直線與圓知識點(diǎn)及經(jīng)典例題(含答案)

1、.圓的方程、直線和圓的位置關(guān)系【知識要點(diǎn)】一、 圓的定義： 平面內(nèi)與一定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡稱為圓（一）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x a)2( yb)2r 2這個方程叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。王新敞說 明： 1、若圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)上，這時ab0，則圓的方程就是x2y2r 2。2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個基本要素：圓心坐標(biāo)和半徑；圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要a, b, r 三個量確定了且r 0，圓的方程就給定了。就是說要確定圓的方程，必須具備三個獨(dú)立的條件王新敞確定a, b, r ，可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來解決。（二）圓的一般方程將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (xa) 2( yb) 2r 2,展

2、開可得 x2y 22ax2bya2b2r 20 ?？梢?，任何一個圓的方程都可以寫成: x2y2DxEyF0問題：形如 x2y2DxEyF0 的方程的曲線是不是圓？將方程 x 20左邊配方得： (xD2E 2D 2E 24Fy2DxEy F2)(x2)2（1）當(dāng) D 2E 24F 0 時，方程（x 2y 2DxEyF0表示以 (D,E) 為圓1）與標(biāo)準(zhǔn)方程比較，方程22D 2E 24F心，以2為半徑的圓。,（3）當(dāng) D 2E 24F 0 時，方程 x2y2DxEyF0 沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形。圓的一般方程的定義：當(dāng) D 2E 24F 0時，方程 x2y2DxEyF0 稱為圓的一般方程

3、.圓的一般方程的特點(diǎn)：（ 1） x2 和 y2 的系數(shù)相同，不等于零；（ 2）沒有 xy 這樣的二次項(xiàng)。（三）直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓位置關(guān)系的種類（ 1）相離 - 求距離；(2)相切 - 求切線；（ 3）相交 - 求焦點(diǎn)弦長。2、直線與圓的位置關(guān)系判斷方法：幾何方法主要步驟：（ 1）把直線方程化為一般式，利用圓的方程求出圓心和半徑（ 2）利用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離（ 3）作判斷 : 當(dāng) dr 時，直線與圓相離；當(dāng)d r 時，直線與圓相切;當(dāng) dr 時，直線與圓相交。代數(shù)方法主要步驟：（ 1）把直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組（ 2）利用消元法，得到關(guān)于另一個元的一元二次方程

4、（ 3）求出其的值，比較與 0 的大小：（ 4）當(dāng)0時，直線與圓相交?！镜湫屠}】類型一：圓的方程例 1 求過兩點(diǎn)A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圓心在直線y0 上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)P(2 , 4) 與圓的關(guān)系;.變式 1：求過兩點(diǎn) A(1, 4) 、 B(3 , 2) 且被直線 y0平分的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .變式 2：求過兩點(diǎn) A(1, 4) 、 B(3 , 2) 且圓上所有的點(diǎn)均關(guān)于直線y 0 對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .分析： 欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)P 與圓的位置關(guān)系，只須看點(diǎn)P 與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距

5、離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi)解法一：（待定系數(shù)法）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( x a)2( yb)2r 2 圓心在 y0上，故 b0 圓的方程為 ( xa) 2y2r 2 (1a) 216r 2解之得： a1， r 220 又該圓過 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 兩點(diǎn)a) 24r 2(3所以所求圓的方程為( x1)2y220 解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）因?yàn)閳A過 A(1,4) 、 B(3 , 2) 兩點(diǎn)， 所以圓心 C 必在線段 AB 的垂直平分線 l 上，又因?yàn)?k AB421，故 l13的斜率為1，又 AB 的中點(diǎn)為 ( 2 , 3) ，故 AB 的垂直平分線

6、 l 的方程為： y3x2 即 xy10 又知圓心在直線y0上，故圓心坐標(biāo)為 C (1 , 0) 半徑 rAC(11) 24220故所求圓的方程為( x 1)2y220 又點(diǎn) P(2 , 4) 到圓心 C ( 1 , 0) 的距離為dPC( 21)24225r 點(diǎn) P 在圓外例 2：求過三點(diǎn) O（ 0， 0）， M （ 1， 1）， N（ 4， 2）的圓的方程，并求出這個圓的圓心和半徑。解： 設(shè)圓的方程為： x2 y2 Dx Ey F0，將三個點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程F0DE F2 04D2EF20 0F0，D8，E6圓方程為： x2 y28x 6y 0配方：（ x4） 2 （ y 3）2 25圓心：

7、（4，3 ）， 半徑 r 5例 3 求經(jīng)過點(diǎn) A(0 , 5)，且與直線 x2y0 和 2 x y0都相切的圓的方程分析： 欲確定圓的方程需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過定點(diǎn)A ，故只需確定圓心坐標(biāo)又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上解： 圓和直線 x2 y0與 2xy0 相切，圓心 C 在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線x2 y0 和 2xy0 的距離相等x2 yx 2 y兩直線交角的平分線方程是55x3 y0 或 3xy 0 又圓過點(diǎn)A(0 , 5) ，圓心 C 只能在直線 3xy0 上設(shè)圓心 C (t , 3t) C 到直線 2xy0 的距離等于AC ，2t 3

8、tt 2(3t 5) 25;.化簡整理得 t 26t50 解得： t1或 t5 圓心是 (1 , 3) ，半徑為5 或圓心是 (5 , 15) ，半徑為 5 5 所求圓的方程為( x1)2( y3)25 或 ( x5) 2( y15)2125 說明： 本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程例4已知圓224，O： xy，求過點(diǎn)P 2 4 與圓 O 相切的切線解：點(diǎn) P2，4不在圓 O 上，切線 PT 的直線方程可設(shè)為 yk x24根據(jù) d r 2k42 .解得

9、k3所以 y3 x2 4即 3x 4 y 10 01 k 24 ，4，因?yàn)檫^圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在易求另一條切線為x2 說明： 上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決（也要注意漏解） 還可以運(yùn)用x0 xy0 yr 2 ，求出切點(diǎn)坐標(biāo)x0 、 y0 的值來解決，此時沒有漏解例5 兩圓 C1： x 2y2D1 xE1 yF1 0 與 C 2： x2y2D 2 xE2 yF20 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，求它們的公共弦 AB 所在直線的方程分析： 首先求 A 、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再

10、用兩點(diǎn)式求直線AB 的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過程太繁為了避免求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求 ”的技巧解： 設(shè)兩圓 C1 、 C2 的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為( x0 , y0 ) ，則有：x02y0 2D1 x0 E1 y0F1 0x02y02D2 x0E2 y0F20得： ( D1D 2 )x0(E1E2 ) y0F1F20 A 、 B 的坐標(biāo)滿足方程(D1D2 ) x( E1E2 ) yF1F20 方程 ( D1D2 )x(E1E2 ) y F1F20 是過 A 、 B 兩點(diǎn)的直線方程又過A 、 B 兩點(diǎn)的直線是唯一的兩圓 C1 、 C2 的公共弦 AB 所在直線的方程為(D1D2 ) x ( E1

11、 E2 ) yF1 F20 說明： 上述解法中，巧妙地避開了求A 、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo)從解題的角度上說，這是一種“設(shè)而不求 ”的技巧，從知識內(nèi)容的角度上說，還體現(xiàn)了對曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對直線方程是一次方程的本質(zhì)認(rèn)識它的應(yīng)用很廣泛例 6、求過點(diǎn) M(3,1) ，且與圓 (x 1)2y24 相切的直線 l 的方程 解：設(shè)切線方程為y1k ( x3) ，即 kxy3k1 0 ，圓心(1,0) 到切線 l 的距離等于半徑 2 ， | k3k1|2 ，解得 k3， 切線方程為y13 (x3) ，即 3x 4 y130 ，

12、2244k1當(dāng)過點(diǎn) M 的直線的斜率不存在時，其方程為x3，圓心 (1,0) 到此直線的距離等于半徑2，故直線 x3 也適合題意。 所以，所求的直線l 的方程是 3x4 y130 或 x3;.類型三：弦長、弧問題例 7、求直線 l : 3x y 60 被圓 C : x 2y 22x 4 y 0 截得的弦 AB 的長 .例 8、直線 3x y2 30截圓 x2y 24 得的劣弧所對的圓心角為解：依題意得，弦心距d3，故弦長 AB2 r 2d 22 ，從而 OAB 是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為AOB.3例 9、求兩圓x2y2xy20 和 x2y25 的公共弦長類型四：直線與圓的位置關(guān)系

13、例 10、已知直線 3x y 2 30 和圓 x 2y 24 ，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系 .例 11、若直線yxm 與曲線 y4x2有且只有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍 .解：曲線 y4x 2表示半圓 x 2y 24( y0) ，利用數(shù)形結(jié)合法， 可得實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 2 m 2或 m 2 2 .例 12、圓 ( x3) 2( y3) 29 上到直線 3x4 y11 0 的距離為 1 的點(diǎn)有幾個？分析： 借助圖形直觀求解或先求出直線l1 、 l 2 的方程，從代數(shù)計算中尋找解答解法一： 圓 ( x3) 2( y 3) 29 的圓心為 O1 (3 , 3) ，半徑 r3 設(shè)圓心 O

14、1 到直線3x 4 y 110 的距離為 d ，則 d3343113 如圖，在圓心 O1 同32422側(cè)，與直線 3x4 y 11 0 平行且距離為1 的直線 l1 與圓有兩個交點(diǎn)，這兩個交點(diǎn)符合題意 又rd3213x4 y11 0 平行的圓的切線的兩個切點(diǎn)中與直線有一個切點(diǎn)也符合題意符合題意的點(diǎn)共有3 個解法二： 符合題意的點(diǎn)是平行于直線3x4 y11 0 ，且與之距離為1 的直線和圓的交點(diǎn)設(shè)所求直線為;.3x 4 y m 0，則dm1，m 11 5，即m 6，或m 16，也即113242l1：3x 4 y 60 ，或 l2：3x 4y 16 0 設(shè)圓(3) 2(y3) 29的圓心到直線l1

15、 、 l2的距離為 d1 、 d2 ，O1：x則 d1334363 ， d2334316132423242 l1 與 O1 相切，與圓 O1 有一個公共點(diǎn)；l2 與圓 O1 相交，與圓 O1 有兩個公共點(diǎn)即符合題意的點(diǎn)共3 個類型五：圓與圓的位置關(guān)系例 13、判斷圓 C1 : x 2y22x 6 y260與圓 C2: x 2y 24x2y 40 的位置關(guān)系，例 14：圓 x2y 22x0 和圓 x 2y24 y0 的公切線共有條。解：圓 ( x1)2y 21的圓心為O (1,0)，半徑 r1，圓 x 2( y2)24 的圓心為O2 (0, 2)，半徑 r22 ，11 O1O25,r1r23,

16、r2r11. r2r1O1O2r1r2 ，兩圓相交 .共有 2條公切線。類型六：圓中的最值問題例 15：圓 x2y 24x4 y100 上的點(diǎn)到直線 xy140 的最大距離與最小距離的差是解：圓 ( x2) 2( y2) 218 的圓心為（ 2，2），半徑 r32 ，圓心到直線的距離d105 2r ，2直線與圓相離，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是(dr )(dr )2r62 .例16(1)已知圓(3) 2(y4)21， P(x , y) 為圓 O 上的動點(diǎn)，求dx22O1：xy 的最大、最小值(2) 已知圓 O2：(x2)2y 21， P(x , y) 為圓上任一點(diǎn)求y2 的最大、最小值，求x2 y 的最大、最小值x1分析： (1)、 (2)兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決解： (1)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值d1 等于圓心到原點(diǎn)的距離d1，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值d2 等1 加上半徑減去半徑 1所以 d1324216 d2324214 于圓心到原點(diǎn)的距離d 1所以 dmax36 dmin16 ;.(2)設(shè) y2k ，則 kx y k 2 0 由于 P( x , y) 是圓上點(diǎn)，當(dāng)直x1線與圓有交點(diǎn)時，如圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值2kk233 所以 y2 的最大值為 33 ，由 d