相似形與相似三角形專題復(fù)習精編題目

1、.第1節(jié) ：相似形與相似三角形基本概念： 1.相似形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形，我們稱它們互為相似形。 2.相似三角形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形，叫做相似三角形。1幾個重要概念與性質(zhì)（平行線分線段成比例定理）（1）平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例. 已知abc, A D a B E bC F c 可得 等.（2）推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例. A D E B C 由DEBC可得：.此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛,條件是平行.（3）推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的

2、對應(yīng)線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊. 此定理給出了一種證明兩直線平行方法,即：利用比例式證平行線.（4）定理:平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例. （5）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段。2比例的有關(guān)性質(zhì)比例的基本性質(zhì)：如果，那么ad=bc。如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么。合比性質(zhì)：如果，那么。等比性質(zhì)：如果=(b+d+n0)，那么b是線段a、d的比

3、例中項，則b2ad.典例剖析例1： 在比例尺是1：38000的南京交通游覽圖上，玄武湖隧道長約7cm，則它的實際長度約為_Km.若 = 則=_. 若 = 則a：b=_.3 相似三角形的判定（1） 如果兩個三角形的兩角分別于另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。（2） 兩邊對應(yīng)成比例并且它們的夾角也相等的兩個三角形相似。（3） 三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似。補充：相似三角形的識別方法(1)定義法：三角對應(yīng)相等，三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似。(2)平行線法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。注意：適用此方法的基本圖形，(簡記為A型

4、，X型)(3)三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似。(4)兩邊對應(yīng)成比例并且它們的夾角也相等的兩個三角形相似。(5)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似。(6)一條直角邊和斜邊長對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似。(7)被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似?！净A(chǔ)練習】（1）如圖1，當時，ABCADE（2）如圖2，當時， ABCAED。（3）如圖3，當時， ABCACD。小結(jié)：以上三類歸為基本圖形：母子型或A型（3）如圖4，如圖1，當ABED時，則 。 （4）如圖5，當時，則。小結(jié)：此類圖開為基本圖開：兄弟型或X型典例剖析例1：判斷所有的等腰三角形都相似 （ ）所有的直角三角形都相似 （ ）所有的

5、等邊三角形都相似 （ ）所有的等腰直角三角形都相似 （ ）例2：如圖，ABC中，AD是BAC的平分線，AD的垂直平分線交AD于E,交BC的延長線于F求證：ABFCAF.例3：如圖：在Rt ABC中，ABC=90，BDAC于D，若 AB=6 ；AD=2；則AC=；BD=；BC=；例3：如圖：在Rt ABC中，ABC=90，BDAC于D ，若E是BC中點，ED的延長線交BA的延長線于F，求證：AB : AC=DF : BF第二節(jié)：相似三角形的判定 (一)相似三角形：定義1、對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形，叫做相似三角形溫馨提示：當且僅當一個三角形的三個角與另一個(或幾個)三角形的三個角對應(yīng)相

6、等，且三條對應(yīng)邊的比相等時，這兩個(或幾個)三角形叫做相似三角形，即定義中的兩個條件，缺一不可；相似三角形的特征：形狀一樣，但大小不一定相等；對應(yīng)中線之比、對應(yīng)高之比、對應(yīng)角平線之比等于相似比。兩個鈍角三角形是否相似，首先要滿足兩個鈍角相等的條件。2、相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比溫馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其區(qū)別在于全等要求對應(yīng)邊相等，而相似要求對應(yīng)邊成比例相似比具有順序性例如ABCABC的對應(yīng)邊的比，即相似比為k，則ABCABC的相似比，當且僅當它們?nèi)葧r，才有k=k=1相似比是一個重要概念，后繼學習時出現(xiàn)的頻率較高，其實質(zhì)它是將一個

7、圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點借助相似三角形可觀察得出3、如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形4、相似三角形的預(yù)備定理：如果一條直線平行于三角形的一條邊，且這條直線與原三角形的兩條邊(或其延長線)分別相交，那么所構(gòu)成的三角形與原三角形相似溫馨提示：定理的基本圖形有三種情況，如圖其符號語言：DEBC，ABCADE；這個定理是用相似三角形定義推導(dǎo)出來的三角形相似的判定定理它不但本身有著廣泛的應(yīng)用，同時也是證明下節(jié)相似三角形三個判定定理的基礎(chǔ)，故把它稱為“預(yù)備定理”；有了預(yù)備定理后，在解題時不但要想到上一節(jié)“見平行，想比例”，還要想到“見平行，想相似”(二

8、)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理(1)：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似判定定理(2)：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定理(3)：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似溫馨提示：有平行線時，用上節(jié)學習的預(yù)備定理；已有一對對應(yīng)角相等(包括隱含的公共角或?qū)斀?時，可考慮利用判定定理1或判定定理2；已有兩邊對應(yīng)成比例時，可考慮利用判定定理2或判定定理3但是，在選擇利用判定定理2時，一對對應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對應(yīng)相等例1.如圖三角形ABC中，點E為BC的中點，過點E作一條直線交AB于D點，與AC的延長線將于F點，且FD=3ED，求證：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：斜邊和

9、一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似溫馨提示：由于直角三角形有一個角為直角，因此，在判定兩個直角三角形相似時，只需再找一對對應(yīng)角相等，用判定定理1，或兩條直角邊對應(yīng)成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定兩個直角三角形相似；如圖是一個十分重要的相似三角形的基本圖形，圖中的三角形，可稱為“母子相似三角形”，其應(yīng)用較為廣泛如圖，可簡單記為：在RtABC中，CDAB，則ABCCBDACD直角三角形的身射影定理：AC2=AD*AB CD2=AD*BD BC2=BD*AB總結(jié)：尋找相似三角形對應(yīng)元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問題的一項基本功通常有以下幾種方法：(

10、1)相似三角形有公共角或?qū)斀菚r，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對應(yīng)角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是對應(yīng)角；相似三角形中，一對相等的角是對應(yīng)角，對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)角的夾邊是對應(yīng)邊；(2)相似三角形中，一對最長的邊(或最短的邊)一定是對應(yīng)邊；對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角；對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角2、常見的相似三角形的基本圖形：學習三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來；對一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形成一整套完整的判定方法如：(1)“平行線型”相似三角形，基本圖形見上節(jié)圖“見平行，想相似

11、”是解這類題的基本思路；(2)“相交線型”相似三角形，如上圖其中各圖中都有一個公共角或?qū)斀恰耙娨粚Φ冉?，找另一對等角或夾等角的兩邊成比例”是解這類題的基本思路；(3)“旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖若圖中1=2，B=D(或C=E)，則ADEABC，該圖可看成把第一個圖中的ADE繞點A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的第三節(jié) 相似三角形中的輔助線一、作平行線例1. 如圖，的AB邊和AC邊上各取一點D和E，且使ADAE，DE延長線與BC延長線相交于F，求證：例2. 如圖，ABC中，ABAC，在AB、AC上分別截取BD=CE，DE，BC的延長線相交于點F，證明：ABDF=ACEF。二、作垂線例3. 如圖從 ABCD頂

12、點C向AB和AD的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E、F，求證：。三、作延長線例4. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，若BCD的平分線CHAB于點H，BH=3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求HBC的面積。例5. 如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點，AE的延長線交BC于F，F(xiàn)GAB于G，求證：FG=CFBF四、作中線例6 如圖，中，ABAC，AEBC于E，D在AC邊上，若BD=DC=EC=1，求AC。五、過渡法（或叫代換法）有些習題無論如何也構(gòu)造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運用“過渡”，其主要類型有三種，下面分情況說明1、 等量過渡法（等線段代換法）遇到三點定

13、形法無法解決欲證的問題時，即如果線段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個三角形，但這兩個三角形并不相似，那就需要根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段，如果沒有，可考慮添加簡單的輔助線。然后再應(yīng)用三點定形法確定相似三角形。只要代換得當，問題往往可以得到解決。當然，還要注意最后將代換的線段再代換回來。例1：如圖3，ABC中，AD平分BAC， AD的垂直平分線FE交BC的延長線于E求證：DE2BECE2、 等比過渡法（等比代換法）當用三點定形法不能確定三角形，同時也無等線段代換時，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為

14、比例式搭橋，也就是通過對已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結(jié)論中某個比相等的比，并進行代換，然后再用三點定形法來確定三角形。例2：如圖4，在ABC中，BAC=90，ADBC，E是AC的中點，ED交AB的延長線于點F求證：3、等積過渡法（等積代換法）思考問題的基本途徑是：用三點定形法確定兩個三角形，然后通過三角形相似推出線段成比例；若三點定形法不能確定兩個相似三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比代換，然后再用三點定形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時，則考慮用等積代換法。例3：如圖5，在ABC中，ACB=90，CD是斜邊AB上的高，G是DC延長線上一點，過B作BEAG，垂足為E，

15、交CD于點F求證：CD2DFDG六、證比例式和等積式的方法：對線段比例式或等積式的證明：常用“三點定形法”、等線段替換法、中間比過渡法、面積法等若比例式或等積式所涉及的線段在同一直線上時，應(yīng)將線段比“轉(zhuǎn)移”(必要時需添輔助線)，使其分別構(gòu)成兩個相似三角形來證明圖5AEFBDGCH例1如圖5在ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，DFAB于F，交AC的延長線于H，交BE于G，求證：(1)FG / FAFB / FH (2)FD是FG與FH的比例中項BEACDMN例2如圖在ABC中，AD是BC邊上的中線，M是AD的中點，CM的延長線交AB于N求：AN：AB的值；圖CEDAFMB例3如圖過A

16、BC的頂點C任作一直線與邊AB及中線AD分別交于點F和E過點D作DMFC交AB于點M(1)若SAEF：S四邊形MDEF2：3，求AE：ED； (2)求證：AEFB2AFED第四節(jié) 相似三角形難題集一、分類討論：PADBQC圖例1如圖在正方形ABCD的邊長為1，P是CD邊的中點，Q在線段BC上，當BQ為何值時，ADP與QCP相似.圖12ADBCP1P2P3例2如圖在梯形ABCD中，ADBC，A900，AB7，AD2，BC3試在邊AB上確定點P的位置，使得以P、A、D為頂點的三角形與以P、B、C為頂點的三角形相似二：相似三角形中的動點問題：1.如圖，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4

17、，過點B作射線BB1AC動點D從點A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動，同時動點E從點C沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動過點D作DHAB于H，過點E作EFAC交射線BB1于F，G是EF中點，連接DG設(shè)點D運動的時間為t秒（1）當t為何值時，AD=AB，并求出此時DE的長度；（2）當DEG與ACB相似時，求t的值2.如圖，在ABC中，ABC90，AB=6m，BC=8m，動點P以2m/s的速度從A點出發(fā)，沿AC向點C移動同時，動點Q以1m/s的速度從C點出發(fā)，沿CB向點B移動當其中有一點到達終點時，它們都停止移動設(shè)移動的時間為t秒（1）當t=2.5s時，求CPQ的面積；求CPQ的面積

18、S（平方米）關(guān)于時間t（秒）的函數(shù)解析式；（2）在P，Q移動的過程中，當CPQ為等腰三角形時，求出t的值3.如圖1，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，點D在邊AB上運動，DE平分CDB交邊BC于點E，EMBD，垂足為M，ENCD，垂足為N（1）當ADCD時，求證：DEAC；（2）探究：AD為何值時，BME與CNE相似.4.如圖所示，在ABC中，BABC20cm，AC30cm，點P從A點出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，當P點到達B點時，Q點隨之停止運動設(shè)運動的時間為x（1）當x為何值時，PQBC.（2）APQ與CQB能

19、否相似.若能，求出AP的長；若不能說明理由5.如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從A開始向點B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動如果P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間（0t6）。（1）當t為何值時，QAP為等腰直角三角形.（2）當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似.三、構(gòu)造相似輔助線雙垂直模型 6.在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(2，1)，正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角是45，求這個正比例函數(shù)的表達式7.在ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB為邊在C點的異側(cè)作ABD，使AB

20、D為等腰直角三角形，求線段CD的長8.在ABC中，AC=BC，ACB=90，點M是AC上的一點，點N是BC上的一點，沿著直線MN折疊，使得點C恰好落在邊AB上的P點求證：MC：NC=AP：PB9.如圖，在直角坐標系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標為（1，3），將矩形沿對角線AC翻折B點落在D點的位置，且AD交y軸于點E那么D點的坐標為（）A.B.C.D.10.已知，如圖，直線y=2x2與坐標軸交于A、B兩點以AB為短邊在第一象限做一個矩形ABCD，使得矩形的兩邊之比為12。求C、D兩點的坐標。四、構(gòu)造相似輔助線A、X字型11.如圖：ABC中，D是AB上一點，AD=A

21、C，BC邊上的中線AE交CD于F。求證：12.四邊形ABCD中，AC為AB、AD的比例中項，且AC平分DAB。求證：13.在梯形ABCD中，ABCD，ABb，CDa，E為AD邊上的任意一點，EFAB，且EF交BC于點F，某同學在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)如下事實：(1)當時，EF=；(2)當時，EF=；(3)當時，EF=當時，參照上述研究結(jié)論，請你猜想用a、b和k表示EF的一般結(jié)論，并給出證明14.已知：如圖，在ABC中，M是AC的中點，E、F是BC上的兩點，且BEEFFC。求BN：NQ：QM15.證明：（1）重心定理：三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的（注：重心是三角形三條中線的交點）

22、（2）角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應(yīng)成比例5、 相似類定值問題 16.如圖，在等邊ABC中，M、N分別是邊AB，AC的中點，D為MN上任意一點，BD、CD的延長線分別交AC、AB于點E、F求證：17.已知：如圖，梯形ABCD中，AB/DC，對角線AC、BD交于O，過O作EF/AB分別交AD、BC于E、F。求證：18.如圖，在ABC中，已知CD為邊AB上的高，正方形EFGH的四個頂點分別在ABC上。求證：19.已知，在ABC中作內(nèi)接菱形CDEF，設(shè)菱形的邊長為a求證：六：相似之共線線段的比例問題20.（1）如圖1，點在平行四邊形ABCD的對角線BD上，一直線過點P分別交BA，BC的延長線于點Q，S，交于點求證：（2）如圖2，圖3，當點在平行四邊形ABCD的對角線或的延長線上時，是否仍然成立.若成立，試給出證明；若不成立，試說明理由（要求僅以圖2為例進行證明或說明）；21.已知：如圖，ABC中，ABAC，AD是中線，P是AD上一點，過C作CFAB，延長BP交AC于E，交CF于F求證：BP2PEPF 22.如圖，已知ΔABC中，AD，BF分別為BC，AC邊上的高，過D作AB的