代數(shù)綜合解析版

1、精品文檔全國(guó)聯(lián)賽代數(shù)問(wèn)題選1. 已 知 實(shí) 數(shù) a, b, c 滿 足 a b c 1，1111 ， 則bcbcaca baabc_【答】 0.由題意知1111，所以2c12a12b1(12a)(12b)(12b)(12c)(12a)(1 2c)(12a)(12b)(12c)整理得 22(abc)8abc ，所以 abc0.2 使得不等式9nk8 對(duì)唯一的整數(shù) k 成立的最大正整數(shù)n 為17n15【答 】 144.由 條 件 得 7 k8， 由 k 的 唯 一 性 ， 得 k 17且 k1 8， 所 以8n9n8n92k 1 k1871144 .nnn98，所以 n72當(dāng) n144 時(shí)，由 7

2、k8可得126k128， k 可取唯一整數(shù)值127.8n9故滿足條件的正整數(shù)n 的最大值為 144.3 已知 x, y 為整數(shù)，且滿足 ( 11)( 1212 )2(1414 ) ，則 xy 的可能的值xyxy3 xy有_ 個(gè)【答】 由已知等式得x y x2y22 x4y4y 0xyx2 y23x4 y4，顯然 x, y 均不為 0，所以 x或 3xy2( xy) .x，若 3xy2( xy) ， 則 (3 x2)(3 y2)4. 又 x, y 為 整 數(shù) ， 可 求 得1y或2,x，2y1 或 x y1.所以 xy 1.因此， xy 的可能的值有 3個(gè) .已知非負(fù)實(shí)數(shù)x, y, z滿足xy

3、z1，則 t2xyyz 2zx 的最大值為_(kāi)4【答】471 ( yt2 xyyz2zx 2 x( yz)yz2x( yz)z)24.精品文檔2x(1x)1(1x) 27 x23 x17 ( x3 )24 ，4424477易知：當(dāng) x3， yz2時(shí)， t2xyyz2zx 取得最大值4 .7775. 張不同的卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字2， 2， 4， 4， 6， 6，從中取出 3 張，則這 3 張卡片上所寫(xiě)的數(shù)字可以作為三角形的三邊長(zhǎng)的概率是【】【答】25若取出的 3 張卡片上的數(shù)字互不相同，有2× 2×2 8 種取法；若取出的3 張卡片上的數(shù)字有相同的，有3× 4 12 種

4、取法 . 所以，從6 張不同的卡片中取出3 張，共有 812 20種取法 .要使得三個(gè)數(shù)字可以構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)，只可能是：（ 2，4，4），（ 4，4， 6），（ 2， 6，6），（ 4， 6， 6），由于不同的卡片上所寫(xiě)數(shù)字有重復(fù)，所以，取出的3 張卡片上所寫(xiě)的數(shù)字可以作為三角形的三邊長(zhǎng)的情況共有4×2 8種 .因此，所求概率為8220.56t tt tt .xx3x318設(shè)表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，令已知實(shí)數(shù)滿足1，則 x 1_x【答】 1設(shè) x1a ，則 x31( x1 )( x211)(x1 )( x1 ) 23a(a23) ，xx3xx2xx所以 a( a23)18，因式

5、分解得 ( a3)(a23a6)0 ，所以 a3.由 x13解得 x1 (35) ，顯然 0 x 1,0 11，所以 x 11.x2xx7小明某天在文具店做志愿者賣(mài)筆，鉛筆每支售4 元，圓珠筆每支售7 元開(kāi)始時(shí)他有鉛筆和圓珠筆共350 支，當(dāng)天雖然筆沒(méi)有全部賣(mài)完，但是他的銷(xiāo)售收入恰好是2013 元?jiǎng)t他至少賣(mài)出了支圓珠筆【答案】 207【解答】 設(shè) x， y 分別表示已經(jīng)賣(mài)出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，則4x7 y2013，xy350，所以 x20137 y(5032 y)y 144，于是 y1 是整數(shù)又 20134( xy)3 y43503y ，4所以 y204 ，故 y 的最小值為207，此時(shí) x

6、1418. 實(shí)數(shù) a， b ， c， d滿足：一元二次方程x2cxd0 的兩根為a， b，一元二次方程x2ax b 0的 兩 根 為 c ， d ， 則 所 有 滿 足 條 件 的 數(shù) 組 ( a，b，c d ).精品文檔為【答案】 (1， 2，1，2) ， (t，0， t，0) （ t 為任意實(shí)數(shù)）abc，【解答】 由韋達(dá)定理得abd，cda，cdb由上式，可知 bacd 若 bd0 ，則 ad1，cb1，進(jìn)而 bda c2 bd若 bd0 ，則 ca ，有 ( a，b，c d )(t，0， t，0) （ t 為任意實(shí)數(shù)） 經(jīng)檢驗(yàn)，數(shù)組 (1， 2，1，2) 與 (t，0， t，0) （ t

7、 為任意實(shí)數(shù)）滿足條件9. 已知正整數(shù)a， b ， c滿足 ab22c 20 ， 3a28b c0 ，則 abc 的最大值為【答案】 2013【解答】 由已知 ab22c2 0 ， 3a28bc0 消去 c，并整理得b26a2a66 由 a 為正整數(shù)及6a2a 66，可得 1 a 38若 a1，則 b8259 ，無(wú)正整數(shù)解；若 a2，則 b8240，無(wú)正整數(shù)解；若 a3，則 b829 ，于是可解得 b11， b5 （ i）若 b11 ，則 c61 ，從而可得 abc311612013；（ ii ）若 b5 ，則 c13，從而可得 abc3513195綜上知 abc 的最大值為 201310.

8、對(duì)于任意實(shí)數(shù) x，y， z，定義運(yùn)算“ * ”為：3x3 y3x2 y2xy345x y3360，x 1y1且 x y zx yz，則 20132012 L32的值為（）【答案】 5463967【解答】 設(shè) 20132012L4 m ，則20132012 L4 3m3m333m29m2745，33m23m1649m360.精品文檔于是 20132012 L32923 93239222923455463 103336096711. 設(shè)非零實(shí)數(shù) a ，b， c 滿足a2b3c0， 則 abbcca的值為（）2a 3b 4c 0，a2b2c2【答案】12【解答】 由已知得 abc(2 a3b4c)(

9、a2b3c)0 ，故 ( abc)20 于是 ab bcca1( a2b2c2 ) ，所以 abbcca1 2a2b2c2212. 如果關(guān)于的方程有兩個(gè)有理根，那么所有滿足條件的正整數(shù) 的個(gè)數(shù)是 _個(gè)答案： 2解： 由于方程的兩根均為有理數(shù)，所以根的判別式0，且為完全平方數(shù)0，又 2，所以，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解得13. 設(shè) a =（ n 為正整數(shù)），則 a +a + +a2012的值1.n1 2（填“”，“”或“” ）【答案】解： 由 an=， 得a1+a2+ +a2012= 1.14. 紅、黑、白三種顏色的球各10 個(gè)把它們?nèi)糠湃爰?、乙兩個(gè)袋子中，要求每個(gè)袋子里三種顏色的球都有，且甲、乙兩

10、個(gè)袋子中三種顏色的球數(shù)之積相等，那么共有種放法【答案】 25解： 設(shè)甲袋中紅、黑、白三種顏色的球數(shù)分別為，則有.精品文檔19，且，（1）即，（2）于是因此中必有一個(gè)取5不妨設(shè)，代入（ 1）式，得到此時(shí)， y 可取 1，2， 8，9（相應(yīng)地z 取 9，8， 2，1），共 9 種放法同理可得y=5，或者 z=5 時(shí)，也各有9 種放法但時(shí)，兩種放法重復(fù)因此共有9× 3 2 = 25 種放法15.設(shè) x531)( x2)( x3)的值為 ( ).2，則代數(shù)式 x( x【答】 1解： 由已知得 x23x10，于是x( x1)(x2)( x3)( x23x)( x23x2)( x23x1)211

11、.， ，x 2 y 5z 3 x 2 y z 5，則 x2y2z216.已知xy z為實(shí)數(shù)，且滿足，的最小值為 _【答】 5411，x2 y5 zx3z13解： 由，可得x2 yzyz2.5于是x2y2z211z22z5因此，當(dāng) z1時(shí)， x2y2z2 的最小值為 54 111117.若 x1 ， y0，且滿足 xyx y， xx3 y ，則 xy 的值為 ().y【答】 92解：由題設(shè)可知yxy1，于是xyx3 yx4 y 1，所以 4 y1 1 .精品文檔1，從而 x4 于是 xy9故 y2218.設(shè)S111L1，則4S 的整數(shù)部分等于 ().32333132011【答】 4解： 當(dāng) k2

12、，3，L，2011，因?yàn)?11111，k 3k k 2 12 k 1 k k k 1所以1S11 1L111 1120125 2333201132220114于是有 44S5，故 4S 的整數(shù)部分等于419. 一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1， 3， 4，5， 6， 8.同時(shí)擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)之和為7 的概率是.【答】 16解： 在 36 對(duì)可能出現(xiàn)的結(jié)果中，有6 對(duì)：（1， 6）， （ 2， 5）， （ 2，5）， （3， 4），（3， 4），（4， 3）的和為 7，所以朝上的面兩數(shù)字之和為7

13、 的概率是 61.36620. 若 y1 xx1的最大值為 a，最小值為b，則 a2b2 的值為.2【答】 321 0，得 1 x 1解：由 1 x 0，且 x22y 212 x2 3 x1 12 (x3)212222416由于1<3<1，所以當(dāng) x = 3時(shí)， y2取到最大值1，故 a = 1244當(dāng) x =1或 1時(shí)，y 2 取到最小值1 ，故 b =2所以， a2b23222221. 若方程 x2 3x 1 0 的兩根也是方程 x4 ax2 bx c 0 的根，則 a b 2c 的值為_(kāi)答案： 11.精品文檔22.對(duì) 于 自 然 數(shù) n ， 將 其 各 位 數(shù) 字 之 和 記

14、 為 an ， 如 a2009200911，a2010 2 01 0 3 ，則 a1a2a3La2009 a2010_【答案】 28068.23.將若干個(gè)紅、 黑兩種顏色的球擺成一行，要求兩種顏色的球都要出現(xiàn)，且任意中間夾有5 個(gè)或 10 個(gè)球的兩個(gè)球必為同一種顏色的球.按這種要求擺放，最多可以擺放_(tái) 個(gè)球 .【答案】 1524.已知 t 是實(shí)數(shù)，若 a, b是關(guān)于 x 的一元二次方程x22xt 10的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，則( a21)(b21) 的最小值是 _.【答案】 325.如果實(shí)數(shù) a, b 滿足條件 a2b21， |12ab |2a 1b2a2，則 a b _.【答案】 126.已知 a,

15、 b 是正整數(shù)，且滿足2(1515 ) 是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對(duì)(a, b) 共有 _ab對(duì).【答案】 7 對(duì)27.設(shè) n 是大于 1909 的正整數(shù)，使得n 1909 為完全平方數(shù)的n 的個(gè)數(shù)是 _個(gè)2009n【答案】 4 個(gè)28.設(shè) a7 1，則 3a312a26a 12_【答案】 2429.用 x 表示不大于 x 的最大整數(shù)，則方程x22 x30 的解為 _【答案】 3,1，或根號(hào) 530.已知實(shí)數(shù) x，y 滿足423，y4y23，則4y4的值為 _x4x2x4【答】 7解：因?yàn)?x20 ， y2 0，由已知條件得1 24 4 4 3 1 13 ， y211431 13，x28422所以

16、4y423 3 y22y26 7x4x2x2.精品文檔(22(222另解：由已知得：x2 )x2)302，以2為根的一元，顯然x2yx2, y( y2 ) y23 0二次方程為 t2t30 ，所以(22 )y21,(22 )y 23422xx4222 (222(3)7故x4y (x2 ) yx2 ) y( 1)31. 將 1，2，3，4，5 這五個(gè)數(shù)字排成一排，最后一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個(gè)數(shù)之和都能被這三個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)整除，那么滿足要求的排法有_種【答】5種解：設(shè) a1， a2， a3， a4， a5 是 1，2， 3， 4， 5 的一個(gè)滿足要求的排列首先，對(duì)于a1， a2， a

17、3， a4 ，不能有連續(xù)的兩個(gè)都是偶數(shù)，否則，這兩個(gè)之后都是偶數(shù)，與已知條件矛盾又如果 ai （ 1 i 3）是偶數(shù)， ai 1 是奇數(shù)，則ai 2 是奇數(shù)，這說(shuō)明一個(gè)偶數(shù)后面一定要接兩個(gè)或兩個(gè)以上的奇數(shù)，除非接的這個(gè)奇數(shù)是最后一個(gè)數(shù)所以 a1， a2， a3， a4， a5 只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5 種情形滿足條件：2， 1， 3，4， 5；2， 3，5， 4， 1；2， 5， 1， 4， 3；4， 3， 1， 2， 5；4， 5，3， 2， 132. 對(duì)于實(shí)數(shù) u，v，定義一種運(yùn)算 “ *”為： u v1uv v 若關(guān)于 x 的方程 x (a x)4有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則滿足條

18、件的實(shí)數(shù)a 的取值范圍是【答】 a 0，或 a1 解：由 x ( a x)1 ，得 ( a 1)x2(a 1)x 10 ，44a1，0依題意有( a1)2( a 1)，0解得， a0 ，或 a1 33. 關(guān)于 x， y 的方程 x2y2208( xy) 的所有正整數(shù)解為x48， x160，【答】y32， y32.解：因?yàn)?208 是 4 的倍數(shù)，偶數(shù)的平方數(shù)除以4 所得的余數(shù)為0，奇數(shù)的平方數(shù)除以4.精品文檔所得的余數(shù)為1，所以 x， y 都是偶數(shù)設(shè) x2a, y2b ，則a2b2104( a b) ，同上可知， a， b 都是偶數(shù)設(shè) a2c, b2d ，則c2d 252( cd ) ，所以，

19、 c， d 都是偶數(shù)設(shè) c2s, d2t ，則s2t 226( st) ，于是( s13)2(t13)2 2132 ，其中 s， t 都是偶數(shù)所以(s 13)22132(t13)2 2132 152112 所以 s13 可能為1，3，5， 7， 9，進(jìn)而 (t13)2 為 337，329，313，289， 257，故只s，s，能是 (t 13)2289，從而 s62013 7于是；t，t44x，x，因此48160y，y32.3234設(shè)實(shí)數(shù) a,b 滿足 a2 (b21)b(b2a)40 ， a(b1) b8 ，求11 的值a2b2解由已知條件可得a2b2(a b)240 ， ab(ab)8 .

20、設(shè) abx ， aby ，則有 x2y240 ， xy8 ， 5 分聯(lián)立解得( x, y)(2,6) 或 ( x, y)(6,2) . 10 分若 ( x, y)(2,6)，即 ab2 ， ab6 ，則 a, b 是一元二次方程t22t 6 0 的兩根，但這個(gè)方程的判別式( 2)22420 0，沒(méi)有實(shí)數(shù)根；15 分若 ( x, y)(6,2)，即 ab6 ，ab 2 ，則 a,b 是一元二次方程 t26t2 0 的兩根，這個(gè)方程的判別式(6) 28280 ，它有實(shí)數(shù)根 . 所以.精品文檔11a2b2( a b)22ab 622 28 . 20 分a2b2a2b2a2b22235. 已知 c b

21、 a，且，求的最小值解： 已知，又，且，所以 b， c 是關(guān)于 x 的一元二次方程的兩個(gè)根 .故0， 0，即0，所以20于是-10， 10，從而 10，故 30，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立36. 求關(guān)于 a， b， c，d 的方程組的所有正整數(shù)解.解： 將 abc=d 代入 10ab+10bc+10ca=9d 得10ab+10bc+10ca=9 abc.因?yàn)?abc 0，所以，.不妨設(shè) a b c，則 0.于是，.精品文檔即，a.從而， a=2，或 3.若 a=2，則.因?yàn)椋裕?b 5.從而， b=3 ， 4，5. 相應(yīng)地，可得c=15，(舍去 )， 5.當(dāng) a=2， b=3， c=15 時(shí)， d=9

22、0 ；當(dāng) a=2， b=5， c=5 時(shí)， d=50.若 a=3，則.因?yàn)?，所以，b.從而， b=2（舍去）， 3.當(dāng) b=3 時(shí)， c=(舍去 ).因此，所有正整數(shù)解為(a， b， c，d)=(2 ，3， 15， 90)， (2， 15，3， 90)， (3， 2，15， 90)，(3， 15， 2， 90)， (15， 2， 3， 90)， (15，3， 2， 90)，(2， 5， 5，50)， (5， 2，5， 50)， (5， 5，2， 50).37. 已知關(guān)于x 的一元二次方程x2cxa0 的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程x2axb0 的兩個(gè)根都大 1，求 abc 的值 .解： 設(shè)方程 x2a

23、xb0 的兩個(gè)根為，其中 ，為整數(shù)，且，則方程 x2cxa0 的兩根為1，1，由題意得a，11a ，5 分.精品文檔兩式相加，得2210，即(2)(2) 3，2，2，所以，13 10 分2或21.；3，解得1或5；3.1又因?yàn)?a（），b， c（1）（1），所以 a0，b1，c2 ；或者 a8， b 15，c6 ，故 a b c3 ，或 29.20 分38. 設(shè)整數(shù) a,b,c （ ab c ）為三角形的三邊長(zhǎng)，滿足a2b2c2ab ac bc 13 ，求符合條件且周長(zhǎng)不超過(guò)30 的三角形的個(gè)數(shù) .解 由已知等式可得(ab)2(bc)2(ac)226令 ab m,bcn ，則 acmn ，其中

24、 m, n 均為自然數(shù) .于是，等式變?yōu)閙2n2(mn)226 ，即m2n2mn13由于 m, n 均為自然數(shù)， 判斷易知，使得等式成立的m3,m1,m, n 只有兩組：和n3.n1（ 1）當(dāng) m3, n1 時(shí)， bc1， ab3c4 .又 a,b,c 為三角形的三邊長(zhǎng)，所以 b ca ， 即 (c 1) c c4 ， 解 得 c3.又因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)不超過(guò) 30，即a b c (c 4) (c 1) c 30，解得c.因此3 c，所以 c 可以取值4 52525， ，336， 7， 8，對(duì)應(yīng)可得到 5 個(gè)符合條件的三角形 .（ 2）當(dāng) m1,n3 時(shí)， bc3 ， a b1c4. 又 a,b

25、,c 為三角形的三邊長(zhǎng)，所以 b ca ， 即 (c 3) c c4 ， 解 得 c1.又因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)不超過(guò) 30，即a b c ( c 4) (c 3) c 30，解得c.因此1 c，所以 c 可以取值2 32323， ，334， 5， 6， 7，對(duì)應(yīng)可得到6 個(gè)符合條件的三角形.精品文檔綜合可知：符合條件且周長(zhǎng)不超過(guò)30 的三角形的個(gè)數(shù)為5 6 11.39. 已知 a, b,c 為正數(shù)，滿足如下兩個(gè)條件：abc32bcac a ba b c1bccaab4是否存在以a,b,c 為三邊長(zhǎng)的三角形？如果存在，求出三角形的最大內(nèi)角.解法 1將兩式相乘，得 (bcacababc )(abc)

26、8 ，bccaab即 (b c)2a2(c a)2b2(a b)2c28 ，bccaab即 (b c)2a24(c a)2b24(a b)2c20，bccaab即 (b c)2a2(c a)2b2( a b) 2c20 ，bccaab即 (bca)(bca)(cab)(ca b)(a bc)(abc)0 ，bccaab即 (bca) a(bca)b(cab)c(a bc)0 ，abc即 (bca) 2 aba2b2c2 0 ，即 (bca) c2(ab) 2 0 ，abcabc即 (bca) (cab)(cab)0 ，abc所以 b ca 0 或 c a b0或 c ab 0 ，即 ba c 或 c ab 或 c b a .因此，以a ,b , c 為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)