專題五--幾何中中點(diǎn)的妙用

1、專題五 中點(diǎn)的妙用聯(lián)想是一種非常重要的數(shù)學(xué)品質(zhì)。善于聯(lián)想，才能更好的尋求解決問(wèn)題的方法。同學(xué)們當(dāng)你遇到中點(diǎn)時(shí)，你會(huì)產(chǎn)生哪些聯(lián)想呢？學(xué)習(xí)完這個(gè)專題后，能給你帶來(lái)一定的啟示。看到中點(diǎn)該想到什么？1、等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三線合一”的性質(zhì)；2、直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“斜邊上的中線，等于斜邊的一半”；3、三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三角形的中位線定理”；4、兩條線段相等，為全等提供條件遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)時(shí)，常聯(lián)想“八字型”全等三角形；5、有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線；6、有中點(diǎn)時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)面積的一半中線平分三角形的面積；7、倍長(zhǎng)中線8、圓中遇到弦的中點(diǎn)，常聯(lián)想

2、“垂徑定理”一、等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三線合一”的性質(zhì)1、如圖1所示，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，MNAC于點(diǎn)N，則MN等于 A B C DNMBOCA二、直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“斜邊上的中線，等于斜邊的一半” 2、如圖，在ABC中，A=90,AC=AB,M、N分別在AC、AB上。且AN=BM，O為斜邊BC的中點(diǎn)，試判斷OMN的形狀，并說(shuō)明理由. 3、如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2, 將長(zhǎng)為2的線段的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng)如果點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿圖中所示方向按滑動(dòng)到點(diǎn)為止，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿圖中所示方向按滑動(dòng)到點(diǎn)為止，那么在這個(gè)過(guò)程中，線段

3、的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路線圍成的圖形的面積為 A. 2 B. 4 C. D.三、三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三角形的中位線定理”4、直接找線段的中點(diǎn)，應(yīng)用中位線定理如圖，已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC=BD，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，MN分別交BD、AC于點(diǎn)E、F.你能說(shuō)出OE與OF的大小關(guān)系并加以證明嗎？5、利用等腰三角形的三線合一找中點(diǎn)，應(yīng)用中位線定理如下列圖，在三角形ABC中，AD是三角形ABCBAC的角平分線，BDAD，點(diǎn)D是垂足，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，如果AB=6,AC=14，求DE的長(zhǎng)6、利用平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)找中點(diǎn)，應(yīng)用中位線定理如下列圖，ABCD，BC

4、AD ，DEBE ，DF=EF，甲從B出發(fā)，沿著B(niǎo)A、AD、DF的方向運(yùn)動(dòng)，乙B出發(fā)，沿著B(niǎo)C、CE、EF的方向運(yùn)動(dòng)，如果兩人的速度是相同的，且同時(shí)從B出發(fā)，則誰(shuí)先到達(dá)F點(diǎn)？7、綜合使用斜邊中線及中位線性質(zhì)，證明相等關(guān)系問(wèn)題如圖，等腰梯形ABCD中，CDAB，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)S、P、Q分別是DO、AO、BC的中點(diǎn).求證：SPQ是等邊三角形。四、兩條線段相等，為全等提供條件遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)時(shí)，常聯(lián)想“八字型”全等三角形8、如圖：梯形ABCD中，A=90,AD/BC,AD=1,BC=2,CD=3,E為AB中點(diǎn)，求證：DEEC9、如圖甲，在正方形ABCD和正方形CGEFC

5、GBC中，點(diǎn)B、C、G在同一直線上，M是AE的中點(diǎn)，1探究線段MD、MF的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明；2將圖甲中的正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使正方形CGEF的對(duì)角線CE恰好與正方形ABCD的邊BC在同一條直線上，原問(wèn)題中的其他條件不變。1中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜想并加以證明ABCDFGEM 圖乙圖甲BACEDFGMBDCA五、有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線10、如下列圖，在ABC中，AD是BC邊上中線，C=2B.AC=BC。求證：ADC為等邊三角形。六、有中點(diǎn)時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)面積的一半中線平分三角形的面積11、1探索：已知的面積為，如圖1，延長(zhǎng)的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連接DA，假

6、設(shè)的面積為，則= 用含的代數(shù)式表示如圖2，延長(zhǎng)的邊BC到點(diǎn)D，延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA，連接DE，假設(shè)的面積為，則= 用含的代數(shù)式表示在圖2的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F,使BF=AB,連接FD，F(xiàn)E,得到如圖3，假設(shè)陰影部分的面積為，= 用含的代數(shù)式表示發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將各邊均順次延長(zhǎng)一倍，連接所得端點(diǎn)，得到如圖4，此時(shí)，我們稱向外擴(kuò)展了一次。可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的的面積是原來(lái)面積的 倍應(yīng)用：如圖5，假設(shè)ABC面積為1，第一次操作：分別延長(zhǎng)AB，BC，CA至點(diǎn)A1，B1，C1，使得A1B=AB，B1C= BC，C1A=CA，順次連結(jié)A1，B1，C1，得到A1B1C1. 第二次

7、操作：分別延長(zhǎng)A1B1，B1C1，C1A1至點(diǎn)A2，B2，C2，使A2B1= A1B1，B2C1= B1C1，C2A1= C1A1，順次連結(jié)A2，B2，C2，得到A2B2C2，第三次操作 ，按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過(guò)2010，最少要經(jīng)過(guò) 次操作.12、如下列圖，已知梯形ABCD，ADBC，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE 、 BE，求證：SABE=S四邊形ABCD。13、如圖，M是ABCD中AB邊的中點(diǎn)。CM交BDDCBMAE于點(diǎn)E,則圖中陰影部分面積與ABCD面積之比為 14、如下列圖，點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，連AF、CE交于點(diǎn)G，則等于：A、 B、 C、 D、七

8、、倍長(zhǎng)中線15、如圖，ABC中，D為BC中點(diǎn)，AB=5，AD=6，AC=13。求證：ABAD16、如圖，點(diǎn)D、E三等分ABC的BC邊，求證：AB+ACAD+AE17、如圖，D為線段AB的中點(diǎn)，在AB上取異于D的點(diǎn)C，分別以AC、BC為斜邊在AB同側(cè)作等腰直角三角形ACE與BCF，連結(jié)DE、DF、EF，求證：DEF為等腰直角三角形。八、圓中遇到弦的中點(diǎn)，常聯(lián)想“垂徑定理” 18、半徑是 5 cm的圓中，圓心到 8 cm長(zhǎng)的弦的距離是_19、半徑為的圓O中有一點(diǎn)P，OP=4，則過(guò)P的最短弦長(zhǎng)_，最長(zhǎng)弦是_，20、如圖，在圓O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB，OEAC，垂足分別為D、

9、E，假設(shè)AC=2cm，則圓O的半徑為_(kāi)cm。21、如圖，在O中，直徑AB和弦CD的長(zhǎng)分別為10 cm和8 cm，則A、B兩點(diǎn)到直線CD的距離之和是_.22、如圖，O的直徑AB和弦CD相交于E，假設(shè)AE2cm，BE6cm，CEA300，求：CD的長(zhǎng)；23、某市新建的滴水湖是圓形人工湖。為測(cè)量該湖的半徑，小杰和小麗沿湖邊選取A、B、C三根木柱，使得A、B之間的距離與A、C之間的距離相等，并測(cè)得BC長(zhǎng)為240米，A到BC的距離為5米，如圖5所示。請(qǐng)你幫他們求出ABC滴水湖的半徑。倍長(zhǎng)中線：12011平谷二模24. 已知：如圖，正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EFBD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG1求證：EG=CG；2將圖中BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，如圖所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG問(wèn)1中的結(jié)論是否仍然成立？假設(shè)成立，請(qǐng)給出證明；假設(shè)不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 3將圖中BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)1中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論？均不要求證明DFBACE圖FBADCEG圖 22011朝陽(yáng)一