高二數(shù)學(xué)9.4直線和平面垂直 (三) 教案

1、課 題：94直線和平面垂直 (三) 教學(xué)目的：1掌握三垂線定理及其逆定理的證明2正確地運用三垂線定理或逆定理證明兩直線垂直教學(xué)重點：三垂線定理及其逆定理的證明教學(xué)難點： 用三垂線定理及其逆定理證明兩條異面直線的垂直授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析：三垂線定理和逆定理是平面的一條斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定定理和性質(zhì)定理借助于直線的射影，平面上垂直于斜線射影的直線，則與斜線垂直；相反，平面上的直線若垂直于斜線，則亦垂直干斜線的射影，這就是三垂線定理和逆定理的內(nèi)容可見，三垂線定理和逆定理有兩方面作用一方面，把判定空間兩直線垂直的問題轉(zhuǎn)化為判定平面

2、內(nèi)兩直線的垂直問題；另一方面，又把平面上判定兩直線垂直問題轉(zhuǎn)化為判定空間兩直線垂直問題正是由于三垂線定理及逆定理是使空間兩直線垂直與平面內(nèi)兩直線垂直相互轉(zhuǎn)化的工具，它們在空間圖形的計算和證明中有著廣泛的應(yīng)用因此它幾乎成為高考立體幾何中每年必考的內(nèi)容，關(guān)于這部分內(nèi)容的考查，主要是：（l）在復(fù)雜的空間圖形中，抽取出三垂線定理或逆定理所涉及的斜線、斜線在平面內(nèi)的射影、平面內(nèi)與射影（或斜線）垂直的直線；（2）正確地運用三垂線定理或逆定理證明兩直線垂直；（3）能利用三垂線定理或逆定理把空間兩直線垂直問題與平面上西直線垂直問題相互轉(zhuǎn)化；（4）利用三垂線定理或逆定理尋求直線與平面所成的角，二面角的平面角，點

3、到平面的距離等教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 1直線和平面的位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共點）；（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）；（3）直線和平面平行（沒有公共點）2線面平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行推理模式：3線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行推理模式：4 線面垂直定義：如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面交點叫做垂足直線與平面垂直簡稱線面垂直

4、，記作：a5直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面6 直線和平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個平面,那麼這兩條直線平行二、講解新課：1 三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直已知：分別是平面的垂線和斜線，是在平面內(nèi)的射影，且求證：；證明：，又平面，說明：（1）定理的實質(zhì)是判定平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的垂直關(guān)系；（2）推理模式： 2三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直推理模式： 注意：三垂線指PA，PO，

5、AO都垂直內(nèi)的直線a 其實質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理 要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用三、講解范例：例1 已知：點是的垂心，垂足為，求證：證明：點是的垂心，又，垂足為，所以，由三垂線定理知，例2 如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上 已知：BAC在內(nèi)，PÏa，PEAB于E，PFAC于F且PE=PF，POa求證：O在BAC的平分線上（即BAO=CAO）證明：連接OE，OF POaEO，F(xiàn)O分別為PE，PF在a上的射影PE=PF OE=OFPEAB，PFAC OEAB，OFAC(三垂線定理的逆定理 )O到BAC兩邊

6、距離相等O在BAC的平分線上變式：已知：在平面內(nèi)，點，垂足分別為，求證：證明：，（三垂線定理逆定理），又，推廣：經(jīng)過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線，如果斜線的這個角兩邊夾角相等，那麼斜線在平面上的射影是這個角的平分線所在直線例3在三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，H是ABC的垂心求證：PH底面ABC ABC是銳角三角形. 證明：PAPB PAPC且PBPC=PPA側(cè)面PBC 又BCÌ平面PBD PABCH是ABC的垂心 AHBCPAAH=A BC截面PAH又PHÌ平面PAH BCPH同理可證：ABPH 又ABÇBC=B PH面ABC設(shè)AH與

7、直線BC的交點為E，連接PE 由知PH底面ABC AE為PE在平面ABC的射影 由三垂線定理：PEBC PBPC即BPC是直角三角形，BC為斜邊 E在BC邊上 由于AEBC，故BC都是銳角 同理可證：A也是銳角 ABC為銳角三角形四、課堂練習(xí)：1選擇題 （1）如圖BC是RtABC的斜邊，過A作ABC所在平面a垂線AP，連PB、PC，過A作ADBC于D，連PD，那么圖中直角三角形的個數(shù)是（ ）（A）4個（B）6個（C）7個（D）8個 （2）直線a與平面a斜交，則在平面a內(nèi)與直線a垂直的直線（ ）（A）沒有（B）有一條（C）有無數(shù)條（D）a內(nèi)所有直線答案：（1）D (2) C2填空題 （1）邊長為

8、a的正六邊形ABCDEF在平面a內(nèi)，PAa，PA=a，則P到CD的距離為 ，P到BC的距離為 .AACO （2）AC是平面a的斜線，且AO=a，AO與a成60º角，OCÌa，AAa于A，AOC=45º，則A到直線OC的距離是 ，AOC的余弦值是 .答案：（1）; （2）3在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：A1C平面BC1D.分析：A1C在上底面ABCD的射影ACBD, A1C在右側(cè)面的射影D1CC1D,所以A1CBD, A1CC1D,從而有A1C平面BC1D.五、小結(jié) ：三垂線定理及其逆定理的證明 用三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用六、課后作業(yè)： 1.（1）下

9、列命題中正確的是 ()兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影必相交與一條直線成等角的兩條直線必平行與一條直線都垂直的兩直線必平行同時平行于一個平面的兩直線必平行 （A）、；（B）、；（C）、；（D）以上都不對（2）平面a過ABC的重心，B、C在a的同側(cè)，A在a的另一側(cè)，若A、B、C到平面a的距離分別為a、b、c，則a、b、c間的關(guān)系為()2a=b+c；（B）a=b+c；（C）2a=3(b+c)；（D）3a=2(b+c)（3）若斜線和平面所成的角為a，此斜線與此平面內(nèi)任一直線所成的角為b，則（A）ab；（B）a=b；（C）ab；（D）a與b的大小關(guān)系不確定（4）已知正ABC的邊長為，則到三個頂點的距離都

10、為1的平面有 ()1個；（B）3個；（C）5個；（D）7個（5）若空間Ða的兩邊分別與Ðb的兩邊互相垂直，則Ða與Ðb的關(guān)系為 ( )相等；（B）互補；（C）相等或互補；（D）不確定答案：D B A C D2.（1）P是ABC所在平面外一點，O是P點在平面a上的射影若P到ABC三邊的距離相等，則O是ABC的 心；若P到ABC三個頂點的距離相等，則O是ABC的 心；若PA、PB、PC兩兩互相垂直，則O是ABC的 心（2）已知PA、PB、PC是從點P發(fā)出的三條射線，每兩條射線的夾角都是60°，則直線PC與平面PAB所成的角的余弦值為 （3）已知直線

11、ab，a 平面a，則直線b與平面a的位置關(guān)系是 （4）ABCD，它們都在平面a內(nèi)，且相距28EFa，且相距15EFAB，且相距17則EF和CD間的距離為 （5）已知ABC中，AÎa，BCa，BC=6，ÐBAC=90°，AB、AC與平面a分別成30°、45°的角則BC到平面a的距離為 答案：內(nèi) ，外 ，垂 ba 或 b a 25或39 gbaFEDCBAB1A13如圖，已知CD是異面直線CA、DB的公垂線，CAa于A，DBb于B，ab=EF求證：CDEF證明：設(shè)CD、CA確定平面g，ga=AA1CAa于A，CAAA1又CACD，CA、CD、AA1

12、都在平面g內(nèi)，CDAA1設(shè)CD、DB確定平面，b=BB1同理有CDBB1，BB1CDAA1AA1 a，BB1aBB1 b，ab=EF，EFCD4如圖，已知AO是四面體ABCD的高，M是AO的中點，連結(jié)BM、CM、DM求證：BM、CN、DM兩兩垂直證明：設(shè)正四面體的棱長為aAO是高,O是正三角形BCD的中心OMDCBA連結(jié)OD,則OD=在RtAOD中,AO=,OM=；在RtMOD中，DM=同理CM=，CM2+DM2=CD2CMDM同理BMCM，DMBMBM、CM、DM兩兩垂直NMGFEDCBPAQ5如圖，PA、PB、PC兩兩垂直，PA=PB=PC，G是PAB的重心，E是BC上的一點，且BE=BC

13、，F(xiàn)是PB上的一點，且PF=PB求證：（1）GF平面PBC；（2）FEBC；（3）GE是異面直線PG與BC的公垂線證明：（1）連結(jié)BG和PG，并延長分別交PA、AB于M和D，在PBM中，PF=PB，G是PAB的重心，MG=BM，GFPM又PAPB,PAPC，PA平面PBC，則GF平面PBC（2）在EC上取一點Q使CQ=BC，連結(jié)FQ，又PF=PB，F(xiàn)QPCPB=PC，F(xiàn)B=FQBE=BC，E是BQ的中點，F(xiàn)EBQ，即FEBC（3）連結(jié)GEGF平面PBC，由三垂線定理得GEBC于E取BF中點N，連結(jié)EN，則ENFQPCPC平面PAB，EN平面PAB連結(jié)NG，那么NG是EG在平面PAB上的射影在RtPDB中，NGDB，NGPD，由三垂線定理得EGPD于G，GE是異面直線PG與BC的公垂線6如圖，已知ABCD是矩形，AB=a，AD= b，PA平面ABCD，PA=2c，Q是PA的中點HEQPDCBA求（1）Q到BD的距離；（2）P到平面BQD的距離解：（1）在矩形ABCD中，作AEBD于E，連結(jié)QEQA平面ABCD，由三垂線定理得QEBE，Q