高等數(shù)學(xué)常用概念與公式

1、 高等數(shù)學(xué)常用概念及公式l 極限的概念當(dāng)x無限增大（x）或x無限的趨近于x0（xx0）時，函數(shù)f(x)無限的趨近于常數(shù)A，則稱函數(shù)f(x)當(dāng)x或xx0時，以常數(shù)A為極限，記作：f(x)=A 或 f(x)=Al 導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0某鄰域內(nèi)有定義，對自變量的增量xx- x0，函數(shù)有增量y=f(x)-f(x0)，如果增量比當(dāng)x0時有極限，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，并把該極限值叫函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)，記為f(x0)，即f(x0)=也可以記為y=|x=x0，|x=x0或|x=x0l 函數(shù)的微分概念設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間內(nèi)有定義，x及x+x都在此區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量y

2、=f（x+x）-f(x)可表示成 y=Ax+x其中A是常數(shù)或只是x的函數(shù)，而與x無關(guān)，當(dāng)x0時是無窮小量( 即x這一項(xiàng)是個比x更高階的無窮小)，那么稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x可微，而Ax叫函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x的微分。記作dy，即：dy=Ax=f(x)dxl 不定積分的概念原函數(shù)：設(shè)f(x)是定義在某個區(qū)間上的已知函數(shù)，如果存在一個函數(shù)F(x)，對于該區(qū)間上每一點(diǎn)都滿足F(x)= f(x) 或 d F(x)= f(x)dx則稱函數(shù)F(x)是已知函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的一個原函數(shù)。不定積分：設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)的任意一個原函數(shù)，則所有原函數(shù)F(x)+c（c為任意常數(shù)）叫做函數(shù)f(x)的不定積分

3、，記作 求已知函數(shù)的原函數(shù)的方法，叫不定積分法，簡稱積分法。其中“”是不定積分的記號；f(x)稱為被積函數(shù)；f(x)dx稱為被積表達(dá)式；x稱為積分變量；c為任意實(shí)數(shù)，稱為積分常數(shù)。l 定積分的概念設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)a=x0<x1<x2<<xi-1<xi<<xn-1<xn=b，把區(qū)間a，b任意分成n個小區(qū)間xi-1，xi（i=1,2, ,n）每個小區(qū)間的長度為xi= xi- xi-1（i=1,2, ,n），在每個小區(qū)間xi-1，xi上任取一點(diǎn)i，作和式In=當(dāng)分點(diǎn)無限增加(n)且所有小區(qū)間長度中的最大值=maxxi0時，和式

4、In的極限，叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作，即=其中f(x)稱為被積函數(shù)，b和a分別稱為定積分的上限和下限，區(qū)間a，b叫積分區(qū)間，x為積分變量。l 極限的性質(zhì)及運(yùn)算法則無窮小的概念：若函數(shù)f(x)當(dāng)xx0(或x)時的極限為零，則稱f(x)當(dāng)xx0(或x)時為無窮小量，簡稱無窮小。須要注意的是，無窮小是變量，不能與一個很小的數(shù)混為一談。無窮小的性質(zhì)：性質(zhì)1：有限個無窮小的代數(shù)和也是無窮小。性質(zhì)2：有界函數(shù)與無窮小的乘積也是無窮小。推論1：常數(shù)與無窮小的乘積也是無窮小。推論2：有限個無窮小的乘積也是無窮小。無窮大的概念：若當(dāng)xx0(或x)時，函數(shù)f(x)的絕對值無限增大，則稱函數(shù)f(

5、x)當(dāng)xx0(或x)時為無窮大量，簡稱無窮大。注意無窮大是變量，不能與一個絕對值很大的數(shù)混為一談；另外，一個變量是無窮大，也不能脫離開自變量的變化過程。無窮大與無窮小的關(guān)系：定理：在同一變化過程中，若f(x)為無窮大，則為無窮??；反之，若f(x)為無窮小，且f(x)0，則就為無窮大。極限運(yùn)算法則：法則1：limf(x)±g(x)=lim f(x)±lim g(x)=A+B法則2：limf(x)·g(x)= lim f(x)·lim g(x)=A·B特別的：lim cf(x)=c·lim f(x)=c·A (c為常數(shù))法則3：

6、lim= （其中B0）注意用法則3求極限時：如果分子、分母均為無窮大，可先將其變成無窮小；如果均為無窮小，就用約分及分子分母有理化來解；以上情況均可用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中的羅必塔法則求解。兩個重要極限：重要極限1：=1 = =1重要極限2：(1+)x=e = (1+)（）=e或=e等價無窮小(x0)：在求極限過程中經(jīng)常使用等價無窮小互相代替；.l 導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、求導(dǎo)法則及常用求導(dǎo)公式連續(xù)的概念：若函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)xx0時，函數(shù)的極限存在，且極限值等于函數(shù)在x0處的函數(shù)值f(x0)即f(x)=f(x0)則稱函數(shù)在x0處是連續(xù)的。連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系：定理：若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則

7、函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)。(連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，其逆命題不成立，即函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)，但在該點(diǎn)不一定可導(dǎo))導(dǎo)數(shù)的計算步驟(按定義計算)：第一步 求增量，在x處給自變量增量x，計算函數(shù)增量y，即 y=f(x+x)-f(x)；第二步 算比值，寫出并化簡比式：=；(化簡比式的關(guān)鍵是使分式中僅分母或分子中含有x項(xiàng)，避免出現(xiàn)或)第三步 取極限，計算極限=f(x)常用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：設(shè)u=u(x)，v=v(x)，則（u±v）= u ±v； （cu）=cu；（uv）=uv+uv； （）=.反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：y=f(x)是x=(y)

8、的反函數(shù)，則y=，即f(x)=復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:設(shè)y=f(u),u=(x),則復(fù)合函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)為=或yx=fu·x隱函數(shù)求導(dǎo)方法：隱函數(shù)的概念 針對因變量y寫成自變量x的明顯表達(dá)式的函數(shù)y=f(x)，這種函數(shù)叫顯函數(shù)；而兩個變量x和y的對應(yīng)關(guān)系是由一個方程F(x,y)=0所確定，函數(shù)關(guān)系隱含在這個方程中，這種函數(shù)稱為由方程所確定的隱函數(shù)。求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并不需要先化為顯函數(shù)（事實(shí)上也很難都顯化），只需把y看成中間變量y=y(x)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，即可求出隱函數(shù)y對x的導(dǎo)數(shù)。例：求方程x2+y2=1所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解 在方程的兩端對x求導(dǎo)，并將y2看作x的復(fù)合函數(shù)，

9、則(x2+y2)=(1) 即2x+2yy=0，y y=-x得y= -參數(shù)方程所表示函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：如下方程組，其中t為參數(shù)x=(t)y=(t)設(shè)函數(shù)(t)和(t)都可導(dǎo)，且函數(shù)(t)存在連續(xù)反函數(shù)t=-1(t)，當(dāng)-1(t)0時，這個反函數(shù)也可導(dǎo)；這時y是x的復(fù)合函數(shù) y=-1(t)=f(x)它可導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知yx=羅必塔法則：當(dāng)xx0(或x)時，函數(shù)f(x)，g(x)同時趨向于零或同時趨向于無窮大，這時分式的極限可能存在，也可能不存在。我們稱其為未定式，并記作型或，這類極限將無法用“商的極限等于極限的商”這一極限法則求出。未定式(羅必塔法則一)：=A(或無窮大)。若其中x時，結(jié)論仍然成

10、立。使用羅必塔法則時，分子分母分別求導(dǎo)之后，應(yīng)該整理化簡，如果化簡后的分式還是未定式，可以繼續(xù)使用這個法則。未定式(羅必塔法則二)：=A(或無窮大)。若其中x時，結(jié)論也成立。未定式0·型及-型：這兩類未定式可轉(zhuǎn)化為型或型。未定式00,0,1型：該類未定式可以通過對數(shù)轉(zhuǎn)化為前面的未定式。l 微分的運(yùn)算及法則由微分的的概念dy=f(x)dx可知，求一個函數(shù)的微分，只要求出導(dǎo)數(shù)f(x)再乘以dx就得到微分dy，因此不難由導(dǎo)數(shù)公式做出相應(yīng)的微分公式。例，對于y=sinx，有y=cosx，從而dy=cosxdx。微分的法則：設(shè)u=u(x)，v=v(x)，則d(cu)=cdu； d(u±

11、;v)=du±dv；d(uv)=udv+vdu； d()=l 不定積分的性質(zhì)、基本公式及計算方法由不定積分定義及微分知識，可直接推出不定積分的性質(zhì)：性質(zhì)一：=f(x)或d=f(x)dx；性質(zhì)二：=F(x)+c；性質(zhì)三：=k(k是不為0的常數(shù))；性質(zhì)四：=±。不定積分的基本公式(均應(yīng)加上常數(shù)C)：=c； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 。第一換元積分法：設(shè)函數(shù)u=(x)，且f(u)有原函數(shù)F(u)，du=(x)dx (即dx= du/(x) =參見微分概念及計算=F(u)+c= F(x)+c注意：該公式有一個隱含的條件，即要求原積分公式中已含有(x)，方可

12、在換元時代入dx= du/(x)并約去(x)。提示：該積分法的步驟是先找出適當(dāng)?shù)膗=(x)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于u的積分公式，再求出關(guān)于u原函數(shù)，最后根據(jù)u與x的關(guān)系代入x。第二換元積分法：設(shè)函數(shù)x=(t)單調(diào)可微且(t)0，dx=(t)dt =參見微分概念及計算=F(t)+c=F-1(x)+c提示：該積分法的步驟是先找出適當(dāng)?shù)膞=(t)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的積分公式，再求出關(guān)于t原函數(shù)，最后根據(jù)x與t的關(guān)系代入x。分部積分法：設(shè)函數(shù)u=u(x)，v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=uv- =解題時這個為u不行就換那個為u 提示：運(yùn)用此公式有時可以使難求的不定積分轉(zhuǎn)化為易求的不定積分，從而得所求結(jié)果。l

13、 定積分的性質(zhì)及計算方法：性質(zhì)一：=k （k為常數(shù)）；性質(zhì)二：=b-a；性質(zhì)三：=±；性質(zhì)四：若把區(qū)間a，b分為兩個區(qū)間a，c與c，b，則 =+ 注意：c有任意性，可在a，b之外；性質(zhì)五：若f(x)與g(x)在a,b上有f(x)g(x)，則 ；性質(zhì)六：若M，m分別是f(x)在a，b上的最大值和最小值，則 m(b-a) M(b-a) =估值定理性質(zhì)七：若f(x)在a，b上連續(xù)，則至少有一點(diǎn)(a,b)，使得 =f()(b-a) =定積分中值定理，求平均值。牛頓萊布尼茲公式：若f(x)在a，b上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則=F(x)=F(b)-F(a)可見，計算定積分，先用不定積分的方法求出一個原函數(shù)，然后把上、下限a，b代入原函