11級第4次習題思考題參考答案

1、11級第4次習題 思考題參考答案1、將布洛赫函數(shù)中的調(diào)制因子uk（r）展成傅立葉級數(shù)，對于近自由電子，當電子波矢遠離和在布里淵區(qū)邊界上兩種情況下，此級數(shù)有何特點？在緊束縛模型下，此級數(shù)又有什么特點？答：由布洛赫定理可知，晶體中電子的波函數(shù)：對比本教科書（4-24）式的一維形式和（4-46）的三維形式的修正項，具體寫出u的形式，并論證 其周期性，以一維的為例：將 Wk（x）變形得： 則有則=1 +工 手Ve12Xei2jimn （m 為整數(shù)）n k2 -（k 口2二）22ma因為mn為整數(shù)，所以ei27mn =1 ,于是可見，Uk（x）是周期函數(shù)，于是有：在緊束縛模型下，電子的波函數(shù)是本教科書（

2、4-57）式，再此基礎(chǔ)上寫出 u的形式，并論證其周期性（過程略）。2、波矢空間與倒格空間有何關(guān)系？為什么說波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點是準連續(xù)的？答：波矢空間與倒格空間處于同一空間，倒格空間的基矢分別為b1,b2,b3 ,而波矢空間的基矢可以認為也是b b b,但是受周期性限制，波矢空間的基矢則分別為且至匹， 2,n1,n2,n2N1、N2、N3分別是沿正格子基矢 5向,是方向晶體的原胞數(shù)目。倒格矢空間中一個倒格點對應(yīng)的體積為：波矢空間中一個波矢點對應(yīng)的體積為：即波矢空間中一個波矢點對應(yīng)的體積，是倒格空間中一個倒格點對應(yīng)的體積的1/N。由于N是晶體的原胞數(shù)目，數(shù)目巨大，所以一個波矢點對應(yīng)的體積與一個倒格

3、點對應(yīng)的體積相比是 極其微小的。也就是說， 波矢點在倒格空間看是極其稠密的。因此，在波矢空間內(nèi)作求和處理時，可把波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點看成是準連續(xù)的。3、簡敘緊束縛近似方法的思想。答：電子在一個原子（格點）附近時，主要受到該原子勢場的作用，而將其它原子（格點）勢場的作用看作是微擾， 將晶體中電子的波函數(shù)近似看成原子軌道波函數(shù)的線性組合，這樣可以得到原子能級和晶體中能帶之間的關(guān)系。一個原子能級 i對應(yīng)一個能帶，不同的原子能級對應(yīng)不同的能帶。當原子形成固體后， 形成了一系列的能帶。 能量較低的能級對應(yīng)內(nèi)層電子，其軌道較小，原子之間內(nèi)層電子的波 函數(shù)相互重疊較少，所以對應(yīng)的能帶較窄。能量較高的能級對應(yīng)外

4、層電子，其軌道較大，原子之間外層電子的波函數(shù)相互重疊較多，所以對應(yīng)的能帶較寬。4、近自由電子模型與緊束縛模型各有何特點？它們有相同之處？答：所謂近自由電子模型就是認為電子接近于自由電子狀態(tài)的情況，而緊束縛模型則認為電子在一個原子附近時，將主要受到該原子場的作用，把其它原子場的作用看成微擾作用。 這兩種模型的相同之處是：選取一個適當?shù)木哂姓恍院屯陚湫缘牟悸搴詹ㄐ问降暮瘮?shù)集， 然后將電子的波函數(shù)在所選取的函數(shù)集中展開，其展開式中有一組特定的展開系數(shù)，將展開后的電子的波函數(shù)代入薛定謂方程，利用函數(shù)集中各基函數(shù)間的正交性，可以得到一組各展開系數(shù)滿足的久期方程。這個久期方程組是一組齊次方程組，由齊次方

5、程組有解條件可求出電子能量的本征值，由此便揭示出了系統(tǒng)中電子的能帶結(jié)構(gòu)。5、緊束縛模型電子的能量是正值還是負值？答：緊束縛模型電子在原子附近的幾率大，遠離原子的幾率很小， 在原子附近它的行為同在孤立原子的行為相近。因此，緊束縛模型電子的能量與在孤立原子中的能量相近。孤立原子中電子的能量是一負值，所以緊束縛模型電子的能量是負值。s態(tài)電子能量表達式：即是例證，其中孤立原子中電子的能量E：是主項，是一負值，J0和J(Rs)是小量，也是負值。6、與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對什么狀態(tài)的電子具有強烈的散射作用？答：當電子的波矢k滿足關(guān)系式：時，與布里淵區(qū)邊界平行且垂直于Gn的晶面族對波矢為 k的電子具有強

6、烈的散射作用。此時，電子的波矢很大，波矢的末端落在了布里淵區(qū)邊界上，k垂直于布里淵區(qū)邊界的分量的模等于叵式。27、在布里淵區(qū)邊界上電子的能帶有何特點？答：電子的能帶依賴于波矢的方向，在任一方向上，在布里淵區(qū)邊界上，近自由電子的能帶一般會出現(xiàn)禁帶。若電子所處的邊界與倒格矢Gn正交，則禁帶的寬度 Eg=2|V(Gn)|。V( Gn)是周期勢場的傅立葉級數(shù)的系數(shù)。不論何種電子，在布里淵區(qū)邊界上， 其等能面在垂直于布里淵區(qū)邊界的方向上的斜率為 零，即電子的等能面與布里淵區(qū)邊界正交。8、緊束縛模型下，內(nèi)層電子的能帶與外層電子的能帶相比較，哪一個寬？為什么？答：以s態(tài)電子為例。緊束縛模型電子能帶的寬度取決

7、于積分Js的大小，而積分：的大小又取決于 (r)與相鄰格點的中：(r-Rn)的交迭程度。緊束縛模型下，內(nèi)層電子的atatatatQ與Q(r -Rn)交疊程度小，外層電子的 久(r)與久任-Rn)交迭程度大。因此，緊 束縛模型下，內(nèi)層電子的能帶與外層電子的能帶相比較窄，外層電子的能帶寬。9、根據(jù)能帶理論簡述金屬、半導體和絕緣體的導電性。答：對于金屬：電子在能帶中的填充可以形成不滿帶，即導帶，因此它們一般是導體。對于半導體：從能帶結(jié)構(gòu)來看與絕緣體的相似，但半導體禁帶寬度較絕緣體的窄，依靠熱激發(fā)即可以將滿帶中的電子激發(fā)到導帶中，因而具有導電能力。 對于絕緣體：價電子剛好填滿了許可的能帶，形成滿帶。導

8、帶和價帶之間存在一個很寬的禁帶，所以在電場的作用下沒有電流產(chǎn)生。 10、絕對零度時，價電子與晶格是否交換能量？答：晶格的振動形成格波，價電子與晶格交換能量，實際是價電子與格波交換能量。格波的能量子稱為聲子，價電子與格波交換能量可視為價電子與聲子交換能量。頻率為財?shù)母癫ǖ穆曌訑?shù)：從上式可以看出，絕對零度時，任何頻率的格波的聲子全都消失。因此，絕對零度時，價電 子與晶格不再交換能量。11、試述晶體中的電子作準經(jīng)典運動的條件和準經(jīng)典運動的基本公式。答：在實際問題中，只有當波包的尺寸遠大于原胞的尺寸，才能把晶體中的電子看做 準經(jīng)典粒子。準經(jīng)典運動的基本公式有：晶體電子的準動量為p = k ；1,、晶體

9、電子的速度為v = , k E(k);一,，,一d kdt晶體電子的倒有效質(zhì)量張量為11E(k)晶體電子受到的外力為F = *在外加電磁場作用下，晶體電子的狀態(tài)變化滿足：12、試述有效質(zhì)量的意義。引入它有何用處？答：有效質(zhì)量實際上是包含了晶體周期勢場作用的電子質(zhì)量，它的引入使得晶體中電子準經(jīng)典運動的加速度與外力直接聯(lián)系起來了，就像經(jīng)典力學中牛頓第二定律一樣，這樣便于我們處理外力作用下晶體電子的動力學問題。13、一維周期場中電子的波函數(shù) 中k(x)應(yīng)當滿足布洛赫定理。若晶格常數(shù)為a,電子的波函二 ，.3 二. .二數(shù)為：(1)“k (x) =sin x ；(2)"k(x) =icosx

10、；"k(x) = Z f(x ia)(其中 f 為某個確定的函數(shù))。試求電子在這些狀態(tài)的波矢，并給出相應(yīng)的布洛赫函數(shù)。答：布洛赫函數(shù)可寫成Wk(x) = e1kxuk(x),其中，uk(x + a) = uk(x)或?qū)懗蓈k(x+a) =e" k(x).x-sin :-k(x) a,x a(1)'- k(x a);sin二a故eika = -1顯然有 uk(x a) = uk(x)故布洛赫函數(shù)為:-L-Xuk(x)=e a sin x；而中k(x) =sin x的波矢是一。 aaa3(x ' a)3x _(2) - k (x a) = i cos- = -i

11、 cos=_ k(x)aa所以eika = -1 k ='：a二:x故布洛赫函數(shù)為：uk(x)=e a顯然有 uk (x a); uk(x)n的波矢一。a3x.i cosn ；而 ¥ k (x) = i cos aoOoOoO(3)'- k(x a) = " f (x a -ia) = " f x -(i -1)a = " f (x - ma) = k(x) i 二：二i =.：二m 二二：故eika =1 k = 0odoO故布洛赫函數(shù)為：uk(x) = 2 f (x -ia)；而5 k(x) = £ f(x ia)的波矢為0

12、。*要注意的是，上述所確定的波矢k并不是唯一的，這些 k值加上任一倒格矢都是所需的解。因為k空間中相差任一倒格矢的兩個k值所描述的狀態(tài)是一樣的。14、已知一維晶體的電子能帶可寫成：l 八、27.1、E(k) =2 (一 - cos ka + cos2ka)。ma 88式中a是晶格常數(shù)。試求(1)能帶的寬度；(2)電子在波矢k的狀態(tài)時的速度；(3)能帶底部和 頂部電子的有效質(zhì)量。答：(1)在能帶底k=0處，電子能量為E(0)=0;在能帶頂k=一處，電子能量為a2 2故能帶寬度為 E=E(一)-E(0) = -2;ama(2)電子在波矢k的狀態(tài)時的速度為(3)電子的有效質(zhì)量為于是有在能干底部電子的有效質(zhì)重為m1 = 2m ；在能帶頂部電子的有效質(zhì)量為*2m2 = 一一m。315、在晶體中，電子在周期勢場中運動，此周期勢是電子同