-線性方程組習(xí)題解答

1、習(xí)題33-1 .求下列齊次線性方程組的通解:x y 2z 0(1) 3x 5y z 0 .3x 7 y 8z 0解對(duì)系數(shù)矩陣施行行初等變換，得11202704141 1 20 2 7 B（階梯形矩陣）0 0 01121011202720172C（行最簡(jiǎn)形矩陣）,000000與原方程組同解的齊次線性方程組為11一 z27z211z2 (其中z是自由未知量)7z21 ,得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，117 T(,k k( 11)T, k為任意常數(shù).x1 x2 2x3 2x4 7x5 02 2)2x13x24x35x403x15x26x38x40解對(duì)系數(shù)矩陣施行行初等變換，得11227A2 3 4503

2、 5 680112270 101140 2 0221112270 10114B(階梯形矩陣)0 0 00710 21210 101140 0 00710 2100 1010C(行最簡(jiǎn)形矩陣),0 0 00 1與原方程組同解的齊次線性方程組為x1 2 x3 x40x2 x40,x50即x12x3 x4x2x4 (其中x3, x4是自由未知量)*50令(x3,x4)T(1,0)T , (0,1)T ,得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系1( 2,0,1,0,0)T ,2 ( 1, 1,0,1,0)T,(3)K 1k2 2 kJ 2,0,1,0,0)tk2( 1, 1,0,1,0)T, "k2為任意常

3、數(shù).x1 x2 3x4 x5x1 x2 2x3 x44x12x26x33x44x502x14x22x34x47x50解對(duì)系數(shù)矩陣施行行初等變換，得1103111210A426342424711031022210003100000B（階梯形矩陣）101070 11 050 00 110 00 00C（行最簡(jiǎn)形矩陣）,與原方程組同解的齊次線性方程組為xix2x47 乂3-x565 x36x500,7xiX3 6 X55X2 X3 -X5 (其中X3, X5是自由未知量)，61X4-X53令(x3, x5)t(1,0)T , (0,1)T ,得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系t751T1 ( 11,1,0,0

4、),2(-,-,o,-,1)t ,6 63所以，方程組的通解為7 51.k1 1 k2 2k1( 1,1,1,0,0)T k2(- -,0,-,1)t, k1,k2為任意常數(shù).6 633-2 .當(dāng)取何值時(shí)，方程組4x 3y z x 3x 4y 7z yx 7y 6zz有非零解？解原方程組等價(jià)于(4 )x 3y z 0 3x (4)y 7z 0,x 7y (6 )z 0上述齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式4313470,176即(2 675) 0,從而當(dāng) 0和 3 2 J21時(shí)方程組有非零解.3-3 .求解下列非齊次線性方程組:x1 2x2 x3 x4(1)x1 2x2 x3

5、 x41.x1 2x2 x3 5x4 5解對(duì)增廣矩陣A施行行初等變換2 1112 1112 15512 111000 11000 0 0因?yàn)閞(A) r(A),所以方程組有解，繼續(xù)施行行初等變換12 10 0B 000 1 1 C ,000 0 0與原方程組同解的齊次線性方程組為x1 2x2 x30,x41即x1 2x2 x3(其中x2»3為自由未知量)，x4 1令(x2, x3)T (0,0)T ,得到非齊次方程組的一個(gè)解0(0,0,0,1)T,對(duì)應(yīng)的齊次方程組(即導(dǎo)出方程組)為x42x2x30(其中*2»3為自由未知量)，令(x2, x3)T(1,0)T , (0,1)

6、T ,得到對(duì)應(yīng)齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系1(2,1,0,0)T ,2( 1,0,1,0)T,方程組的通解為0k1 1 k2 2 (0,0,0,1)Tk1(2,1,0,0)Tk2( 1,0,1,0)T ,其中K, k2為任意常數(shù).(2)2x13x17x1X23X3X4 12x2 2x3 3x4 3x2 5x3 4x4 25x2 9x3 10x4 8解對(duì)增廣矩陣A施行行初等變換4293000021-32 A11753112335429 10 81150113000000因?yàn)閞(A) r(A),所以方程組有解，繼續(xù)施行行初等變換10851011393-C ,0000000000與原方程組同解的齊次線性

7、方程組為x1 8x3 5x41X2 13X3 9X43X1X21 8x3 5x43 13X3 9X4(其中X3, X4為自由未知量)令(X3,X4)T(0,0) T ,得到非齊次方程組的一個(gè)解0( 1, 3,0,0)t,對(duì)應(yīng)的齊次方程組(即導(dǎo)出方程組)為X1X28x3 5x413X3 9X4(其中X3, X4為自由未知量)令(x3,x4)T(1,0)T , (0,1)T ,得到對(duì)應(yīng)齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系1 ( 8, 13,1,0)T,2(5, 9,0,1):方程組的通解為k2(5, 9,0,1)t0 k1 1 k2 2( 1, 3,0,0)Tk1( 8, 13,1,0)t其中k1，k2為任意

8、常數(shù).(3)X23x32x1 x2x1 2x22x33x3x1 x2 x3 100解對(duì)增廣矩陣A施行行初等變換1131-2 121A12311 1110011310143010200 410111310 1430 0450 0410111310 1430 0450 0096因?yàn)閞(A) 4 r(A) 3 ,所以方程組無(wú)解并在有解3-4 .討論下述線性方程組中，取何值時(shí)有解、無(wú)解、有惟時(shí)求出其解.(3)x1 x2 2x3x1 (1)x2 x3-3(1)x1x2 (3)x3 3解方程組的系數(shù)行列式為122A112(1).3(1)3(1)當(dāng)A 0時(shí)，即0且1時(shí)，方程組有惟一解.(2)當(dāng)A=0時(shí)，即

9、=0或=1時(shí)，(i)當(dāng) =0時(shí)，原方程組為3XI x2 2x3 0 x2 x3 0,34 3x3 3顯然無(wú)解.(ii)當(dāng) =1時(shí)，原方程組為4x1 x2 2x3 1x x31,6x1 x2 4x33對(duì)該方程組的增廣矩陣 A施行行初等變換4 12 11011A10 1101236 1 4 30000因?yàn)閞(A) r(A) 2 3 ,所以方程組有無(wú)窮多組解,與原方程組同解的方程組為小a1x2 2 x33即X 1&口(其中x3為自由未知量)，x23 2x3令x3 0 ,得到非齊次方程組的一個(gè)解0 (1, 3,0)T,對(duì)應(yīng)的齊次方程組(即導(dǎo)出方程組)為c (其中X3為自由未知量)，X2 2X3

10、令X3 1 ,得到對(duì)應(yīng)齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系方程組的通解為0 k3-5 .寫(xiě)出一個(gè)以解 由已知，AX O的基礎(chǔ)解系,2,而未知數(shù)的個(gè)數(shù)為(1, 3,0)T k ( 1,2,1)T,其中k為任意常數(shù).2 23 4x c1c2為通解的齊次線性方程組.10011(2, 3,1,0),和2 ( 2,4,0,1)T是齊次線性方程組即齊次線性方程組 AXO的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為4,所以齊次線性方程組AX O的系數(shù)矩陣 A的秩為4 2 2,故可設(shè)系數(shù)矩陣A a1 砌2013a14Aa21a22023a24由AX O可知1a11, a12 , Q3, a14 和 2a21,a22,a23,a24滿足方

11、程組23X1, X2,X3,X4 102X1 3x2 x3 0即方程組1232X1 4x2 x4方程組的系數(shù)矩陣24 O,01的線性無(wú)關(guān)的兩個(gè)解即為 02 0 4 30 111,23 1 0該方程組等價(jià)于2X14x3 3x4X2X3X4（其中X3,X4為自由未知量），令（X3,X4）T（1,0）T,（0,1）T ,得到該齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系（2,故要求的齊次線性方程組為AX O ,其中A2x1 x2 x33-X1X22X43-6 .設(shè)線性方程組11X1312X2a1n x n 0amX1am2X2amnxn 0的解都是bX1b2X2bnXn0的解，試證（匕也,上）丁是向量組1（a11，a1

12、2，a1n）,a11X1a12X2Hlllllllam1X1am2X2J" a1n xn0amn Xn0hXb2X2bnXn02 （a21，322，a2n）,' m （am1，am2，amn）的線性組合.證 把該線性方程組記為（*）,由已知，方程組（*）的解都是"X1 b2X2bnXn 0的解，所以方程組（*）與方程組則它們系數(shù)矩陣的行向量組同解，從而有相同的基礎(chǔ)解系，于是二者有相同的秩,1, 2, Hl，m和1，2,ML m,的秩相同，故 可由1, 2，M|, m線性表示.3-7 .試證明：r(AB) r(B)的充分必要條件是齊次線性方程組ABX O的解都是BX

13、O的解.證 必耍性.因?yàn)閞(AB) r(B),只須證ABX O與BX O的基礎(chǔ)解系相同.ABX O與BX O的基礎(chǔ)解系都含有 n r(B)個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量.又因?yàn)锽X O的解都是ABX O得解.所以BX O的基礎(chǔ)解系也是 ABX O的 基礎(chǔ)解系.即 ABX O與BX O有完全相同的解.所以 ABX O的解都是 BX O的解.充分性.因ABX O的解都是BX O的解，而B(niǎo)X O的解都是 ABX O 的解，故 ABX O與BX O有完全相同的解，則基礎(chǔ)解系也完全相同，故a及非零行向量bT ,使n r(AB) n r(B),所以 r(AB) r(B).3-8 .證明r( A) 1的充分必要條件是存

14、在非零列向量a證 充分性.若存在列向量a|2及行向量bTbb21Hbn,其中amai,bj 不全為零 i 1，W，m, j 1,“|,n,則有aiA abTa2 b b2 | bnIama1bla2b1aQa2 b2ambamba1bna20* Iambn顯然矩陣A的各行元素對(duì)應(yīng)成比例，所以 r(A) 1.必要性.若r(A) 1 ,則A經(jīng)過(guò)一系列的初等變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形1000D HI HI 00而矩陣D可以表示為 1000D I 1 ¥ i 4 I 00則存在可逆矩陣 P , Q彳1i 0A PDQ P - lf0記 1_ 0a P 1,0 又因?yàn)镻可逆，則P至， 理，因?yàn)镼 1可逆

15、，所以;00r00100 hiL： 1川卜0| 00導(dǎo)P 1AQ D ,從而1,0,|(,0 Q 1 ,其中 P,Q 1 均可逆,1.0,|,0 Q 1,行元素不全為零，故列向量a的分量不全為零，同- bT的分量不全為零.因此，存在非零列向量a及非零行向量bT ,使A abT .補(bǔ)充題B3-1.設(shè)A是m n矩陣，AX O是非其次線性方程組 AX b所對(duì)應(yīng)齊次線 性方程組，則下列結(jié)論正確的是( D ).(A) 若AX O僅有零解，則 AX B有惟一解；(B) 若AX O有非零解，則 AX B有無(wú)窮多個(gè)解；(C)若AX B有無(wú)窮多個(gè)解，則 AX O僅有零解；(D) 若AX B有無(wú)窮多個(gè)解，則 AX

16、 O有非零解.B3-2.設(shè)A為n階實(shí)矩陣，At是A的轉(zhuǎn)置矩陣，則對(duì)于線性方程組(i) AX O;(ii) AtAX O,必有(D ).(A) (n)的解是(I)的解， (I)的解也是(n)的解；(B) (n)的解是(i)的解，但(i)的解不是(n)的解；(C) (i)的解不是(n)的解， (n)的解也不是(i)的解；(d) (i)的解是(n)的解，但(n)的解不是(i)的解.B3-3 .設(shè)線性方程組 AX B有n個(gè)未知量，m個(gè)方程組，且r(A)此方程組(A ).(A) r m時(shí)，有解；(B) r n時(shí)，有惟一解；(C) m n時(shí)，有惟一解；(D) r n時(shí)，有無(wú)窮多解.B3-4 .討論 取何值

17、時(shí)，下述方程組有解，并求解：x y z 1x y z .2x y z解 (法一)方程組的系數(shù)行列式112_A 11(1)(2),11(1)當(dāng)A 0時(shí)，即1且2時(shí)，方程組有惟一解11(1)22, y 2,z 2(2)當(dāng)A=0時(shí)，即=1或=2時(shí)(i)當(dāng)=1時(shí)，原方程組為x y z 1,0k1 1 k2 2(1,0,0) Tki(1,1,0)Tk2( 1,0,1)T,其中ki, k2為任意常數(shù).(ii)當(dāng)=-2時(shí)，原方程組為2,4對(duì)該方程組的增廣矩陣A施行行初等變換2x y z x 2y z x y 2z15因?yàn)閞(A) 2 r(A) 3,所以方程組無(wú)解.(法二)對(duì)該方程組的增廣矩陣A施行行初等變換

18、1)(2)1)(1)211(1)22, y 2，Z 2(2)當(dāng) =1時(shí)，r(A) r(A) 1,方程組有無(wú)窮多組解，其通解為0 ki 1 k2 2 (1,0,0) T k1( 1,1,0)T k2( 1,0,1)T,其中k1，k2為任意常數(shù).(3)當(dāng) =-2時(shí)，由B知，r(A) 2 r(A) 3,所以方程組無(wú)解.B3-5.若1, 2, 3是某齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明：12, 23, 31也是該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.證 設(shè)有三個(gè)數(shù)k1,k2, k3使得k1( 12) k2 ( 2 3) k3( 3 1) 0,則有(k1 k3) 1 (k1 k2) 2 (k2 k3 ) 3 0 ,因?yàn)?

19、, 2, 3是某齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，所以1, 2, 3線性無(wú)關(guān)，故k1 k30k1k2 0 , k2 k3 0該方程組的系數(shù)行列式1 0 1 11020, 0 1 1所以該方程組只有零解.即 k1 k2 k3 0.即12, 23, 31線性無(wú)關(guān).又由齊次線性方程組的性質(zhì)知12, 23, 3 1都是方程組的解.所以B3-6.設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知1, 2, 3是它的三個(gè)解向量，且21321 4 '23354求該方程組的通解.解 因?yàn)閚 4,r 3 ,故原方程組的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系含有n r 1個(gè)解向量，所以只須找出其導(dǎo)出組的一個(gè)非零解向量即可.由解的性質(zhì)知

20、，i 2, 1 3均為導(dǎo)出組的解，所以(12) ( 13） 2 1 （ 2 3）為導(dǎo)出組的解，即42 1（ 23）56為導(dǎo)出組的解.故原方程組的通解為23k為任意常數(shù).56B3-7.設(shè) 是非齊次線，f方程組 AXB的一個(gè)解，1, 2, , n r是它對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明：* （1） ,1,2, , n r線性無(wú)關(guān)；一、 * * * * （2） ,1,2, ,n r線性無(wú)關(guān).、一 ，、,、一、r、L*.證（1） 反證法.設(shè)，1, 2, n r線性相關(guān)，由 1, 2, n r是對(duì)應(yīng)r線性表示，即是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解，與題設(shè)矛盾.故*, 1,2,n r線性無(wú)關(guān).、_. . .一,、_. 一、1 * * * *證(2)反證法.設(shè),1,2, , n r線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)ko,ki,k2,|kn，使得*koki( i)k2(2)J"knr( nr) 0 ,即(koki k2I"kn r)* ki 1k22Krn r 0,由(1)知， ，i,2, n r線性無(wú)關(guān)，則koki k2Wkn r o, ki 0, k20,., kn r0,從而ko 0,這與ko,ki,k2,W,kn r不全為零矛盾，*故,1,