中考數(shù)學專題大講堂第七講幾何變換之翻折探究（Word含答案）

1、.幾何變換之翻折探究考慮與解決幾何圖形的問題，主要是借助根本圖形的性質(zhì)定義，定理等和圖形之間的關系許多根本圖形的性質(zhì)都源于這個圖形本身的“變換特征，而最為重要和最為常用的圖形關系“全等三角形很多的情況也是同樣具有“變換形式的聯(lián)絡本來兩個三角形全等是指它們的形狀和大小都一樣，和互相間的位置沒有直接關系，但是，在同一個問題中涉及到的兩個全等三角形，絕大多數(shù)都有一定的位置關系，或成軸對稱關系，或成平移關系，或成旋轉(zhuǎn)的關系包括中心對稱這樣，在解決詳細的幾何圖形問題時，圖形本身所顯示或暗示的“變換特征，對我們識別出、構造出根本圖形和圖形關系如全等三角形，有著極為重要的啟發(fā)和引導的作用圖形的翻折問題本質(zhì)上

2、是軸對稱問題，滿足軸對稱的性質(zhì)，即：1. 折疊圖形關于折痕對稱2. 對應邊、角相等3. 對應點的連線被折痕垂直平分我們解決翻折問題一般也是從以上性質(zhì)出發(fā)解決的 先講翻折題的三種常見方法【題目】16 年秋錫山區(qū)期中如圖，在平面直角坐標系中，矩形 ABCO 的邊 OA 在 x 軸上，邊 OC 在 y 軸上，點 B 的坐標為1，3，將矩形沿對角線 AC 翻折，點 B 落在點 D的位置，且 AD 交 y 軸于點 E，那么點 D 的坐標為 法一：求定點關于定直線的對稱點萬能方法如答圖 1，連 BD，交 AC 于 G，那么ABCAGBBFD，:第 23 頁BD2BGAB 1 23 12 6 ，DFBD 1

3、 110 6 3，BF3DF9，101010101055D4，1255法二：由直角翻折主動尋求K型相似特殊技巧如答圖 1，由ADC90ADNDCF，相似比為 3：1， 設 ONCFx，那么 DN3x，DF33x，由 AN3DF 得 x1333x，解得 x4，D4，12555法三：由翻折主動尋求等腰三角形特殊技巧 如答圖 2，延長 CD 交 x 軸于 H，可得 CHAH， 設 DHy，那么 AHy，在 RtADH 中用勾股定理可得 y4易得 DM12，D4，12555法四：由翻折主動尋求等腰三角形特殊技巧如答圖 2，設 CEAEa，那么 OE3a，在 RtAOE中用勾股定理可得 a5，3由比例關

4、系可得 OM4，D4，12555【例題剖析】題型一：利用對應邊相等，對應角相等例 11、2019 年無錫10如圖，RtABC 中，ACB90，AC3，BC4，將邊AC 沿 CE 翻折，使點 A 落在 AB 上的點 D 處；再將邊 BC 沿 CF 翻折，使點 B 落在 CD 的延長線上的點 B處，兩條折痕與斜邊 AB 分別交于點 E、F，那么線段 BF 的長為A342 3BC53D 2【解答】選 B點評此題的關鍵點在于發(fā)現(xiàn)并證明BFB 是直角，由翻折可知AADCBDF，AB90又BB=BFB 是直角BDF 是“345的三角形又由翻折可知 BCBC4，CDAC3，例 12、18 年 4 月錫山區(qū)二

5、模17如圖，在ABC 中，ACB90，點 D，E 分別在AC，BC 上，且CDEB，將CDE 沿 DE 折疊，點 C 恰好落在 AB 邊上的點 F 處假設AC8，AB10，那么 CD 的長為 【解答】CD258答圖 1答圖 2母子三角形點評此題的關鍵點在于發(fā)現(xiàn)并證明 F 是 AB 的中點，如答圖，由翻折CFDE= 1B直角三角形斜邊上的中線定理的逆命題12=2BCFBF= F 是 AB 中點此題也可以根據(jù) 90 度翻折構造 K 型相似來解決，如答圖 2針對練習1、18 年 4 月宜興一模16如圖，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，E 是 BC 的中點， 連結 AE，將ABE 沿 AE 折疊

6、，點 B 落在點 F 處，連結 CF，那么 sinEFC 【解答】45題型二：利用或構造等腰三角形例 21、18 年 4 月宜興一模10一張矩形紙片 ABCD，其中 AD8 cm，AB6 cm， 先沿對角線 BD 對折，點 C 落在點 C的位置，BC交 AD 于點 G圖 1；再折疊一次，使點 D 與點 A 重合，得折痕 EN，EN 交 AD 于點 M圖 2，那么 EM 的長為A2B32C 2D76【解答】選 D點評此題的關鍵點在于發(fā)現(xiàn)并利用DEN 是等腰三角形，由翻折CDBEDB，作高EHEN 是折痕ENCDENDBDCENDEDNENED= DEN 是“556的三角形例 22、12 年南長區(qū)

7、一模正方形 ABCD 的邊長為 6cm，點 E 是射線 BC 上的一個動點，連接 AE 交射線 DC 于點 F，將ABE 沿直線 AE 翻折，點 B 落在點 B處（1） 當BE1 時，CF cm；CE（2） 當BE2 時，求 sinDAB的值；CE（3） 略【解答】當 E 點在 BC 邊上時，sinDAB 5 ，當 E 點在 BC 的延長線上時，sinDAB133，5點評此題三種方法都可以，方法一：如答圖 1，構造等腰三角形 AGF，再由勾股定理得到方程 x2629x2 解得x5，所以 sinDAB 5213方法二：如答圖 2，ABEAHBBGB，三邊之比都為 2：3： 13，BH 3 BE

8、3 4 12BB2BH 24 BG 2 BB48 AG30 sin131313DAB 51313131313方法三：如答圖 3，構造相似三角形ABFBEG，且相似比為 3：2，可得方程組3x2y6，解得x1013，所以 sinDAB 53x 2 3y 236y241313另一種情況類似，參考答圖 4答圖 1答圖 2答圖 3答圖 4例 23、17 年濱湖二模18如圖，在 RtABC 中，C90，AC3 cm，BC4 cm， 點 E 從 C 點出發(fā)向終點 B 運動，速度為 1 cm/秒，運動時間為 t 秒，作 EFAB，點 P 是點 C 關于 EF 的對稱點，連結 AP，當AFP 恰好是直角三角形

9、時，t 的值為 【解答】t25或788答圖 1答圖 2點評此題的關鍵點在于 CP 與折痕 EF 垂直，也即與 AB 垂直，在APE90時，可得等腰三角形 ABE。首先AFP 不可能是直角，否那么易得CFE45，與題意不符；假如FAP90，那么 APBCCP5AC15 CECP152544238FEFECB假如APE90，那么 A、P、E 三點共線FEPBAE=BAEBAEBE32t24t2t78題型三：利用或構造“K字形相似例 31、探究與應用：在學習幾何時，我們可以通過別離和構造根本圖形，將幾何“模塊化例如在相似三角形中，K 字形是非常重要的根本圖形，可以建立如下的“模塊如圖1：（1） 請就

10、圖 1 證明上述“模塊的合理性；（2） 請直接利用上述“模塊的結論解決下面兩個問題：如圖 2，點 A2，1，點 B 在直線 y2x3 上運動，假設AOB90，求此時點 B 的坐標；如圖 3，過點 A2，1作 x 軸與 y 軸的平行線，交直線 y2x3 于點 C、D，求點 A 關于直線 CD 的對稱點 E 的坐標【解答】1略；2B3，3；42過點 E 作 ENAC 的延長線于點 N，過點 D 作 DMNE 的延長線于點 M，A2，1，C 點的縱坐標為 1，D 點的橫坐標為2，Cx，1，D2，y，12x3，y223，x1，y7，C1，1，D2，7設 Ex，y，DMx2，ME7y，CNx1，ENy1

11、， 由對稱可知：DEAD6，CEAC3MNDEC90，DMEENC，DM ME DE，ENCNCEx2 2 x 香 1，y香17香y2解得：x145y175B14，1755例 32、14 外國語一模，18如圖，將等邊ABC 折疊，使點 B 落在邊 AC 上，對應點為 D，設折痕為 MN，假如CD 3，那么BM的值為DA2BN【解答】BM 8BN7點評方法一：如答圖 1，根據(jù)翻折，得到MDN60ADNCMD DM DNCDDMMC CDBMMC CDBC 8ADDNNAADBNNAADAB7方法二：如答圖 2，分別邊 D 點作 DFBC 于 F 點，作 DEAB 于 E 點， 那么設 AD4，C

12、D6，那么 CF3，DF3 3，AE2，DE2 3，x2 7 香x 2 3 3 2再設 BMx，BNy，那么有y28 香 y 2 2 3 2x38解得7y194DM 8DN7答圖 1答圖 2針對練習1、2019 河南如圖， ADBC，ABBC，AB3，點 E 為射線 BC 上的一個動點， 連接 AE，將ABE 沿 AE 折疊，點 B 落在點 B處，過點 B作 AD 的垂線，分別交 AD、BC 于點 M、N，當點 B為線段 MN 的三等分點時，BE 的長為 【答案】322或355題型四：利用相似算對稱點例 41、11 年東林，26如圖 1，直線 y3x3 與 x 軸、y 軸交于 A、B 兩點，C

13、 點為4線段 AO 上一點，一動點 P 在 x 軸上（1） 當 P 點運動到與原點 O 重合時，P 點關于直線 BC 的對稱點恰好落在直線 AB 上，求此時 PC 的長；（2） 如圖 2，假設 C 點為線段 AO 的中點，問：P 點運動到何處，點 P 關于直線 BC 的對稱點落在直線 AB 上？【解答】1方法較多，PC322C2，0，AOB 三邊之比為 2：3： 設 Pt，0，那么 CP2t，由AOBPHDPECDH 2 PD 2 2PE 22 3 PC122t24香12晦，1313PH3DH182tOH36香5晦，1313131321313D36香5晦，24香12晦，代入 y3x3 可得 t

14、161313421例 42、2019 無錫，27如圖，ABCD 的三個頂點 An，0、Bm，0、D0，2nmn0，作ABCD 關于直線 AD 的對稱圖形 AB1C1D（1） 假設 m3，試求四邊形 CC1B1B 的面積 S 的最大值；（2） 假設點 B1 恰好落在 y 軸上，試求n 的值m【解答】1如圖 1，ABCD 與四邊形 AB1C1D 關于直線 AD 對稱，四邊形 AB1C1D 是平行四邊形，CC1EF，BB1EF，BCADB1C1，CC1BB1，四邊形 BCEF、B1C1EF 是平行四邊形，SBCEFSBCDASB1C1DASB1C1EF，SBCC1B12SBCDAAn，0、Bm，0、

15、D0，2n、m3，ABmn3n，OD2n，S BCDAABOD3n2n2n23n2n329，S2S224n329BCC1B1BCDA240，當 n3時，S最大值為 9；2BCC1B12當點 B1 恰好落在 y 軸上，如圖 2，DFBB1，DB1OB，B1DFDB1F90，B1BOOB1B90，B1DFOBB1DOABOB190，AODB1OB，OA OB1，ODOB n OB1，2nmOB1m2由軸對稱的性質(zhì)可得 AB1ABmn在 RtAOB1 中，n2m2mn2，2整理得 3m28mn0m0，3m8n0，n 3m8針對練習1、18 年濱湖區(qū)一模28如圖，在 RtABC 中，ACB90，BC3

16、，AC4，G 是邊 AB 的中點，平行于 AB 的動直線 l 分別交ABC 的邊 CA、CB 于點 M、N，設 CMm（1） 當 m1 時，求MNG 的面積；（2） 假設點 G 關于直線 l 的對稱點為點 G，懇求出點 G恰好落在ABC 的內(nèi)部不含邊界時，m 的取值范圍；（3） 略【解答】19；27t448題型五：翻折形成輔助圓例 51、如圖，在邊長為 2 的菱形 ABCD 中，A60，M 是 AD 邊的中點，N 是 AB 邊上一動 A 點，將AMN 沿 MN 所在的直線翻折得到AMN，連接 AC，那么 AC 長度的最小值是 【答案】 71，點評此題的關鍵點在于根據(jù)翻折判斷出點 A的軌跡是以

17、M 為圓心，MA 為半徑的圓弧，最后利用圓外一點到圓上的最短間隔 找到最小值例 52、2019 無錫28如圖，矩形 ABCD 中，AB4，ADm，動點 P 從點 D 出發(fā)，在邊 DA 上以每秒 1 個單位的速度向點 A 運動連結 CP，作點 D 關于直線 PC 的對稱點 E設點 P 的運動時間為 ts（1） 假設 m6，求當 P、E、B 三點在同一直線上時對應的 t 的值；（2） m 滿足：在動點 P 從點 D 到點 A 的整個運動過程中，有且只有一個時刻 t，使點 E 到直線 BC 的間隔 等于 3，求所有這樣的 m 的取值范圍【解析】由翻折點 E 在以 C 為圓心，CD 為半徑的圓上（1）

18、 點 E 確實定當 P、E、B 三點共線時，由PEC90BEC90點 E 又在以 BC 為直徑的圓上 點 E 是兩圓交點，易得BECPABBPBC6 而 BE 62 香 422 5tPDPE62 5也可以利用翻折得到DPCEPC，結合DPCPCBEPCPCBBPBC6（2） 點 E 確實定點 E 到直線 BC 的間隔 等于 3，點 E 又在以 C 為圓心，CD 為半徑的圓上點 E 只能有圖中兩種情況，然后由點 E 的位置反推出點 P 的兩個極限位置即可由P2DCDHE2 D2 DH D2 7DP24 7，假設 DP2DA，那么 E2 要舍去，CD只存在唯一的 E 點；E2H47由P1DCDFE

19、1 D1 DF D1 1DP14 7，假設 DP1DA，那么 E1 和 E2 都要舍去，不存在 E 點CDE1F477P 點應在 P1P2 之間，477m4 7例 53、16 年濱湖區(qū)一模27如圖 1，AOB45，點 P、Q 分別是邊 OA、OB 上的兩點，且 OP2cm將O 沿 PO 折疊，點 O 落在平面內(nèi)點 C 處（1） 當 PCQB 時，OQ ；當 PCQB 時，求 OQ 的長（2） 當折疊后重疊部分為等腰三角形時，求 OQ 的長【解答】12；22 22，2 22；（3） 符合條件的點 Q 共有 5 個 當點 C 在AOB 內(nèi)部或一邊上時，OQ2， 2，2 2當點 C 在AOB 的外部

20、時，OQ 6 2， 6 2點評此題的關鍵點在于根據(jù)翻折判斷出點 C 的軌跡是以 P 為圓心，OP 為半徑的圓， 難點在于分類要全面針對練習1、2019 宿遷26如圖，在矩形紙片 ABCD 中， AB1，BC 3，點 E 在邊 CD 上挪動，連接 AE，將多邊形 ABCE 沿直線 AE 翻折，得到多邊形 ABCE，點 B、C 的對應點分別為點 B、C（1） 當 BC恰好經(jīng)過點 D 時如圖 1，求線段 CE 的長；（2） 假設 BC分別交邊 AD，CD 于點 F，G，且DAE22.5如圖 2，求DFG 的面積；（3） 在點 E 從點 C 挪動到點 D 的過程中，求點 C運動的途徑長【解答】1CE

21、62；25 香6；32 n23題型六：翻折的構造例 61、如圖，MAN45，AHMN 于點 H，且 MH2，NH3，求 AH 的長【解答】方法一：根據(jù)定長對定角作輔助圓； 方法二：折疊，如答圖，作兩次軸對稱得到正方形 ABCD，即而可得 AH6，例 62、如圖，ABC 中，ACB90，ACBC，D 是ABC 內(nèi)一點，且 ADAC，BDCD，那么ADB 的度數(shù)為A135B120C150D140【解答】選 A，如答圖，補成完好的正方形，顯然ADB135例 63、18 年 4 月宜興一模9如圖，RtABC 中，CAB90，在斜邊 CB 上取兩點 M、N不包含 C、B 兩點，且 tanBtanCtan

22、MAN1設 MNx，BMn，CNm，那么以下結論不可能成立的是AmnBxmnCxmnDx2m2n2【解答】選 D，方法一，構造旋轉(zhuǎn)，如答圖 1； 方法二，構造折疊，如答圖 2；題型七：綜合型例 71、14 年江南中學，10，03 年天津如圖，在ABC 中， AB2a，A30，CD 是 AB 邊的中線，假設將ABC 沿 CD 對折起來，折疊后兩個小ACD 與BCD 重疊部分的面積恰好等于折疊前ABC 的面積的1，有如下結論：BC 的邊長可以等于 a； 4折疊前的ABC 的面積可以等于 3 2；折疊前的ABC 的面積可以等于 3 2；折疊2 a3 a后，以 A、B為端點的線段與中線 CD 一定平行

23、且相等，其中正確的結論是ABCD解：如圖，設 BD 與 AC 相交于 O，CD 是 AB 邊的中線，S ACDS BCD1S ABC，2 重疊部分的面積恰好等于折疊前ABC 的面積的1，4點 O 是 AC、BD 的中點，四邊形 ADCB是平行四邊形，ABCD，BCAD，BCAD，故正確；BCBD，BCBD，四邊形 BCBD 是平行四邊形， 由翻折變換的性質(zhì)得，BCBC，平行四邊形 BCBD 是菱形，BCBD1AB12aa，故正確；22假設 SABC 3a2，2四邊形 ABCD 為平行四邊形，S COD1S ACD1S ABC，滿足條件，即 S ABC2 4 的值可以等于 3a2，故正確，2假設折疊前的ABC 的面積可以等于 3a2，設點3C 到 AB 的間隔 為 h，那么12ah 3a2，解得 h 3a，3a2tan30 3a 3a，233333垂足為 AB 的中點 D，翻折后點 A、B 重合，不符合題意，假設不成立，那么錯誤綜上所述，正確的結論有應選：B課后練習1、如圖，矩形 ABCD 中，AD5，AB8，點 E 為 DC 上一個動點，把ADE 沿 AE 折疊， 假設點 D 的對應點 D，連接 DB，以下結論中：DB 的最小值為 3；當 DE5