信號(hào)的頻域測(cè)試

1、信號(hào)的頻域測(cè)試 信號(hào)的時(shí)域描述，能夠提供諸如信號(hào)的強(qiáng)弱大小，變化快慢，不同信號(hào)波形相似程度，相互間的相位關(guān)系等。兩個(gè)時(shí)域信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)可能相同，但實(shí)際作用效果都不相同。例如，同樣通過25W收錄機(jī)輸出的方差或均值都差不多的聲信號(hào)，但因頻率的高低和節(jié)奏的不同，給人的感受并不一樣；同均方差、同均值的兩個(gè)振動(dòng)信號(hào)，如果頻率高低懸殊，則它們對(duì)構(gòu)件的損傷程度也不相同。這就是說，時(shí)域信號(hào)并不能明顯表示出信號(hào)的頻率構(gòu)成，提示研究者必須注意信號(hào)中蘊(yùn)含著頻率結(jié)構(gòu)(頻率分量)。描述和分析信號(hào)的頻結(jié)構(gòu)主要方法之一是傅里葉分析法，相應(yīng)的描述和分析稱為信號(hào)頻率描述或頻率分析。 本節(jié)將從周期信號(hào)的頻率描述開始，運(yùn)用數(shù)學(xué)

2、手段(公式)，逐一介紹不同信號(hào)的描述方法、物理意義及其應(yīng)用。 一、周期信號(hào)的頻域描述 1、傅里葉級(jí)數(shù)和離散頻譜圖 周期函數(shù)x(t)，其周期為T，且函數(shù)滿足下列狄里希利條件，即信號(hào)在定義周期0,T內(nèi)單調(diào)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；在此定義周期內(nèi)只有有限個(gè)極限點(diǎn)。 函數(shù)就可展開成傅里葉級(jí)數(shù)，記作： (1-16)式中，n=1,2,3, 0=T,周期信號(hào)的角頻率(又稱“基頻”) x taa Cosntb Sinntnnn( )()00012 (1-17) (1-18) (1-19)aTx t dtTT0222( )aTCosntdtnTT2022/bTx t SinntdtnTT2022( ) a0

3、，an，bn，統(tǒng)稱為傅里葉系數(shù)，它們與t 無關(guān)。傅里葉系數(shù)取值大小，就確定了x(t)的波形。確切地說，任何周期信號(hào) 可以認(rèn)為由兩種基本信號(hào)所組成。一類是以a0/2描述的直流分量，一類是由許多正交的、幅值分別以an和bn描述的、頻率各為基頻及其整倍數(shù)的余弦和正弦(純波動(dòng))分量(即諧波)的迭加組成。因此傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)了組成周期信號(hào)的各分量的“頻率結(jié)構(gòu)”。 若期信號(hào)x(t)為奇函數(shù)時(shí)， an=0, a0=0 此時(shí) (1-20) 若周期信號(hào)x(t)即不是偶函數(shù)又不是奇函數(shù)時(shí)，可以把式(1-16)改寫為： x(t)= (1-22)x tb Sinntnn( ) 01aa Cosntb Sinntnnn0

4、0012()aabaabCosntbabSinntaA CosCosntSinSinntaA Cos ntnnnnnnnnnnnnnnnn02212202200100001222() 式中 : 為諧波分量的幅值。 當(dāng)n=1時(shí)，稱為一次諧波即基波，相應(yīng)的頻率即為基頻0；n=2,3,時(shí)，依次稱為二次、三次諧波，相應(yīng)的頻率稱為二次、三次諧波。 (1-23) 式中n稱為各次諧波的相位。Aabnnn22nnnnnnnnnnCosaabSinbabtgba 1221221 式(1-22)實(shí)際描述了周期信號(hào)x(t)的頻率結(jié)構(gòu)。我們以幅值A(chǔ)N為縱座標(biāo)，以為橫座標(biāo)畫出的AN-圖稱為幅值頻譜圖，間稱頻譜圖；以n為

5、縱座標(biāo)，為橫座標(biāo)畫出的n -圖稱為相位頻譜圖，簡稱相位圖。 由式(1-22)可看出，周期信號(hào)的頻譜是離散的，即各次諧波頻率都是基頻0的整數(shù)倍 n0。通過以下幾個(gè)例子，讀者不難看出，周期信號(hào)的譜圖必以n0為間隔作離散狀排列。 例7：求如圖1-23(a)所示的周期方波x(t)的頻譜，該方波表達(dá)式為： A 0tT/2 x(t)= 0 t=0及 t=T/2 -A T/2tT 解：由圖可知，該信號(hào)為奇函數(shù)，因此a0=0, an=0，0T 據(jù)式(1-19)有： /20/2/200/2002( )420n=2,4,6,.4n1,3,5,.TTTTbnx tSinntdtTASinntdtTACosntnAn

6、 該周期方波可寫成: 畫出其頻譜圖如圖1-23(b)所示。 00001411( )(35)3541(21)21niAx tSintSintSintASinntn例8：求圖1-24(a)所示周期三角波的頻率，其表達(dá)式為： x(t)= A+(2A/T)t -TtT1 時(shí)，x(t)=0。從這個(gè)非周期信號(hào)出發(fā)，我們可以構(gòu)成一個(gè)周期信號(hào) ,使x(t)是的一個(gè)周期，如圖1-28(b)所示。當(dāng)T0比較大時(shí)， 就在一個(gè)較長時(shí)間隔內(nèi)與x(t)相一致，當(dāng)T0，對(duì)任意有限時(shí)間t， 就等于x(t)。 x t( )x t( )x t( )對(duì)周期信號(hào) ，在(-T0/2,T0/2)區(qū)間內(nèi)其傅里葉級(jí)數(shù)展開為： (1-36)式

7、中 , (1-37)x t( )x tC enjntn( ) 0002TCTx tedtnjntTT1022000/( ) 在積分區(qū)間 , 有TTT0022/,t tT0/2T0/2 x t( )x(t)= , 0其余t (1-38) 所以，式(1-37)可以重新寫成： CTX tedtTf t edtnjntTTjnt1102200000( )( )/ 現(xiàn)定義T0Cn的包絡(luò)X()為 (1-39)Xx t edtjnt( )( )0 此時(shí)，系數(shù)Cn可以寫成 (1-40)CTF nn100() 將式(1-36)和式(1-40)比較一下， 就可以用X()表示為 (1-41)(txX tTX nen

8、jnt( )()1000 利用0T0的關(guān)系，上式又可表示為 (1-42)X tX nenjnt( )()1200隨著T0， 趨于x(t)，上式就變成x(t)的表示式。又當(dāng)T0時(shí)，有00 ，于是式(1-42)的右邊就過渡為一個(gè)積分，即： (1-43) 稱式(1-39)和式(1-43)為傅里葉變換對(duì)，即：x t( )deXtxtj)(21)( x(t)= (1-44) X()= (1-45)12Xedjt()Xedj t( ) 式中x(t)在有限區(qū)間上滿足狄里希利條件和在(-,+)內(nèi)絕對(duì)可積。式(1-44)和式(1-45)建立了x(t)和X()之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。我們稱式(1-45)為x(t)的傅里葉

9、變換，式(1-44)為傅里葉逆變換。兩者統(tǒng)稱傅里葉變換對(duì)。表示為： 簡寫 。記。x txIFTFT( )( )x tx( )( )L X tXLXx t( )( ),( )( )1 一般X()為復(fù)函數(shù)，可以寫成： X() (1-46)式中: X()= (1-47)X( )ej()RXIXem22( )( ) (1-48)以X()或()為縱座標(biāo)，為橫座標(biāo)繪出的譜圖稱為幅值譜和相位譜。 由式(1-44)可看出，x(t)這一瞬變信號(hào)可表示為無數(shù)角頻率正余弦分量與單位旋轉(zhuǎn)矢量 迭加而成。在譜圖中，在(-,+)連續(xù)變化，每一分量幅值大小或相位大小都表示為X()d，因此，X()=X()d/ d就具有譜密度

10、的含義。 ()()()tgIXRXme1eCos tjSin tj t 例1：求脈沖方波 A tT1 于縱軸對(duì)稱如圖1-29(a)所示。解：由式(1-45)得: X()= (1-49)x t edtAedtAjeej tj tTTj Tj t( )11112211111ATSin TTAT STa() X()示于圖1-29(b)。其中 稱為抽函數(shù)(或插值函數(shù))，它具有下述性質(zhì)：SxSinxxa( ) 是兩個(gè)奇函數(shù)相乘，其結(jié)果為偶函數(shù)； 當(dāng)x=(2n+1)2(n為自然數(shù))時(shí)，Sa(x)之值可查表得出；1xS in x 當(dāng)x等于的整數(shù)倍時(shí)，Sa(x)=0 ，但在x0處 Sa(x)曲線下的總面積等于

11、，即 Sa xSinxxxx( )001Sn x dxSinxxdx( ) 由式(1-45)可寫出： Xx tedtj t()( )x t Cos tdtx t Sin tdtRjRxCos txSin t( )( )( )( )00式中: (1-50) Rx tCos tdtxCos t0( ) (1-51)Rx t Sin tdtxSin t( )( )0 式(1-50)和式(1-51)說明，用單位正交正余弦密度信號(hào)去作能量信號(hào)條件下的時(shí)的相關(guān)，可得出瞬變信號(hào)的頻率分量。所以，建立信號(hào)時(shí)頻轉(zhuǎn)換關(guān)系的傅里葉級(jí)數(shù)展開或傅里葉積分變換，本質(zhì)上都是作頻率分量的相關(guān)。根據(jù)同頻才相關(guān)的原理來“取出”同

12、頻分量(包括“零頻”的值流分量)。 2.傅里葉變換的性質(zhì)及應(yīng)用 信號(hào)的時(shí)域、頻域分析，以不同的角度揭示了信號(hào)的物理特征，傅里葉變換建立起它們之間的聯(lián)系。作信號(hào)分析時(shí)，當(dāng)在時(shí)域分析變得很困難時(shí)，可通過傅里葉變換變換到頻域來分析，使之變得簡單明了。因此，了解和掌握傅里葉變換的性質(zhì)，有助于我們對(duì)信號(hào)分析、變換有更深刻的理解。下面我們討論傅里葉變換的一些重要性質(zhì)及其相應(yīng)的物理意義。 線性疊加性 若 則 (1-52)x tXy tY( )( ), ( )( )ax tby taXbY( )( )( )( ) 其中a和b均為常數(shù)。它表明兩個(gè)信號(hào)線性組合的傅里葉變換是單個(gè)信號(hào)傅里葉變換的線性組合。這個(gè)性質(zhì)可

13、推廣到任意多個(gè)信號(hào)的組合。 對(duì)稱性若 則 (1-53)或f tF( )( )F tf( )()2F tff( )() 式(1-53)說明，信號(hào)的時(shí)域波形與信號(hào)頻譜函數(shù)波形有著互相置換的關(guān)系。圖1-30示出了對(duì)稱性的例子。奇偶虛實(shí)性 函數(shù)x(t)的傅里葉變換為 X() (1-54)x tedtj t( )Rm XjX( )Im( )式中：實(shí)部- 虛部-Rm Xx tCos tdt( )( )tdtSintxX)()(Im 由式(1-54)可知：若x(t)是實(shí)函數(shù)，則X()一般為具有實(shí)部和虛部的復(fù)函數(shù)； 若x(t)是實(shí)偶數(shù)，則X()=RmX()，即為實(shí)偶數(shù)； 若x(t)是實(shí)奇數(shù)，則 X()=ImX

14、()，即為虛奇函數(shù)； 若x(t)是虛函數(shù)，則式(1-54)中的虛實(shí)位置對(duì)稱。 時(shí)間尺度改變特性 若 則對(duì)于常數(shù)a，有 (1-55)f tF( )( )f ataFa()()1 若a1時(shí)，時(shí)域波形被壓縮a倍，頻域波形被擴(kuò)展a倍；a1時(shí)，時(shí)域波形被擴(kuò)展a倍，頻域波形被壓縮a倍。 尺度改變特性說明了時(shí)間和頻率之間的反比關(guān)系 。它說明了在時(shí)域中壓縮信號(hào)的持續(xù)時(shí)間，則對(duì)應(yīng)于在頻域中擴(kuò)展了它的頻率范圍，反之亦然。時(shí)移特性 若 則 (1-56)x tX( )( )x ttXej t()( )00 式(1-56)說明，時(shí)域信號(hào)時(shí)移t0，則對(duì)應(yīng)于其頻譜在頻域中產(chǎn)生附加相移-t0，而幅度則保持不變。 頻移特性 若

15、 則 (1-57)x tX( )( )x t eXjt( )() 00 上式說明，F(xiàn)()在頻域中沿軸向右移動(dòng)0，對(duì)應(yīng)于x(t)在時(shí)域中乘以。也就是，函數(shù)f(t)乘以可使整個(gè)頻譜F()搬移到0。在通信技術(shù)中，經(jīng)常需要搬移頻譜，通常是將信號(hào)x(t)乘以 正弦或余弦信號(hào)來完成頻譜搬移,這個(gè)過程稱為幅度調(diào)制。ejt0ejt0 微分和積分特性 若 則 (1-58)x tX( )( )dx tdtjX( )()( )上式可推廣到時(shí)域求n階導(dǎo)數(shù)的情況，則有： (1-59)d x tdtjXnnn( )()( )又若，則有 (1-60)x tX( )( )x t dtjXt( )( )1 以上表明，可以將微分

16、、積分特性應(yīng)用于當(dāng)記錄是另一記錄的微分或積分的情況。例如，在振動(dòng)的測(cè)試中，若能測(cè)得振動(dòng)系統(tǒng)的位移、速度或加速度中任一參數(shù)，利用微分或積分特性就可以獲得其它參數(shù)的頻譜。 頻域卷積特性(又稱調(diào)制特性) 兩個(gè)函數(shù)x1(t)，x2(t)，定義 為x1(t),x2(t)的卷積，記為 。x t xtd12( )()x txt12( )( ) 若 則 (1-61)x tXxtX1122( )( ),( )( )x txtXX121212( )( )( )( ) 式(1-61)表明，在時(shí)域中兩個(gè)函數(shù)的乘積對(duì)應(yīng)于頻域中它們頻譜的卷積(再除以2)。頻域卷積特性又稱為調(diào)制特性。 能量積分(巴什瓦爾等式) 若 則 (

17、1-62)x tX a( )( )X tdtXd( )( )2212 式(1-62)稱為巴什瓦爾等式，也叫能量等式。它表明在時(shí)域中計(jì)算的信號(hào)的總能量等于在頻率中計(jì)算的信號(hào)總能量。 由于 反映了信號(hào)的能量，所以 稱為X(t)的能量譜密度，它決定信號(hào)沿頻率軸能量密度的分布。xt dt2( )X( )2 三、典型信號(hào)的頻譜 1.單位脈沖信號(hào) , t=0 單位脈沖信號(hào)表達(dá)式為 (t)= 0, t0 函數(shù)(單位脈沖信號(hào))的頻譜由式(1-45)求出。 (1-63) 上式表明，單位脈沖信號(hào)具有無限寬廣的頻譜，幅值譜密度在所有頻段上都是等強(qiáng)度的。人們把具有這樣頻譜的信號(hào)類比于白色光是具有各種波長(頻率)色光的

18、全光譜，稱這種信號(hào)為理想的“白噪聲”。( )( )tedtej t01 由傅里葉變換性質(zhì)，可得到如下傅里葉變換對(duì)： 時(shí)域 頻域 (1-64)( )()tttejt10012200 ( )()ej t 2.單位周期脈沖序列的頻譜單位周期脈沖序列的數(shù)學(xué)表達(dá)式為: (1-65)Tnttnts( )()式中Ts-等間隔周期，n=0，1，2，其圖象見圖1-31(a)所示。由式(1-30)可得出該周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的表達(dá)式為: (1-66)TnjntntC edt( ) 0式中： 0=2Ts CTteTtedtTnSTTTjntsjntTTsSSss111222200/( )( ) 所以代入式(1-66

19、)得 (1-67) 由式(1-31)提出上式的傅里葉變換TsjntntTe( ) 10 (1-68)TTsjnw tnLtTLe( )( )1102000 Tnnsnn()() 又因 上式又可寫成: (1-69)0022TfSTssnnfTfnTffnf( )()()100 單位周期序列脈沖信號(hào)的時(shí)域和頻域圖象(頻譜)都呈等間隔離散狀。若時(shí)域脈沖幅值為1，頻域脈沖幅值就為 1/Ts ；時(shí)域間隔為 Ts 時(shí)，頻域間就為2Ts( 以為變量 )或1Ts (以f為變量)，其頻譜如圖1-31(b)所示。3.正弦和余弦信號(hào)的頻譜 由于正弦和余弦信號(hào)不滿足絕對(duì)可積的條件，所以我們引入函數(shù)和傅里葉變換性質(zhì)求出

20、其頻譜。 我們知道 利用表1-1中的“對(duì)稱性”即有 所以 (1-70)Lt ( ) 1x tX( )( )X tx( )()2L ( )()122 再據(jù)表1-1中的相移性質(zhì)，有： (1-71)把上列各式 應(yīng)用于(用歐拉公式表達(dá)的)正弦或余弦信號(hào)傅里葉變換中，便有： (1-72) (1-73)或 (1-74) (1-75)其頻譜圖如圖1-32所示。常見典型信號(hào)的頻譜列在表1-2中，以便讀者查閱。 L ejt() 020L CostLeeL eL ejtjtjtjt()01212120000 ()()00L SintLjeejjtjt() ()() 0001200L Costffff ()()00

21、012L Sintffff ()()00012 四、隨機(jī)信號(hào)的頻域描述 1.信號(hào)自功率譜 對(duì)確定性信號(hào)，都有確定時(shí)域波形和確定的頻譜。信號(hào)在時(shí)域上的變化，必然引起頻譜的相應(yīng)變化。隨機(jī)信號(hào)因?yàn)樵跁r(shí)域上的波形是不確定的，因而也無法直接描述其確切的頻譜。也就是說，它的頻譜具有某種程度不的確定性。但工程測(cè)試需要了解如隨機(jī)噪聲、隨機(jī)振動(dòng)大致確定的譜描述。 隨機(jī)信號(hào)是不可積的，即能量是無限的，但它的功率卻是有限的，換句話說，它在不同時(shí)刻的取值雖不能確定，但在單位時(shí)間內(nèi)所提供的能量-功率卻基本確定。由此，就引出功率譜這一概念。 作為功率信號(hào)的隨機(jī)信號(hào)不滿足傅里葉變換所需要的前提-絕對(duì)可積要條件，也就無法用傅

22、里葉變換求其頻譜。但隨機(jī)信號(hào)x(t)的自相關(guān)函數(shù)是隨時(shí)差的增加而衰減的，即 是收斂的，滿足可積條件。為此，取隨機(jī)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換并記作； (1-76)對(duì)應(yīng)有 (1-77) 顯然，Sx()是一種頻譜，它是隨機(jī)信號(hào)的自關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，表征了隨機(jī)信號(hào) 的頻域特征。 由式(1-77)，取，得：又，自相關(guān)函數(shù)的定義有 比較上述兩表達(dá)式，得 (1-78) 上式說明Sx()是一種頻譜曲線，曲線下的積分(面積)與表征信號(hào)x(t)平均功率的均方值相當(dāng)。因此，稱Sx()為自功率譜密度，簡稱自功率譜。 SLRRedxxxj( )( )( )1RLSSedxxxj( )()()112RSe dx( )(

23、)0120RLimTx tx tdtLimTxt dtxTTx( )( )()( )010122122Sxx() 因?yàn)镽x()是實(shí)偶函數(shù)，所以Sx()也必為實(shí)偶函數(shù)，即： (1-79) 記 Gx()= 2Sx() 0 (1-80) 0 0 我們定義Sx()為雙邊譜，且-+ ，Gx()為單邊譜，且0，兩者關(guān)系如圖1-33所示。 自功率譜密 度函數(shù)Sx()或Gx()，除了用于描述隨機(jī)信號(hào)的譜結(jié)構(gòu)，同樣可用來描述確定性信號(hào)的總功率按頻率分布，即頻率結(jié)構(gòu)。函數(shù)Sx()與X()的關(guān)系如下： (1-81) 時(shí)域信號(hào)x(t)的直接傅里葉變換所得的頻譜為X()，所對(duì)應(yīng)的是x(t)的量綱，而Sx()或Gx()對(duì)

24、應(yīng)的卻是的量綱。 Sx() SRedRedxxjxj( )( )( )2020RC o sdx() SL imTXxT()() 12和Gx()反映的是信號(hào)取值的平方，具有突出主要成份的優(yōu)點(diǎn)，所顯示的頻率結(jié)更為明顯。自功率譜和自相關(guān)函數(shù)一樣，都失去了原信號(hào)的相位信息。 工程上還常采用譜圖，稱為有效值譜。顯然，與一般頻譜X()是等量綱的。2.信號(hào)的互功率譜 互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換稱為互功率譜密度函數(shù)，簡稱互譜， 記作： (1-82)其逆變換 (1-83) Sxy()與Rxy()一樣，反映了x(t)、y(t)兩信號(hào)的同頻分量。SLRRedxyXYxyj( )( )( )1RLSSedfxyxyxyj( )( )( )112 式中：Cxy()是Sxy()的實(shí)部，稱為同相譜或共譜；x