華中科技大學(xué)線性代數(shù),第五節(jié) 歐氏定理

1、本節(jié)主要從本節(jié)主要從幾何幾何的角度來討論向量（組）的性質(zhì)的角度來討論向量（組）的性質(zhì)對(duì)對(duì)n維向量空間維向量空間Rn中任意兩個(gè)向量中任意兩個(gè)向量 定義了上述內(nèi)積的向量空間稱為定義了上述內(nèi)積的向量空間稱為歐氏空間歐氏空間 1212,TTnn ,LL11( , )Tnn L( , ) 定義其定義其內(nèi)積內(nèi)積 為為1、內(nèi)積的性質(zhì)、內(nèi)積的性質(zhì)1 ( ,)( , ) 2(,)( ,)kk ,(, ),( , ) 3( , )0, 為向量為向量 的長度的長度長度：長度：稱稱 1221( , )nii 22221114( ,),()nnniiiiiiia bab 即 ( , )( , )cos( , ) ( ,

2、 ) 夾角：夾角：, 為向量為向量的夾角余弦，的夾角余弦，, 為其夾角為其夾角單位向量：單位向量：長度為長度為1的向量的向量.非零向量的非零向量的單位化：單位化： 01. 正交正交幾何中幾何中垂直垂直概念的推廣概念的推廣1、定義：、定義：設(shè)設(shè) 為歐氏空間中兩個(gè)向量，為歐氏空間中兩個(gè)向量，若內(nèi)積若內(nèi)積 ,則稱則稱 與與 正交正交或或互相互相垂直垂直，記作，記作 ,0 , . 注：注： 零向量與任意向量正交零向量與任意向量正交.,2 cos,0 222若一個(gè)向量組若一個(gè)向量組 12,m 中的向量兩兩正交，稱該中的向量兩兩正交，稱該向量組為向量組為正交向量組正交向量組。若每個(gè)向量的長度為。若每個(gè)向量

3、的長度為1，則稱該，則稱該向量組為向量組為標(biāo)準(zhǔn)（規(guī)范）正交向量組標(biāo)準(zhǔn)（規(guī)范）正交向量組。注：注：22221212.mmLL 12,m L為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的充要條件是為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的充要條件是 1,0,ijijij 定理：定理：若正交向量組若正交向量組 12,m L中不含零向量，則中不含零向量，則 12,m L線性無關(guān)。線性無關(guān)。證明：證明：對(duì)任意的對(duì)任意的12,mk kkL考慮如下等式：考慮如下等式：11220mmkkkL等式兩端與等式兩端與j 作內(nèi)積，且作內(nèi)積，且 ,0,ijij 故有：故有： ,0,0jjjjjk 又因0,1,2,.jkjm結(jié)論所所以以，成成立立. .L注：注： Rn中不

4、含零向量的正交組最多還有中不含零向量的正交組最多還有n個(gè)向量個(gè)向量 若若正交組正交組含有含有r（rn）個(gè)）個(gè)向量，可以將其擴(kuò)充向量，可以將其擴(kuò)充為含為含n個(gè)非零向量的正交組個(gè)非零向量的正交組例：例：設(shè)設(shè)12,m L為為Rn中中m（mn）個(gè)非零正交向量，個(gè)非零正交向量，則存在非零向量則存在非零向量X，使，使X與與12,m L均正交均正交120,( )TTTmXAXAmnr Amn M為陣,的的矩矩且且提示：提示： ,0nTiiXRXX 且且，進(jìn)一步可得，進(jìn)一步可得故故A的列向量組線性相關(guān)，即存在非零的列向量組線性相關(guān)，即存在非零X滿足滿足0AX 滿足滿足0iAXX 的的 一一定定與與正正交交 1

5、2,mX 組故故仍仍是是正正交交向向量量L標(biāo)準(zhǔn)正交基：標(biāo)準(zhǔn)正交基： 12,nnR 組，滿的的一一基基足足：L 1,0,ijijij 12,nnR 稱組標(biāo)的的一一準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基L設(shè)設(shè) 1, 2, m是一組是一組線性無關(guān)線性無關(guān)的向量，利用的向量，利用這組向量可這組向量可構(gòu)造出構(gòu)造出正交向量組。正交向量組。1、正交化、正交化(1)令令 1= 1；(2)求求 2= 2 1 1使使0=( 2, 1)=( 2 1 1, 1 ) = ( 2, 1) 1 ( 1, 1) .得得 1= ( 2, 1)/( 1, 1), 2122111(,);(,) (3)求求 3= 3 1 1 2 2, 使使=( 3, 1

6、) 1( 1, 1)+ 2( 2, 1) 0=( 3, 1)=( 3 1 1 2 2, 1)=( 3, 2) 1( 1, 2) 2 ( 2, 2)0=( 3, 2) = ( 3 1 1 2 2, 2)得得31111(,),(,) 32222(,)(,) 313233121122(,)(,)(,)(,) (4) 類似地，類似地，得：得：(i=1,2,m) 1, 2, , m 是是一組正交一組正交向量向量組。組。121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)iiiiiiiii 2、單位化：、單位化：則則 1, 2 , , m 是一組是一組標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組正交向量組。取取1111,|

7、 2221,| 1.|mmm 例：例：證明證明 1=(1,2, 1)T, 2=( 1,3,1) T, 3=(4, 1,0) T, ,為為R3的一組基的一組基并用施密特正交化并用施密特正交化方法構(gòu)造方法構(gòu)造R3的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。解：解：則則r(A)=3. .從而從而 1, 2, 3 線性無關(guān)線性無關(guān), , 構(gòu)成構(gòu)成R3的一組基的一組基. .令令123TA 121131410T 1 = 1= (1,2, 1) T,(,)(,)1222111 5( 1, 1, 1) ,3T(1)正交正交化化(,)(,)(,)(,)132333121122 1=(1,2, 1) T, 2=( 1,3,1) T, 3=(4, 1,0) T, 1=(1,2, 1) T,),1 , 1 , 1(352 3=(2,0,2) T.(2)單位化單位化|111 1(1, 2,1) ,6T 222|(, , ) ,11113T|333 1(1, 0, 1) .2T則則 1, 2 , 3 是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。則稱則稱 A 為一個(gè)正交矩陣為一個(gè)正交矩陣.