答案：25007tcm）分析：可畫出球的軸截面，利用球的截面性質求球的半徑.六、課堂小結：1 .了解球的體積、表面積推導的基本思路；2 .了解球的體積公式和表面積公式（不要求記憶公式）；3 .計算組合體的體積表面積時，通常將其轉化為計算柱、錐、臺、球等常見的幾何體的體積表面積.【設計意圖】本題較易，主要 考查有關球的組合體的表面 積和體積的計算.解決此類問 題的關鍵是明確組合體的結 構特征.學生來獨立完成， 有 利于培養(yǎng)學生問題解決的能 力.在題目講解過程中， 可利 用幾何畫板等多媒體工具將