工程制圖課件：2-4 直線平面相對位置150512

1、2-4 直線、平面的相對位置直線、平面的相對位置一、一、 直線與平面平行直線與平面平行 兩平面平行兩平面平行二、二、 直線與平面相交直線與平面相交 兩平面相交兩平面相交三、三、 直線與平面垂直直線與平面垂直 兩平面垂直兩平面垂直 基本要求基本要求基本要求（一）平行問題 1熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件； 2熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。（二）相交問題 1熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點(diǎn)的求法和作兩個(gè)面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。 2熟練掌握一般位置線、面相交求交點(diǎn)的方法；掌握一般位置面、面相交求交線的作圖方法。 3掌握利用重

2、影點(diǎn)判別投影可見性的方法。（三）垂直問題 掌握線面垂直、面面垂直的投影特性及作圖方法。（四）點(diǎn)、線、面綜合題 1熟練掌握點(diǎn)、線、面的基本作圖方法； 2能對一般畫法幾何綜合題進(jìn)行空間分析，了解綜合題的一般解題步驟和方法。一、 直線與平面平行 兩平 面平行（一）、直線與平面平行幾何條件幾何條件 若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據(jù)。 有關(guān)線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。 例題1 例題2（二）、平面與平面平行幾何條件幾何條件 若一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線與另一個(gè)平面內(nèi)

3、的相交二直線對應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據(jù)。 兩面平行的作圖問題有：判別兩已知平面是否相互平行；過一點(diǎn)作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的所缺投影。 例題3 例題4 例題5特殊情況特殊情況特殊情況特殊情況（一）、直線與平面平行 若一直線平行于屬于定平面的一直線，則該直線與平面平行例題例題1 試判斷直線AB是否平行于定平面 fgfg結(jié)論：直線AB不平行于定平面例題例題2 試過點(diǎn)K作水平線AB平行于CDE平面 baaffb（二）、兩平面平行 若屬于一平面的相交兩直線對應(yīng)平行于屬于另一平面的相交兩直線，則此兩平面平行EFDACB例題例題3 試判斷兩平面是否平行

4、mnmnrrss結(jié)論：兩平面平行例題例題4 已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點(diǎn)K作一平面平行于已知平面 。emnmnfefsrsrkk例題例題5 試判斷兩平面是否平行。結(jié)論：因?yàn)镻H平行SH，所以兩平面平行二、 直線與平面相交、兩平 面相交（一）、直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)（二）、兩平面的交線是直線（三）、特殊位置線面相交（四）、一般位置平面與特殊位置平面相交（五）、直線與一般位置平面相交（六）、兩一般位置平面相交（一）、直線與平面相交直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)，它是直線與平面的共有點(diǎn)。BKAM（二）、平面與平面相交兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有FKNL（三）、特殊位

5、置線面相交1、直線與特殊位置平面相交判斷直線的可見性2、特殊位置直線與一般位置平面相交bbaaccmmnn1、直線與特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交點(diǎn)可直接求出。kk判斷直線的可見性bbaaccmmnkkn 特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。 ( ) 2、求鉛垂線EF與一般位置平面ABC的交點(diǎn)并判別其可見性。k21k21dd（四）、一般位置平面與特殊位置平面相交 求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題,由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交線可直接求出。一般位置平面與特殊位置平面相交判斷平面的可見性一般位置平面與特殊位置平面相交nlm

6、mlnbaccabfkfkMmnlPBCacbPHAFKNLkf判斷平面的可見性結(jié) 果判斷平面的可見性（五）、直線與一般位置平面相交 1、以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖2、以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖3、判別可見性 示意圖121、以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)QV21kk步驟：1過EF作正垂平面Q。2求Q平面與ABC的交線。3求交線與EF的交點(diǎn)K。示意圖ABCQ過MN作正垂面QMN以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖122、以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)。PH1步驟：1過EF作鉛垂平面P。2求P平面與ABC的交線。3求交線與EF的交點(diǎn)K。kk2 示意圖CAB過MN作鉛垂面PNMPEF

7、K以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖fee直線EF與 ABC相交，判別可見性。利用重影點(diǎn)判別可見性1243（ ）kk34示意圖( )21直線EF與平面 ABC相交，判別可見性示意圖1 (2)(4)3利用重影點(diǎn)。判別可見性（六）、兩一般位置平面相交 求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題, 因而可利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。兩一般位置平面相交求交線 示意圖判別可見性例題6 兩一般位置平面相交，求交線步驟：1用求直線與平面交點(diǎn)的方法，作出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)K、E。求兩平面的交線llnmmnPVQV1221kkee2連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫出交線KE

8、。示意圖4433兩一般位置平面相交求交線的方法 示意圖 利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。MBCAFKNL利用重影點(diǎn)判別可見性兩平面相交，判別可見性3 4 ( )3 4 21( )1 2例題例題6 試過K點(diǎn)作一直線平行于已知平面ABC，并與直線EF相交 。分析 過已知點(diǎn)K作平面P平行于 ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPEKH作圖mnhhnmPV11221過點(diǎn)K作平面KMN/ ABC平面。2求直線EF與平面KMN的交點(diǎn)H 。3連接KH，KH即為所求。三、三、 直線與平面垂直、兩平面垂直直線與平面垂直、兩平面垂直（一）、直線與平面

9、垂直 直線與特殊位置的平面垂直 幾何條件 定理1 定理2 例題7 例題8 例題9 例題10（二）、兩平面垂直 幾何條件 例題11 例題12 例題13特殊位置特殊位置直線與平面垂直的幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。 定理1 若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。knkn定理2（逆） 若一直線的水平投影垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影，則直線必垂直于該平面。例題例題7 平面由 BDF給定，試過定點(diǎn)K作平面的法線。acacnnkkh

10、例題例題8 試過定點(diǎn)K作特殊位置平面的法線。hhhhh（a）（c）（b）例題例題9 平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN是否垂直于該平面。efef例題例題11 試過點(diǎn)N作一平面，使該平面與V面的夾角為60 ，與H面的夾角為45 。分析：平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾角互為余角直徑任取NM 作圖過程|yM-yN|zM-zN|mhm nmk|zM-zN|yM-yN|3045m nmnkhnn兩平面垂直的幾何條件 若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。AD 反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。兩平面垂

11、直兩平面不垂直g例題例題12 平面由 BDF給定，試過定點(diǎn)K作已知平面的垂面。hacachg例題例題13 試判斷 ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面是否 垂直。ffdd結(jié)論：因?yàn)锳D直線不在 ABC平面上，所以兩平面不垂直。例題例題14 試過定點(diǎn)A作直線與已知直線EF正交。EQ分析 過已知點(diǎn)A作平面垂直于已知直線EF，并交于點(diǎn)K，連接AK，AK即為所求。FAK作圖21aefafe1221PV12kk本章結(jié)束2-3 2-3 線面的相對位置線面的相對位置ABCDabc(f)d(e)EFABCDabc(f)d(e)EFKkABCDabc(f)d(e)EFKk 線面的相對位置是指直線與平面、平面

12、與平面間的相對位置 ，即：平行、相交、垂直等問題，以及它們之間產(chǎn)生的交點(diǎn)、交線、距離、角度等關(guān)系。FGDf(e)ABabg(d)Em(n)MN一、平行問題（特殊情況）一、平行問題（特殊情況） 直線與平面平行具有下列幾何關(guān)系： 若直線與平面平行，則該直線必平行于平面上的一條直線；當(dāng)平面垂直于投影面時(shí)，則平行直線的投影必然與平面具有積聚性的投影平行；平面外的直線和平面垂直于同一個(gè)投影面。1.1.直線與平面平行直線與平面平行xOfgdf(e)abbag(d)em(n)mn（一）、直線與平面平行 若一直線平行于屬于定平面的一直線，則該直線與平面平行xOccabbaemnnme一、平行問題（含特殊情況）

13、一、平行問題（含特殊情況） 直線與平面平行具有下列幾何關(guān)系： 若直線與平面平行，則該直線必平行于平面上的一條直線；當(dāng)平面垂直于投影面時(shí)，則平行直線的投影必然與平面具有積聚性的投影平行。1.1.直線與平面平行直線與平面平行xOfgdf(e)abbag(d)em(n)mnFGDf(e)ABabg(d)ECc 若空間兩平面互相平行，則一平面內(nèi)相交兩直線必然與另一平面內(nèi)的相交兩直線對應(yīng)平行；當(dāng)兩平面相互平行且又同時(shí)垂直于投影面時(shí)，則兩平面的積聚性投影一定平行。一、平行問題（含特殊情況）一、平行問題（含特殊情況）2.2.平面與平面平行平面與平面平行xOfgdf(e)abg(d)eabccPQEFDABC

14、xOccabbaegffegllFGDf(e)ABabg(d)ECc 若空間兩平面互相平行，則一平面內(nèi)相交兩直線必然與另一平面內(nèi)的相交兩直線對應(yīng)平行；當(dāng)兩平面相互平行且又同時(shí)垂直于投影面時(shí)，則兩平面的積聚性投影一定平行。一、平行問題（含特殊情況）一、平行問題（含特殊情況）2.2.平面與平面平行平面與平面平行xOfgdf(e)abg(d)eabccBKAABGDabd(e)g(f)EFKk1.1.直線與平面相交直線與平面相交 空間直線與平面相交產(chǎn)生交點(diǎn)，交點(diǎn)即是線面的共有點(diǎn)。若空間直線或平面其中之一與投影面垂直時(shí)，那么可利用積聚性的投影直接作圖。二、相交問題二、相交問題xOgdeg(f)d(e)fababkk三、垂直問題三、垂直問題1.1.直線與平面垂直（特殊位置）直線與平面垂直（特殊位置） 1）如果空間直線與投影面垂直面垂直，則該直線與平面在該投影面上的投影必然垂直。FGDf(e)ABabg(d)Exgfedababf(e)g(d)三、垂直