10-0大數(shù)定律與中心極限定理

1、10 05大數(shù)定律和中心極限定理切比雪夫大數(shù)定律大數(shù)定律.伯努利大數(shù)定律 辛欽大數(shù)定律中心極限定理T列維-林德伯格定理:棣莫弗-拉普拉斯定理泊松定理、切比雪夫不等式1.定理：設隨機變量X具有數(shù)學期望EX = N, DX =。2,則對于任意正數(shù) g ,不等式P X _ N >z<二2-2成立。這一不等式稱為切比雪夫不等式。2.說明：(1)切比雪夫不等式也可以寫成如下形式:(2)切比雪夫不等式常常用來粗略估計隨機變量在某個區(qū)間的概率。二、大數(shù)定律1 .貝努利大數(shù)定律：設試驗E是可重復進行的，事件 A在每次試驗再出現(xiàn)的概率P(A) = p(0< p <1),將試驗進行n次，用

2、nA表示其中事件 A出現(xiàn)的次數(shù)，則對于任意正數(shù) 名，有l(wèi)im P nA - ph名 = 1 n- n或lim P|nA 一 p _ .； = 0說明：當n充分大時，事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小，由實際推斷原理， 在應用中，當試驗次數(shù)很大時，可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件發(fā)生的概率。2 .切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況：設隨機變量Xi，X2，Xn,相互獨立，且具有相同的數(shù)學期望和方差：2E(Xn) = k,D(Xn)=<r2(k=1,2;-),對于任意 6A0,有l(wèi)im P X - Pl < 酚n-jpcI=lim Pn ”二n k41 .、Z E(Xk) <

3、3;n kj二1其中說明：此定理說明： n個隨機變量X1,X2，Xn的算術(shù)平均值1 /、“X = £ Xk 當 nT°o 時 n k4依概率收斂于N。3.切比雪夫大數(shù)定律設隨機變量Xi, X 相互獨立，均具有有BM方差，且被同一常數(shù) C所界:(X) <C(i=1,2,)，則對于任意的正數(shù)£ ,有l(wèi)im P -Z Xi H E(XJ <s =1.4.辛欽大數(shù)定律是相互獨立同分布的隨機變量序列，且 E (Xn)二仙，則對于任意的正數(shù)£有l(wèi)im P Xj *名=1.n_：三、中心極限定理1.獨立同分布序列的中心極限定理設X1，X2：Xn是.獨立同分

4、布的隨機變量序列，且具有相同數(shù)學期望和方差 n'、Xi -nJE(XJ =N,D(Xi)=。2 (i =1,2,)，記隨機變量Yn=的分布函數(shù)Fn(x), .n 二則對于任意的實數(shù)x有 n“ Xi - nx2X 1 二nimJn(X)imRYn "二 PmR-n.-X=_2 e dt=：J(X)n'、Xi -nJ或 Jm Rp_ X=1-：，X此定理說明:nV X nJn 近似乙八1nL近似(1)Z Xi - N(nN,n。2)或 N(0,1)i 1: nc，i'b - nN ：(2)P乙 Xi wb=.=i I Jn。nPXi _a =1 - ：，nPaXi

5、 Mb =：， i 1i 12株莫弗一拉普拉斯中心極限定理：設隨機變量Zn是n次獨立重復試驗中事件 A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對于任意的實數(shù)xZ.-nDx 1 曰Z - nplim Pj < X = fe 2 dt =G (x)或 lim Pt> X = 1 -(X )n 、npq,二2二“npq其中q =1 - p此定理說明：(1) Zn b(n,p)近似z _ np近似Zn N(np,npq)或 n N (0,1)“npq(2) PZn <b =：'b - npPa :二 Zn 汕=中.npqPZn - a =1a -np npqnpq三、泊松定理若當

6、nT七時，npT九0,則,kk k kn &Cn p (1 - p)ek!其中k=0, 1, 2,，n,。二項分布的極限分布為泊松分布。常見題型1、大數(shù)定律1.1. 隨機變量X的E (X) = N ,D(X)= CT2,用切比雪夫不等式估計P(| X - E(X) F 3。)至( )A. 1 B.1C.8D.19392 .設匕是n次獨立重復試驗中事件 A出現(xiàn)的次數(shù)，P是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的£ > 0 ,均有l(wèi)im P|上LpIae)()nnA. =0 B. =1 C. > 0 D.不存在23 .設隨機變量X 的 E(X)= t D(X )=仃

7、，用切比雪夫不等式估計P(|X -E(X)|W3b2 產(chǎn) 。4.設X1, X2,Xn是來自總體 N小b2)的樣本，對任意的 £ >0,樣本均值X所滿足的切比雪夫不等式為()B. p X-“CW hl-三 ns,_2D. p X -n > £ 幻黑-5.設X1, X2,，X,相互獨立同分布，且 E (K) =0,則例6.設X, X2,，X,是相互獨立的隨機變量序列，乂服從參數(shù)為 n的指數(shù)分布(n=1,2,)，則下列中不服從切比雪夫大數(shù)定律的隨機變量序列是：(A)X1,X2,，X,；(B)X1, 22X2,，n2X,(C)X1,X2/2 ,，X/n ,；(D)X1,

8、2鳧，nXn,2、中心極限定理7.設 Xi =。事件A不發(fā)生，.1,事件以生蚱1,2,10000),且P(A)=0.8, XIX2，X10000 相互獨立10000令Y= Z Xi,則由中心極限定理知 Y近似服從的分布是()i JA.N(0,1)B.N(8000,40)C.N(1600,8000)D.N(8000,1600)8,設X1, X2,，Xn,為獨立同分布的隨機變量序列，且均服從參數(shù)為入(入1)的指數(shù)分布，記 (x)為標準正態(tài)分布函數(shù)，則有()n在：Xi -nA. nimP i Mx =G(x) - nn7 Xi -n C. lim P i -_x =：D(x)一 ,、.nn'

9、、XiB. lim P i-_x ：，(x)3、n.n ' Xi - D. lim P i-_x = ：，(x)n :、 n,9 .設相互獨立的隨機變量序列 Xi, X2,，Xn,服從相同的概率分布，且 E (Xi)=核,D (Xi)= b2,記時二士 Xi，(x)為標準正態(tài)分布函數(shù), n i 1A.(1) C.2 (1) -1 10.B.1-(1)D.1設隨機變量 Xi, X2,，Xn,相互獨立同分布，且Xi的分布律為i=1,2,，(x)為標準正態(tài)分布函數(shù)，則£ Xi -nplim P 凸2n一，；np(1-p)I JA . 0C. 0(2)B. 1D. 1-(2)11 .某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明，在索賠中被盜索賠戶占20%以X表示 在隨機抽查的100個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的戶數(shù)。（1）寫出X的概率分布；（2）利用棣美佛-拉普拉斯定理，求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶 的概率的近似值。附表（x）是標準正態(tài)分布函數(shù)。x00.51.01.52.02.53.06(x)0.5000.6920.8410.9330.9770.9940.99912 . 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的。假設每箱平均重50千克,標準差為5千克。若用最大載重量為 5噸的汽車