勾股定理講義

1、 姓名:勾股定理培優(yōu)班習(xí)題一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn): 1.勾股定理內(nèi)容:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 ;表示方法:如果直角三角形的兩直角邊分別為 a , b ,斜邊為 c ,那么 222a b c += 2. 勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多,常見的是拼圖的方法 用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是 圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后,只要沒(méi)有重疊,沒(méi)有空隙,面積不會(huì)改變 根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法,列出等式,推導(dǎo)出勾股定理 常見方法如下: 方法一:4EFGH S S S +=正方形 正方形 ABCD , 2214(2ab b a c +-=,化簡(jiǎn)可證.方法二:四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和

2、等于大正方形的面積. 四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為 221422S ab c ab c =+=+ 大正方形面積為 222( 2S a b a ab b =+=+所以 222a b c +=方法三:1( ( 2S a b a b =+梯形 , 2112S 222ADE ABES S ab c =+=+梯形 ,化簡(jiǎn)得證 3. 勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系,它只適用于直角三角形,對(duì)于銳 角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征。 4. 勾股定理的應(yīng)用 已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng),求第三邊在 ABC 中, 90C =,則 cb, a 知道直角三角形

3、一邊,可得另外兩邊之間的數(shù)量 關(guān)系 可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題 5. 勾股定理的逆定理如果三角形三邊長(zhǎng) a , b , c 滿足 222a b c +=,那么這個(gè)三角形是直角三角形,其中 c 為斜邊。 勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法,它通過(guò) “ 數(shù)轉(zhuǎn)化為形 ” 來(lái)確定三角形的可能形狀, 在運(yùn)用這一定理時(shí), 可用兩小邊的平方和 22a b +與較長(zhǎng)邊的平方 2c 作比較, 若它們相等時(shí),以 a , b , c 為三邊的三角形是直角三角形; 若 222a b c +<,時(shí),以 a , b , c 為三邊的三角形是鈍角三角形;若 222a b c +>

4、,時(shí),以 a , b , c 為三邊的三角形是銳角三角形; 定理中 a , b , c 及 222a b c +=只是一種表現(xiàn)形式,不可認(rèn)為是唯一的,如若三角形三邊長(zhǎng) a , b , c 滿足222a c b +=,那么以 a , b , c 為三邊的三角形是直角三角形,但是 b 為斜邊 6. 勾股數(shù) 能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù), 即 222a b c +=中, a , b , c 為正整數(shù)時(shí), 稱 a , b , c 為一組勾股數(shù) 記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度,如 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25等 用含字母的代數(shù)式表示 n 組勾股數(shù):

5、 221,2, 1n n n -+(2, n n 為正整數(shù) ; 2221,22,221n nn n n +(n 為正整數(shù) 2222,2, m n mn m n -+(, m n >m ,n 為正整數(shù)bacbac acab a bcbaED CBA7.勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長(zhǎng)的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問(wèn)題. 在使用勾股 定理時(shí),必須把握直角三角形的前提條件,了解直角三角形中,斜邊和直角邊各是什么,以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行 計(jì)算,應(yīng)設(shè)法添加輔助線 (通常作垂線 ,構(gòu)造直角三角形, 以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解 . 8. 勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的

6、逆定理能幫助我們通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形, 在具體推算過(guò) 程中, 應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較, 切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而 得到錯(cuò)誤的結(jié)論.9. 勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問(wèn)題或具體的幾何問(wèn)題中, 是密不可分的一個(gè)整體. 通常既要通過(guò)逆定理判 定一個(gè)三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出邊的長(zhǎng)度,二者相輔相成,完成對(duì)問(wèn)題的解決.常見圖形:ABCD BA ADB C10、互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè), 這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。 如果把其中一 個(gè)叫做原命題

7、,那么另一個(gè)叫做它的逆命題。題型一:利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題訓(xùn)練 2、如圖,公路 MN 和公路 PQ 在 P 點(diǎn)處交匯,點(diǎn) A 處有一所中學(xué), AP=160米,點(diǎn) A 到公路 MN 的距 離為 80米,假使拖拉機(jī)行駛時(shí),周圍 100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響,那么拖拉機(jī)在公路 MN 上沿 PN 方向行駛時(shí), 學(xué)校是否會(huì)受到影響,請(qǐng)說(shuō)明理由;如果受到影響,已知拖拉機(jī)的速度是 18千米 /小時(shí),那么學(xué)校受到影響的時(shí) 間為多少? 題型二、與勾股定理有關(guān)的圖形問(wèn)題 訓(xùn)練 3.如圖,直線 l 經(jīng)過(guò)正方形 ABCD 的頂點(diǎn) B ,點(diǎn) A 、 C 到直線 l 的距離分別是 1、 2,則正方形的邊長(zhǎng) 是 _ _.題

8、型三、關(guān)于翻折問(wèn)題訓(xùn)練 5、 如圖,把矩形紙片 ABCD 沿對(duì)角線 AC 折疊,點(diǎn) B 落在點(diǎn) E 處, EC 與 AD相交于點(diǎn) F. 若 AB=4, BC=6,求 FAC 的周長(zhǎng)和面積 .訓(xùn)練 6、如圖,將矩形 ABCD 沿直線 AE 折疊,頂點(diǎn) D 恰好落在 BC 邊上 F 點(diǎn)處,已知 cm CE 6=,cm AB 16=,求 BF 的長(zhǎng).題型四、關(guān)于最短性問(wèn)題 訓(xùn)練 8、 如圖 1,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 12cm ,寬為 6cm ,高為 5cm ,一只螞蟻沿側(cè)面從 A 點(diǎn)向 B 點(diǎn)爬行,問(wèn):爬 到 B 點(diǎn)時(shí),螞蟻爬過(guò)的最短路程是多少? 訓(xùn)練 9、 如圖壁虎在一座底面半徑為 2米,高為 4米的油罐

9、的下底邊沿 A 處, 它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上 邊緣的 B 處有一只害蟲,便決定捕捉這只害蟲,為了不引起害蟲的注意,它故意不走直線,而是繞著油罐,沿 一條螺旋路線,從背后對(duì)害蟲進(jìn)行突然襲擊.請(qǐng)問(wèn)壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲 ? 訓(xùn)練 10、如圖,一個(gè)高 18m ,周長(zhǎng) 5m 的圓柱形水塔,現(xiàn)制造一個(gè)螺旋形登梯,為減小坡度,要求登梯繞塔環(huán) 繞一周半到達(dá)頂端,問(wèn)登梯至少多長(zhǎng)? (建議:拿張白紙動(dòng)手操作,你一定會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的奧妙 EBA題型五、關(guān)于勾股定理判定三角形形狀訓(xùn)練 11、已知, ABC 中, AB=17cm, BC=16cm, BC 邊上的中線 AD=15cm,試說(shuō)明 ABC 是等腰

10、三角形。題型六、關(guān)于旋轉(zhuǎn)中的勾股定理的運(yùn)用:訓(xùn)練 13、如圖, ABC 是直角三角形, BC 是斜邊,將 ABP 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,能與 AC P 重合, 若 AP=3,求 PP 的長(zhǎng)。配套練習(xí)一、填空題1、若三角形的三邊之比是 7:24:25,則這個(gè)三角形是 三角形。2、 ABC 中, A 是 B 的 2倍, C 比 A+ B 還大 12°,則這個(gè)三角形是 三角形。 3、若直角三角形兩直角邊的比是 3:4,斜邊長(zhǎng)是 20,則斜邊上的高是 。 4、在 Rt ABC 中, C=900, (1若 a=6, b=8,則 c= ; (2若 c=13, b=12,則 a= ;(3若 a=

11、21, c=28,則 b= ;5、小華和小紅都從同一點(diǎn) O 出發(fā),小華向北走了 9米到 A 點(diǎn),小紅向東走了 12米到了 B 點(diǎn),則 6、若一塊直角三角板,兩直角邊分別為 12cm 和 5cm ,不移動(dòng)三角板,能畫出的線段最長(zhǎng)是 cm _。 7、在 Rt ABC 中, ACB=900, CD AB 于 D , AC=6, AB=10,則 BD= 。 8、在等腰直角三角形中,斜邊長(zhǎng)為 50cm ,則它的面積為 9、在直角三角形中,三邊長(zhǎng)分別為 5、 12,則第三邊長(zhǎng)為10、等腰三角形腰和底邊的比是 3:2,若底邊長(zhǎng)為 6,則底邊上的高為 二、選擇題1、下列三角形中,一定是直角三角形的有( A 、

12、 1個(gè) B 、 2個(gè) C 、 3個(gè) D 、 4個(gè)有兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形; 三邊長(zhǎng)為 m 2-n 2、 nm 2、 m 2+n2(m>n>0的三角形; 三邊的比為 3:4:5的三角形; 三個(gè)內(nèi)角的比是 1:2:3的三角形;2、有長(zhǎng)度為 9cm , 12cm , 15cm , 36cm , 39cm 的五根木棒,能搭成(首尾順次相連直角三角形的個(gè)數(shù)為( A 、 1個(gè) B 、 2個(gè) C 、 3個(gè) D 、 4個(gè)3、若線段 a , b , c 組成 Rt ,則它們的比可以為( A 、 2 3 4 B 、 3 4 6 C 、 5 12 13 D 、 4 6 74、三角形的三邊長(zhǎng)為(a+b 2=

13、c2+2ab,則這個(gè)三角形是 ( A. 等邊三角形 B. 鈍角三角形 C. 直角三角形 D. 銳角三角形 .5、一直角三角形的斜邊比一直角邊大 4,另一直角邊長(zhǎng)為 8,則斜邊長(zhǎng)為( A 、 6 B 、 8 C 、 10 D 、 126、直角三角形的周長(zhǎng)為 12cm ,斜邊長(zhǎng)為 5cm ,則其面積為( A 、 12cm 2 B 、 10cm 2 C 、 8cm 2 D 、 6cm 27、如圖,正方形網(wǎng)格中的 ABC ,若小方格邊長(zhǎng)為 1,則 ABC 是 ( A 、直角三角形 B、銳角三角形 C、鈍角三角形 D、以上答案都不對(duì)A CPA P CB二、綜合發(fā)展 : 1.如圖,一個(gè)高 4m 、寬 3m

14、 的大門,需要在對(duì)角線的頂點(diǎn)間加固一個(gè)木條,求木條 的長(zhǎng). 2、有一個(gè)直角三角形紙片,兩直角邊 AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊 AC 沿 CAB 的角 平分線 AD 折疊,使它落在斜邊 AB 上,且與 AE 重合,你能求出 CD 的長(zhǎng)嗎? 3. 一個(gè)三角形三條邊的長(zhǎng)分別為 cm 15, cm 20, cm 25,這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高是多少?4.如圖,要修建一個(gè)育苗棚,棚高 h=3m,棚寬 a=4m,棚的長(zhǎng)為 12m ,現(xiàn)要在棚頂上 覆蓋塑料薄膜,試求需要多少平方米塑料薄膜? AEB三、解答題1、有一邊長(zhǎng)為 4米的水池的池中央,豎著一根竹竿,竹竿高出水面 1m ,一陣風(fēng)吹來(lái),竹竿倒向一

15、邊,竹竿的頂 端恰好靠在池邊,頂端與水面相平。求這里的水深是多少米? 2、小明要外出旅游,他帶的行李箱長(zhǎng) cm 40,寬 cm 30,高 cm 60,一把 cm 70長(zhǎng)的雨傘能 否裝進(jìn)這個(gè)行李箱? 3、如圖:有一圓柱,它的高等于 cm 8,底面直徑等于 cm 4(3=在圓柱下底面的 A 點(diǎn)有一只螞蟻,它想吃 到上底面與 A 相對(duì)的 B 點(diǎn)處的食物,求螞蟻需要爬行的最短路程。 4、如圖,是由四個(gè)大小完全相同的直角三角形拼合而成的,若圖中大小正方形的面積分別為 62.5和 4,求直角 三角形兩直角邊的長(zhǎng)。5、如圖, ADC=90°, AD=12m, CD=9m, AB=39m, BC=3

16、6m,求這塊地的面積。提高訓(xùn)練1、若一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別是 12、 16和 20,則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高長(zhǎng)是 _。 2、如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體盒子,它的長(zhǎng)、寬、高分別為 3dm 、 2dm 、 2dm , A 和 B 是這個(gè)盒子兩個(gè)相 對(duì)的頂點(diǎn), A 點(diǎn)有一只螞蟻,想到 B 點(diǎn)去吃可口的食物,則螞蟻沿著盒子表面面爬到B 點(diǎn)最短路程是 _dm. 3、 有一直角三角形, 其兩邊分別為 12和 16, 則該三角形的三條角平分線的交點(diǎn)到斜邊的距離是 4、已知在 ABC 中, AD=8, AB=17, AC=10, AD BC ,求 BC 的長(zhǎng)。B CDB5、如圖,在 ABC 中, CE 是 AB 邊上的中

17、線, CD AB 于 D, 且 AB=5,BC=4,AC=6,求 DE 的長(zhǎng)。6、某市在舊城改造中,計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境,已知這種草皮每平方米 售價(jià) a 元,則購(gòu)買這種草皮至少需要多少元?7、如圖,在 ABC 中, AB=AC, P 為 BC 上任意一點(diǎn),請(qǐng)用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明:AB 2-AP 2=PB·PC 。8、農(nóng)民承包了一塊四邊形水稻田 ABCD ,他量得邊長(zhǎng) AB=90m, BC=120m, CD=130m, DA=140,且邊 AB , BC 正好位于互相垂直的馬路的拐角處,請(qǐng)你計(jì)算一下這塊水稻田的面積。 (7分9、有一圓柱形食品盒,它的高等于

18、 16cm ,底面直徑為 10cm , 螞蟻爬行的速度為 2cm/s.如果在盒外下底面的 A 處有一只螞蟻,它想吃到盒內(nèi)對(duì)面中部點(diǎn) B 處的食物,那么它至少需要多少時(shí)間 ? (盒的厚度和螞蟻的大小忽略 不計(jì), 取 3 10、一牧童在距小河的南岸 4英里的 A 處牧馬,河水向正東流去,而他此時(shí)位于他家 B 的西 8英里北 7英里處, 他想把馬牽到小河邊區(qū)飲水,然后回家,他完成這件事所走的最短路程為多少英里?20m 30mPCC小 河11、如圖, A 、 B 兩村在河 CD 同側(cè), AB 2=13平方千米, A 、 B 兩村到河的距離分別是 AC=1千米, BD=3千米, 現(xiàn)要在河邊 CD 上建一

19、個(gè)水廠向 A 、 B 兩村輸送自來(lái)水,鋪設(shè)水管的工程費(fèi)每千米 3000元,請(qǐng)你在河岸 CD 上 選擇水廠位置 O ,使鋪設(shè)費(fèi)用最省,并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用。12. (9分平面上有 AB 、 CD 兩棵樹, AB 為 1米, CD 為 4米,兩樹之距 AC 為 12米, 、 A 、 C 之間有一些稻谷,一小鳥從點(diǎn) D 飛到某點(diǎn) P 吃了稻谷后飛到 點(diǎn) B ,所飛路程最短,求這個(gè)最短路程 BP PD . 13. (12分如圖,在正方形 ABCD 中, E 是 BC 的中點(diǎn), F 為 CD 上一點(diǎn),且 CF=41 CD 。 求證: AEF 是直角三角形。14、 如圖是某廣告公司為某種商品設(shè)計(jì)的商標(biāo)圖案,若圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積都是 1,則陰影部分的面積是 _ 15. 觀察一下幾組勾股數(shù),并尋找規(guī)律: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41;請(qǐng)你寫出有以上規(guī)律的第 5組勾股數(shù): . 請(qǐng)你寫出有以上規(guī)律的第 6組勾股數(shù): .B16、 (10分如圖所示,一根長(zhǎng) 2a