利用求導解決物理問題

1、利用“求導”解決物理問題在“考試大綱” 中指出了物理學科 5 個方面的能力要求， 其中第 4 個能力要求是： 應用數(shù)學處理物理問題的能力。表明數(shù)學知識在物理問題的解決過程中占有重要的地位。一、發(fā)現(xiàn)問題1、 題目AOB+Q-Q圖1如圖 1 所示，真空中，帶電荷量分別為+Q 和 -Q 的點電荷 A、 B 相距 r ，則（1）兩點電荷連線的中點O的場強多大？（2）/距 A、 B 兩點都為 r 的 O點的場強如何？ 解析 分別求出 +Q 和 -Q 在某點的場強的大小和方向，然后根據(jù)電場強度的疊加原理，求出合場強。AO EA+QEB圖2B-Q（1）如圖 2 所示， A、 B 兩點電荷在O點產(chǎn)生的場強方向

2、相同，由AB， A、B 兩點電荷kQ4kQ在 O點產(chǎn)生的電場強度，E A=EB=(r/2)2 =r 28kQ故 O點的合場強為EO=2EA= r 2，方向由 AB。EA/O/E0/EB/A 600600 B+QO-Q圖3（2）圖 3/kQ/所示， E=E= r 2 ，由矢量圖所形成的等邊三角形可知，O 點的合場強AB/kQ/EO=EA = r 2，方向與 A、 B的中垂線垂直，即EO 與 EO同向。結論在等量異種電荷連線的垂直平分線上，中點的場強最大， 兩邊成對稱分布， 離中點越遠，場強越小，場強的方向都相同，都是正電荷指向負電荷的方向。2、 思考（ 1） 本題中通過 O點、 O/ 點場強大小

3、的比較得出了上面的結論。我們對結論作如下的證明：EAC EC EBAB+QO-Q圖4如圖 4 所示，設 A、B 連線中垂線上有一點C，AC、BC與 AB的夾角都為 ，根據(jù)點電荷場強公式kQ有 E A=EB=(r/2cos ) 2 ，方向如圖。8kQ3由矢量合成可得 E C=2EAcos = r 2(cos ) ，由于 cos 在（ -2， 0）區(qū)間內為增函數(shù)，在（ 0， ）區(qū)間內為減函數(shù)，即EC 在 =0 時取得最大值，在（- ， ）區(qū)間內 的222C的取值越小。取值離 0 越遠， E（ 2） A、 B 連線上的場強如何分布？二、利用“求導”解決問題A lD EAr-lB+QEB O-Q圖5如

4、圖 5 所示，在 A、 B 連線上任取一點D，設 AD=l，則 BD=r-l ，根據(jù)點電荷場強公式kQkQ11有 E A=l 2 ， EB=(r-l)2 ， EA、 EB場強方向相同，有ED= E A+EB=kQl 2 + (r-l)2 11/-3-3/r設 y=l 2+ (r-l)2，求導得 y=-2l+2(r-l)令 y=0 則 y有極值，所以 l=2 時 y 取得極值。如果進行二次求導，可根據(jù)二次導數(shù)的正、負來判斷y 取得的是極大值還是極小值。高中階段不研究二次求導，不妨可以在 0<l<r的范圍內取 l r的任意值，代入 ED 公式，2r時進行比較，可得：當rD取得最小值，即

5、在0<l<r的范圍內隨 l 的增大D與 l= 2l= 2 時EE先減后增。下面，我們討論等量同種電荷連線中垂線上的場強分布情況。E FEBEAFAB+QO+Q圖6如圖 6 所示， AB=r， AF、BF 與 AB的夾角為 ，根據(jù)點電荷場強公式ABkQ4kQ2有 E =E =(r/2cos ) 2 =r 2 (cos )8kQ2根據(jù)矢量疊加得EF=2EAsin = r 2(cos )sin 設 y=(cos ) 2sin = sin -(sin ) 3令 t=sin 則 y=t-t 3求導得 y/ =1-3t 2，令 y/ =0，則 y 有極值33所以 t= ± 3即 si

6、n =± 3y 取得極值，3由于 O點及無窮遠處場強為零，因此當在（- 2，2）內 =± arcsin3時 EF 取得最大值。三、“求導”應用1、 求極值CRFmx圖7如圖7 所示，光滑水平面右端B 處連接一個豎直的半徑為R 的光滑半圓軌道，在離B距離為 x 的 A 點，用水平恒力將質量為m的質點， 從靜止開始推到B 處后撤去恒力， 質點沿半圓軌道運動到C 處后又正好落回A 點，求：（ 1） 推力對小球所做的功（ 2） x 取何值時，完成上述運動用力最小？最小力為多少？ 解析 （ 1）質點在水平面上做勻加速直線運動，根據(jù)動能定理有Fx=1mv B2-02質點沿半圓軌道由 B

7、 點運動到 C點，只有重力做功1212-2mgR=m v C-mvB22質點由 C 點運動到 A 點過程中，做平拋運動水平方向v C?t=x豎直方向1gt 2=2R2聯(lián)立、可得W=Fx=mg(16R2+x2)8R根據(jù)豎直平面圓周運動的臨界條件，有vCgR所以得x 2R（ 2）根據(jù)式得F=mg 8R x+2mgRx求導得/ mg 2mgR F =8R - x2當 F/=0時， F 有最小值代入式解得x=4R（ x=-4R ，舍）把式代入式得F=mg即當 x=4R 時， F 取得最小值Fmin = mg2、 確定做簡諧運動質點的運動狀態(tài)y/mA0123456t/s-A圖8如圖 8 所示，為一質點的簡諧運動圖象，根據(jù)交流電瞬時值表達式可得質點的位移隨時間的變化關系為y=Asin t ( = 2 rad/s)對該式求導得/y =Acos t根據(jù)導數(shù)的定義可知，位移對時間的導數(shù)為質點的速度，所以v= A cos t根據(jù)此式可求得任一時刻質點運動的速度，并可做出速度圖象，如圖9 所示。v/m/sA023456t/s1-A圖9再求速度對時間的導數(shù)，可得加速度隨時間的變化關系a= -A 2sin t可得任一時刻質點的加速度，質點的加速度隨時間的變化圖象如圖10 所示。a/m/s 2A023456t/