微分方程模型

1、第六章第六章 微分方程模型微分方程模型一、經(jīng)濟(jì)增長模型一、經(jīng)濟(jì)增長模型 發(fā)展經(jīng)濟(jì)、提高生產(chǎn)力主要有以下手段：增加投資、發(fā)展經(jīng)濟(jì)、提高生產(chǎn)力主要有以下手段：增加投資、增加勞動力、技術(shù)革新增加勞動力、技術(shù)革新. 本節(jié)的模型將首先建立產(chǎn)值與資金、勞動力之間的關(guān)本節(jié)的模型將首先建立產(chǎn)值與資金、勞動力之間的關(guān)系，然后再研究資金與勞動力的最佳分配，使投資效益系，然后再研究資金與勞動力的最佳分配，使投資效益最大，最后討論如何調(diào)節(jié)資金與勞動力的增長率，使勞最大，最后討論如何調(diào)節(jié)資金與勞動力的增長率，使勞動生產(chǎn)率得到有效的增長動生產(chǎn)率得到有效的增長. 1.Douglas生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù) 用用 分別表示某一地區(qū)或

2、部門在時分別表示某一地區(qū)或部門在時刻刻 的產(chǎn)值、資金和勞動力，相互的關(guān)系為的產(chǎn)值、資金和勞動力，相互的關(guān)系為 ,Q tK tL tt ,Q tF K tL t其中其中 為待定函數(shù)，對于固定的時刻為待定函數(shù)，對于固定的時刻 上面的函數(shù)簡上面的函數(shù)簡記為記為F, t,.QF K L 現(xiàn)來探討函數(shù)現(xiàn)來探討函數(shù) 的具體表達(dá)式，引入記號的具體表達(dá)式，引入記號F,QKzyLL分別表示每個勞動力的產(chǎn)值和投資。有如下的假設(shè)：分別表示每個勞動力的產(chǎn)值和投資。有如下的假設(shè)：隨著隨著 的增加而增加，但增長速度遞減。從而可以假設(shè)的增加而增加，但增長速度遞減。從而可以假設(shè)為為yz01, .zcy0.511.522.53

3、0.20.40.60.811.21.4函數(shù)函數(shù) 滿足上面的要求，常數(shù)滿足上面的要求，常數(shù) 可看成是可看成是技術(shù)的作用。將上面的形式代入到技術(shù)的作用。將上面的形式代入到中，即：中，即： g yy0c 1.KQzLcy LcLcK LL由由式知函數(shù)式知函數(shù) 有如下的性質(zhì)：有如下的性質(zhì)：Q2222,0,0.QQQQKLKL式的具體意義是：產(chǎn)值是資金和勞動力的遞增函數(shù)，式的具體意義是：產(chǎn)值是資金和勞動力的遞增函數(shù)，但增長率逐漸下降（即加速度為負(fù)數(shù)）但增長率逐漸下降（即加速度為負(fù)數(shù)）.（見前圖）（見前圖） 記記 表示單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值（又稱為對表示單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值（又稱為對,kkQQQK,LLQQQL

4、資金的邊際產(chǎn)值）；資金的邊際產(chǎn)值）； 表示單位勞動力能創(chuàng)造表示單位勞動力能創(chuàng)造的產(chǎn)值（又稱為對勞動力的邊際產(chǎn)值）的產(chǎn)值（又稱為對勞動力的邊際產(chǎn)值）. 則從則從式得到式得到,1. .kLKLKQLQKQLQQQQ 的具體意義是：的具體意義是： 是資金在產(chǎn)值中占有的份額，是資金在產(chǎn)值中占有的份額，是勞動力在產(chǎn)值中占有的份額。所以是勞動力在產(chǎn)值中占有的份額。所以 的大小直接反映的大小直接反映了資金、勞動力二者對于創(chuàng)造產(chǎn)值的輕重關(guān)系。了資金、勞動力二者對于創(chuàng)造產(chǎn)值的輕重關(guān)系。1 式是經(jīng)濟(jì)學(xué)中著名的式是經(jīng)濟(jì)學(xué)中著名的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)，更生產(chǎn)函數(shù)，更一般的形式是一般的形式是, 0,1.Qc

5、K L 2.資金與勞動力的最佳分配資金與勞動力的最佳分配 本段根據(jù)本段根據(jù)式討論，如何分配資金與勞動力，使生產(chǎn)式討論，如何分配資金與勞動力，使生產(chǎn)創(chuàng)造的效益達(dá)到最大。創(chuàng)造的效益達(dá)到最大。 假定資金來自貸款，利率為假定資金來自貸款，利率為 每個勞動力都要支付工每個勞動力都要支付工資資 因而總效益為因而總效益為, r,w則相應(yīng)的問題轉(zhuǎn)化為資金與勞動力的分配比例則相應(yīng)的問題轉(zhuǎn)化為資金與勞動力的分配比例 （即每個勞動力占有的資金），使效益（即每個勞動力占有的資金），使效益 為最大。為最大。/K LS.SQrKwL此問題由微分法可得到（為一個求極值的問題）。在此問題由微分法可得到（為一個求極值的問題）。

6、在式兩邊對式兩邊對 求導(dǎo)，并令其為零，則有求導(dǎo)，并令其為零，則有.KLQrQw再由再由式；可得到式；可得到此即為資金與勞動力的最佳分配。此即為資金與勞動力的最佳分配。.1KwLr,K L0,0.KKLLSQrSQw例例 取取則由關(guān)系則由關(guān)系1000000,100,800,0.004,KLwr,1KwLr得得0.05,0.0476.1 3.勞動生產(chǎn)率增長的條件勞動生產(chǎn)率增長的條件 衡量經(jīng)濟(jì)增長的指標(biāo)：總產(chǎn)值衡量經(jīng)濟(jì)增長的指標(biāo)：總產(chǎn)值 和每個勞動力的產(chǎn)值和每個勞動力的產(chǎn)值 這個模型討論的就是這個模型討論的就是 滿滿足什么條件才能使足什么條件才能使 保持增長？保持增長？Q /.z tQ tL t ,

7、K tL t ,Q tz t 假設(shè)假設(shè)1.投資增長率與產(chǎn)值成正比，比例系數(shù)投資增長率與產(chǎn)值成正比，比例系數(shù)0.2.勞動力的相對增長率為常數(shù)勞動力的相對增長率為常數(shù).注：這兩個條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為：注：這兩個條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為：. 0.dKQdt.dLLdt方程方程的解為的解為 0.tL tL e將將 代入代入 得到得到1,zcyQcK L,dKQdt,dKc Lydt又因又因 再由再由式，兩邊求導(dǎo)式，兩邊求導(dǎo), 得得,KLy.dKdyLLydtdt比較上面兩個式子，就有比較上面兩個式子，就有.dyyc ydt此方程為此方程為Bernoulli方程，其解為方程，其解為 1110011.tK

8、cy teK 其中其中00.tdKKdt ,Q tz t 以下根據(jù)以下根據(jù)式來研究式來研究 保持增長的條件。保持增長的條件。 1) 增長增長 Q t 由條件由條件 及及 得得0,dQdt,QcLy1dQdycL yc Lydtdt2111,cLycyy其中的其中的 以以代入，可知條件代入，可知條件 等價于等價于0dQdt10011.1tKeK 注意到上式右端大于注意到上式右端大于 所以當(dāng)所以當(dāng) （即勞動力不減少）（即勞動力不減少）時，上式總成立；而當(dāng)時，上式總成立；而當(dāng) 時，上式成立的條件是時，上式成立的條件是1,00此說明在勞動力減少的條件下，產(chǎn)值只能在短時間內(nèi)增此說明在勞動力減少的條件下，

9、產(chǎn)值只能在短時間內(nèi)增長，同時注意到，若長，同時注意到，若001ln11.1KtK 00111,KK則不存在這樣的時間。則不存在這樣的時間。2) 增長增長 z t 由條件得由條件得 再由再由 知知0,dzdt,zcy00.dzdydtdt由于：由于：.dyyc ydt所以當(dāng)所以當(dāng) 時，該條件成立，而當(dāng)時，該條件成立，而當(dāng) 時，時，00100010,tKdyedtK 此條件等價于此條件等價于00.KK此條件的意義是此條件的意義是: 勞動力增長率小于初始投資增長率勞動力增長率小于初始投資增長率.二、香煙過濾嘴的作用二、香煙過濾嘴的作用 問題問題 煙草公司普遍地在香煙尾部裝上一截過濾嘴，煙草公司普遍地

10、在香煙尾部裝上一截過濾嘴，但是過濾嘴的作用有多大，和使用的材料有什么直接的但是過濾嘴的作用有多大，和使用的材料有什么直接的關(guān)系？在這一段中，我們建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來具體討關(guān)系？在這一段中，我們建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來具體討論這個問題。論這個問題。 分析分析 吸煙時毒物吸入人體的過程大致為：由于毒物基本上吸煙時毒物吸入人體的過程大致為：由于毒物基本上均勻地分布在煙草中，吸煙時點燃的煙草大部分化為煙均勻地分布在煙草中，吸煙時點燃的煙草大部分化為煙霧，毒物由煙霧攜帶一部分直接進(jìn)入空氣，另一部分沿霧，毒物由煙霧攜帶一部分直接進(jìn)入空氣，另一部分沿香煙穿行，在穿行過程中又部分地被未點燃的煙草和過香煙穿行，在穿

11、行過程中又部分地被未點燃的煙草和過濾嘴吸收而沉淀下來，剩下的進(jìn)入人體。被煙草吸收而濾嘴吸收而沉淀下來，剩下的進(jìn)入人體。被煙草吸收而沉淀下來的那一部分毒物，當(dāng)香煙燃燒到那里的時候又沉淀下來的那一部分毒物，當(dāng)香煙燃燒到那里的時候又通過煙霧部分進(jìn)入空氣，部分沿香煙穿行，這個過程一通過煙霧部分進(jìn)入空氣，部分沿香煙穿行，這個過程一直到香煙燃燒到過濾嘴處為止。直到香煙燃燒到過濾嘴處為止。 在整個過程中，原來分布在煙草中的毒物除了進(jìn)入空在整個過程中，原來分布在煙草中的毒物除了進(jìn)入空氣和被過濾嘴吸收的一部分外，剩下的全部被人體吸入氣和被過濾嘴吸收的一部分外，剩下的全部被人體吸入. 模型假設(shè)模型假設(shè) 1. 煙草

12、和過濾嘴的長度分別是煙草和過濾嘴的長度分別是 ，毒素，毒素 （毫克）（毫克）均勻地分布在煙草中，密度為均勻地分布在煙草中，密度為1, l lM01/ .wM l 2. 點燃處的毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿?zé)煵荽┬械臄?shù)量點燃處的毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿?zé)煵荽┬械臄?shù)量比例是比例是:,1. 3. 未點燃的煙草和過濾嘴對煙霧穿行的毒物的吸收率未點燃的煙草和過濾嘴對煙霧穿行的毒物的吸收率分別是常數(shù)分別是常數(shù), .b 4. 煙草沿香煙穿行的速度是常數(shù)煙草沿香煙穿行的速度是常數(shù) 香煙的燃燒速度香煙的燃燒速度是常數(shù)是常數(shù) 且且 , v. u.vu 將一支煙吸完后毒物進(jìn)入人體的總量記為將一支煙吸完后毒物進(jìn)入人體的總量記

13、為 常識告常識告訴我們，量訴我們，量 與過濾嘴的吸收率、煙草中毒物的初始含與過濾嘴的吸收率、煙草中毒物的初始含量有關(guān)，因此降低量有關(guān)，因此降低 的含量及降低煙霧在香煙總的穿的含量及降低煙霧在香煙總的穿行速度都是降低吸入量的有效方法。行速度都是降低吸入量的有效方法。,QQQ 模型建立模型建立xxx x1ll q xq xx 設(shè)在時刻設(shè)在時刻 及及 處點燃香煙，為此建立相應(yīng)處點燃香煙，為此建立相應(yīng)的坐標(biāo)系統(tǒng)：吸入毒物量的坐標(biāo)系統(tǒng)：吸入毒物量 由毒物穿過香煙的流量確由毒物穿過香煙的流量確定，后者又與毒物在煙草中的密度有關(guān)，為此定義函定，后者又與毒物在煙草中的密度有關(guān)，為此定義函數(shù)：數(shù)：0t 0 x

14、Q 毒物流量毒物流量 表示在時表示在時刻刻 時單位時間通過香煙截面時單位時間通過香煙截面 處的毒物量；處的毒物量； ,q x ttx0 xl 毒物密度毒物密度 表示時刻表示時刻 截面截面 處單位長度煙草處單位長度煙草中的毒物含量。中的毒物含量。,w x ttx 如果知道了流量函數(shù)如果知道了流量函數(shù) ，吸入的毒物流量，吸入的毒物流量 就就是是 處的流量在吸一支煙時間內(nèi)的總和。即處的流量在吸一支煙時間內(nèi)的總和。即,q x tQxl下面分下面分4個過程來計算個過程來計算 值。值。Q10, / .TQq x t dtTlu 1.在在 瞬間由煙霧攜帶的毒物在單位時間內(nèi)通過瞬間由煙霧攜帶的毒物在單位時間內(nèi)

15、通過處的數(shù)量處的數(shù)量 由假設(shè)由假設(shè)4 知在香煙點燃處知在香煙點燃處 靜止不動。靜止不動。0t x,0 ,q x,vu0 x 記記 考察考察 所對應(yīng)的一段所對應(yīng)的一段香煙，毒物通過香煙，毒物通過 和和 處的流量分別是處的流量分別是 和和 則根據(jù)守恒定律，這兩個流量之差等于這則根據(jù)守恒定律，這兩個流量之差等于這一段未點燃的煙草或過濾嘴的毒物的吸收量，由假設(shè)一段未點燃的煙草或過濾嘴的毒物的吸收量，由假設(shè)2及及4，有，有 ,0,q xq x, x xx xxx q x,q xx 11 0, bq xxlq xq xxq xlxl 其中其中 是煙霧穿過長度為是煙霧穿過長度為 的這一段香煙所需的這一段香煙

16、所需要的時間，令要的時間，令 則有微分方程：則有微分方程：xvx0, 101 0lim .xbq xxlq xxq xdqvbdxxq xlxlv 在在 處點燃的煙草單位時間內(nèi)放出的毒物量記作處點燃的煙草單位時間內(nèi)放出的毒物量記作0 x 根據(jù)假設(shè)根據(jù)假設(shè)1、3、4，則可得微分方程，則可得微分方程2的初始條件為的初始條件為求解微分方程求解微分方程。首先由方程及初始條件。首先由方程及初始條件 00,dqbq xdxvqaH 方程的通解為方程的通解為 再由初始條件得再由初始條件得從而得到方程的解為從而得到方程的解為 ,bxvq xCe0.CaH 0000,.qaHHuw 0, 0.bxvqq xaH

17、 exl對于方程及初始條件對于方程及初始條件 110,blvdqq xdxvq laH e 同樣可得方程的解為同樣可得方程的解為 1101, .x lblvvq xaH eelxl即方程的解可以表達(dá)為即方程的解可以表達(dá)為 110101 0, .bxvx lblvvaH exlq xaH eelxl 2. 在香煙燃燒的任何時刻在香煙燃燒的任何時刻 求毒物在單位時間內(nèi)通求毒物在單位時間內(nèi)通過過 的數(shù)量的數(shù)量, txl,.q l tt 因為在時刻因為在時刻 時，香煙燃至?xí)r，香煙燃至 處，記此時點燃的處，記此時點燃的煙草在單位時間放出的毒物量為煙草在單位時間放出的毒物量為 則則xut ,H t仿仿1可

18、得可得 ,.H tuw ut t 1111 0, .b x utvb lutx lvvaH t exlq x taH t eelxl 3.確定確定,w x t 由于在吸煙過程中，未點燃的煙草不斷得吸收煙霧中由于在吸煙過程中，未點燃的煙草不斷得吸收煙霧中的毒物，所以毒物在煙草中的密度的毒物，所以毒物在煙草中的密度 由初始值由初始值逐漸增加。考察煙草截面逐漸增加?？疾鞜煵萁孛?處在處在 時間內(nèi)毒物密度的增時間內(nèi)毒物密度的增量量 根據(jù)守恒定律它等于在單根據(jù)守恒定律它等于在單位長度煙霧中的毒物被吸收的部分，由假設(shè)位長度煙霧中的毒物被吸收的部分，由假設(shè)4，則有，則有,w x t0wtx,w x xtw

19、x t ,q x tw x ttw x tbtv 令令 并將并將、代入得方程代入得方程0,t 0,0.b x utvwabuw ut t etvw xw此方程為偏微分方程，該方程的解為此方程為偏微分方程，該方程的解為00,1.,1bxbutabutvvvabutvaw x tweeeaww ut taea其中其中 （由假設(shè)（由假設(shè)2）1.aa 4. 計算計算Q 將將代入代入中，得中，得120,.blblbutabutvvvvauwq l teeeea最后將最后將代入代入式作定積分得：式作定積分得：21100,1.blabllvvauwQq l t dteea b 為便于對結(jié)果的分析，將上式寫成

20、為便于對結(jié)果的分析，將上式寫成1211,allvveQaMea blv記記 則則式可寫成式可寫成 11,ra blerrvr 2.lvQaMer式即是我們需要的最終，該式表達(dá)了吸入量式即是我們需要的最終，該式表達(dá)了吸入量 與與 等因素之間的關(guān)系。等因素之間的關(guān)系。Q,a M21, , , ,l v b l 結(jié)果分析結(jié)果分析 1. 與煙草含毒物量與煙草含毒物量 、毒物隨煙霧沿香煙穿行比例、毒物隨煙霧沿香煙穿行比例 成正比?？梢栽O(shè)想為將毒物成正比?？梢栽O(shè)想為將毒物 集中在集中在 處，則吸處，則吸入量為入量為QMaMxl.aM 2.因子因子 體現(xiàn)了過濾嘴對減少毒物進(jìn)入人體的作體現(xiàn)了過濾嘴對減少毒物進(jìn)

21、入人體的作用，提高過濾嘴的長度用，提高過濾嘴的長度 及吸收率及吸收率 降低穿行速度降低穿行速度也可降低吸入量。也可降低吸入量。2lve2,l.v r 3. 因子因子 表示的是未點燃的煙草對毒物的吸收而起表示的是未點燃的煙草對毒物的吸收而起到的減少到的減少 的作用。的作用。Q211.2lva blQaMev 根據(jù)實際數(shù)據(jù)有根據(jù)實際數(shù)據(jù)有 則則11,a blrv 4. 比較比較 為了比較過濾嘴的作用，取兩支香煙作比較，兩支香為了比較過濾嘴的作用，取兩支香煙作比較，兩支香煙的長度均為煙的長度均為 一支帶過濾嘴，長度為一支帶過濾嘴，長度為 吸入量分別吸入量分別為為 則有則有. l2.l12,.Q Q2

22、12.b lvQeQ可見只要可見只要 過濾嘴就體現(xiàn)了相應(yīng)的作用。過濾嘴就體現(xiàn)了相應(yīng)的作用。b三、煙霧的擴(kuò)散和消失三、煙霧的擴(kuò)散和消失 問題的提出問題的提出 一顆炮彈在平原上爆炸，放出的煙霧以爆炸點為中心一顆炮彈在平原上爆炸，放出的煙霧以爆炸點為中心向四周迅速擴(kuò)散，形成一個近似于圓形的不透光區(qū)域。向四周迅速擴(kuò)散，形成一個近似于圓形的不透光區(qū)域。由于這個這個區(qū)域逐漸增大，其邊界逐漸明亮起來，不由于這個這個區(qū)域逐漸增大，其邊界逐漸明亮起來，不透光區(qū)域逐漸變小，最后煙霧完全消失。本節(jié)建立一個透光區(qū)域逐漸變小，最后煙霧完全消失。本節(jié)建立一個相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來描述煙霧的擴(kuò)散和消失的過程，分析相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來

23、描述煙霧的擴(kuò)散和消失的過程，分析消失的時間與哪些因素有關(guān)。消失的時間與哪些因素有關(guān)。 問題的分析問題的分析 爆炸引起的煙霧傳播可以看成是無窮空間由瞬時點源爆炸引起的煙霧傳播可以看成是無窮空間由瞬時點源導(dǎo)致的擴(kuò)散過程。能夠用二階拋物型偏微分方程描述煙導(dǎo)致的擴(kuò)散過程。能夠用二階拋物型偏微分方程描述煙霧濃度的變化規(guī)律。霧濃度的變化規(guī)律。 整個建模過程應(yīng)當(dāng)包括能夠：煙霧濃度的變化規(guī)律；整個建模過程應(yīng)當(dāng)包括能夠：煙霧濃度的變化規(guī)律；穿過煙霧的光的強(qiáng)度的變化規(guī)律，儀器辨別亮暗的靈敏穿過煙霧的光的強(qiáng)度的變化規(guī)律，儀器辨別亮暗的靈敏度的描述；不透光區(qū)域邊界的變化過程等。度的描述；不透光區(qū)域邊界的變化過程等。

24、模型假設(shè)模型假設(shè) 1. 炮彈的爆炸看作是在空中某一點向四周等強(qiáng)度地瞬炮彈的爆炸看作是在空中某一點向四周等強(qiáng)度地瞬時釋放煙霧，煙霧在空間擴(kuò)散，不計風(fēng)力和大地的影時釋放煙霧，煙霧在空間擴(kuò)散，不計風(fēng)力和大地的影響；響； 2.煙霧的傳播遵從擴(kuò)散定律：即單位時間通過法向面煙霧的傳播遵從擴(kuò)散定律：即單位時間通過法向面積的流量與它的濃度成正比；積的流量與它的濃度成正比； 3.光線穿過煙霧時其強(qiáng)度由于煙霧的吸收而減少光線穿過煙霧時其強(qiáng)度由于煙霧的吸收而減少,單位單位距離上光強(qiáng)的相對減少量與煙霧濃度成正比距離上光強(qiáng)的相對減少量與煙霧濃度成正比,沒有煙霧的沒有煙霧的大氣對光線的吸收作用忽略不記；大氣對光線的吸收作

25、用忽略不記； 4.在煙霧的擴(kuò)散過程中，不穿過煙霧直接進(jìn)入觀測儀在煙霧的擴(kuò)散過程中，不穿過煙霧直接進(jìn)入觀測儀器的標(biāo)準(zhǔn)光強(qiáng)器的標(biāo)準(zhǔn)光強(qiáng) 保持不變，對于穿過煙霧而進(jìn)入儀器的保持不變，對于穿過煙霧而進(jìn)入儀器的光強(qiáng)光強(qiáng) 觀測結(jié)果只有亮暗之分，僅當(dāng)觀測結(jié)果只有亮暗之分，僅當(dāng) 時觀測時觀測結(jié)果為量。結(jié)果為量。 稱為儀器的靈敏度。稱為儀器的靈敏度。0I, I0/1I I 1 建模建模 將爆炸時刻記為將爆炸時刻記為 爆炸點設(shè)為坐標(biāo)原點。在時刻爆炸點設(shè)為坐標(biāo)原點。在時刻 時空間中任一點時空間中任一點 的煙霧濃度記為的煙霧濃度記為由假設(shè)由假設(shè)2，單位時間通過單位法向面積的流量，單位時間通過單位法向面積的流量0,t

26、t, ,x y z, , ,.C x y z tgrad .qkC 其中其中 是擴(kuò)散系數(shù)，負(fù)號表示由濃度高向濃度低的地方是擴(kuò)散系數(shù)，負(fù)號表示由濃度高向濃度低的地方擴(kuò)散。設(shè)空間區(qū)域擴(kuò)散。設(shè)空間區(qū)域 的體積為的體積為 包圍包圍 的曲面為的曲面為 的外法向量為的外法向量為 則在時間區(qū)間則在時間區(qū)間 內(nèi)，通過內(nèi)，通過 的的k, ,V,S, nS, t tt 的流量為的流量為1.tttSQq nd dt 而而 的煙霧增量為的煙霧增量為2, , , , ,.QC x y z tC x y z ttdV 由質(zhì)量守恒定律，知由質(zhì)量守恒定律，知12.QQ由高斯公式，有由高斯公式，有.Sq nddivqdV 由積

27、分中值定理得：由積分中值定理得：222222div grad,CCCCkCktxyz0, ,.tx y z 再由假設(shè)再由假設(shè)1，初始條件為在坐標(biāo)原點的點源函數(shù)，記為，初始條件為在坐標(biāo)原點的點源函數(shù)，記為, , ,0, ,.C x y zQx y z其中其中 表示煙霧總量，表示煙霧總量， 是單位強(qiáng)度的點源函是單位強(qiáng)度的點源函數(shù)。數(shù)。Q, ,x y z 方程方程的解為的解為22243/2, , ,.4xyzktQC x y z tek t方程的解說明：在任何時刻方程的解說明：在任何時刻 煙霧濃度函數(shù)煙霧濃度函數(shù) 的等值面的等值面為球面為球面 并且當(dāng)并且當(dāng) 時，時，, tC2222.xyzRR 0.

28、C 2.穿過煙霧的光強(qiáng)的變化規(guī)律穿過煙霧的光強(qiáng)的變化規(guī)律 考察沿一定方向穿過煙霧的光線，此方向的長度坐標(biāo)考察沿一定方向穿過煙霧的光線，此方向的長度坐標(biāo)記為記為 煙霧濃度為煙霧濃度為 光強(qiáng)為光強(qiáng)為 由假設(shè)由假設(shè)3，則有，則有, l ,I l ,C l .dIaC l I ldl 是煙霧對光線的吸收系數(shù)，光線未進(jìn)入煙霧時是煙霧對光線的吸收系數(shù)，光線未進(jìn)入煙霧時的強(qiáng)度記作的強(qiáng)度記作 即即a0ll0,I 00.II l則方程則方程在條件在條件下的解為下的解為 00.llC s dsI lI e 3. 儀器的靈敏度與不透光區(qū)域的邊界儀器的靈敏度與不透光區(qū)域的邊界 注意到，煙霧濃度在空間中是連續(xù)變化的，穿

29、過煙霧注意到，煙霧濃度在空間中是連續(xù)變化的，穿過煙霧而進(jìn)入儀器的光強(qiáng)也是連續(xù)變化的，之所以會觀察到煙而進(jìn)入儀器的光強(qiáng)也是連續(xù)變化的，之所以會觀察到煙霧擴(kuò)散時不透光區(qū)域的邊界有一個先大后小、最終消失霧擴(kuò)散時不透光區(qū)域的邊界有一個先大后小、最終消失的過程，是由于儀器的觀測結(jié)果只有亮暗之分。亮暗分的過程，是由于儀器的觀測結(jié)果只有亮暗之分。亮暗分界線由靈敏度界線由靈敏度 決定。由假設(shè)決定。由假設(shè)4僅當(dāng)僅當(dāng)01,II 觀測結(jié)果為亮。觀測結(jié)果為亮。 由假設(shè)由假設(shè)3，光強(qiáng)，光強(qiáng) 穿過沒有煙霧的大氣時其衰減可以穿過沒有煙霧的大氣時其衰減可以忽略，因而不必對它與直接進(jìn)入儀器的標(biāo)準(zhǔn)光強(qiáng)加以區(qū)忽略，因而不必對它與直

30、接進(jìn)入儀器的標(biāo)準(zhǔn)光強(qiáng)加以區(qū)分，從而分，從而式中的光強(qiáng)可以由式中的光強(qiáng)可以由式進(jìn)行計算。式進(jìn)行計算。0I 為方便起見，取沿著為方便起見，取沿著 軸的光線，不妨設(shè)光源（太軸的光線，不妨設(shè)光源（太陽）在陽）在 處而儀器在處而儀器在 處，則處，則可以寫可以寫成成zz z , , ,1.aC x y z t dse 因為因為 的等值面為球面，所以儀器觀測到的的等值面為球面，所以儀器觀測到的投影在投影在 平面上的不透光區(qū)域的邊界是圓周，記作平面上的不透光區(qū)域的邊界是圓周，記作, , ,C x y z txy222.xyr其中圓半徑由其中圓半徑由式確定式確定. 4.不透光區(qū)域的邊界的變化規(guī)律不透光區(qū)域的邊界

31、的變化規(guī)律 對對式取對數(shù)，并利用一次近似式取對數(shù)，并利用一次近似則則式可化為式可化為ln 11xx x11, , ,ln.1C x y z t dzaa于是不透光區(qū)域的邊界由于是不透光區(qū)域的邊界由, , ,C x y z t dza確定，將確定，將式中的式中的 代入上式并進(jìn)行積分代入上式并進(jìn)行積分, 并并, , ,C x y z t利用公式利用公式 可得可得2,xaedxa224,4xyQekta以以 代入上式代入上式, 有有222.xyr 4ln.4aQr tktk t 結(jié)果分析結(jié)果分析 由由式可大致畫出函數(shù)式可大致畫出函數(shù) 的曲線的曲線, 并且能算出當(dāng)并且能算出當(dāng) r t14aQttke時

32、不透光的區(qū)域的半徑達(dá)到時不透光的區(qū)域的半徑達(dá)到最大最大 當(dāng)當(dāng).mrt r t1tmrO2t24aQttk時時, 即此時煙霧完全消散即此時煙霧完全消散. 0.r , 式表明式表明 與煙霧施放量與煙霧施放量 和煙霧對光線的吸和煙霧對光線的吸收系數(shù)收系數(shù) 成正比成正比, 與擴(kuò)散系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù) 和系統(tǒng)靈敏度和系統(tǒng)靈敏度 成反比成反比.12,t tQak 再從最后兩式可以得到再從最后兩式可以得到2112.7.ttet此說明當(dāng)知道此說明當(dāng)知道 后后, 可預(yù)測煙霧完全消失的時刻可預(yù)測煙霧完全消失的時刻1t2.t四、萬有引力的發(fā)現(xiàn)四、萬有引力的發(fā)現(xiàn) 歷史背景歷史背景 15世紀(jì)下半葉開始世紀(jì)下半葉開始, 歐洲商

33、品經(jīng)濟(jì)的繁榮促進(jìn)了航海歐洲商品經(jīng)濟(jì)的繁榮促進(jìn)了航海事業(yè)的發(fā)展事業(yè)的發(fā)展. 哥倫布新大陸的發(fā)現(xiàn)哥倫布新大陸的發(fā)現(xiàn), 麥哲倫的環(huán)球遠(yuǎn)航麥哲倫的環(huán)球遠(yuǎn)航, 引起了社會的普遍關(guān)注引起了社會的普遍關(guān)注. 當(dāng)時的遠(yuǎn)洋航船的方位全考星當(dāng)時的遠(yuǎn)洋航船的方位全考星球的位置來確定球的位置來確定. 在強(qiáng)大的社會需要推動下在強(qiáng)大的社會需要推動下, 天文觀測天文觀測的精確程度不斷提高的精確程度不斷提高. 在大量的實際觀測數(shù)據(jù)面前在大量的實際觀測數(shù)據(jù)面前, 一一直處于天文學(xué)統(tǒng)治地位的直處于天文學(xué)統(tǒng)治地位的“地心說地心說”開始搖動了開始搖動了. 波蘭天文學(xué)家哥白尼在天文觀測的基礎(chǔ)上波蘭天文學(xué)家哥白尼在天文觀測的基礎(chǔ)上, 沖

34、破宗教沖破宗教統(tǒng)治和統(tǒng)治和“地心說地心說”的束縛的束縛, 提出提出“日心說日心說”. 這是天文這是天文學(xué)乃學(xué)乃整個科學(xué)的一大革命整個科學(xué)的一大革命. 但是由于歷史條件和科學(xué)水平的但是由于歷史條件和科學(xué)水平的限制限制, 哥白尼的理論還有些缺陷哥白尼的理論還有些缺陷. 他接受了圓周運動是他接受了圓周運動是最完美的天體運動形式的概念最完美的天體運動形式的概念, 認(rèn)為行星繞太陽的運行認(rèn)為行星繞太陽的運行軌道是圓形的軌道是圓形的. 意大利物理學(xué)家伽利略不僅用觀察方法證明了哥白尼意大利物理學(xué)家伽利略不僅用觀察方法證明了哥白尼的學(xué)說的學(xué)說, 而且用實驗方法發(fā)現(xiàn)了落體定律和慣性原理而且用實驗方法發(fā)現(xiàn)了落體定律

35、和慣性原理,揭示了物體在不受阻擾時作勻速直線運動的規(guī)律揭示了物體在不受阻擾時作勻速直線運動的規(guī)律. 德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒在第谷德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒在第谷.布拉赫對于行布拉赫對于行星運動大量觀測資料的基礎(chǔ)上用數(shù)學(xué)方法研究發(fā)現(xiàn)星運動大量觀測資料的基礎(chǔ)上用數(shù)學(xué)方法研究發(fā)現(xiàn), 火火星的實際位置與按哥白尼理論計算的位置相差星的實際位置與按哥白尼理論計算的位置相差8弧分弧分. 經(jīng)過對觀測數(shù)據(jù)長期深入的分析經(jīng)過對觀測數(shù)據(jù)長期深入的分析, 開普勒終于歸納出著開普勒終于歸納出著名的所謂行星運動三大定律名的所謂行星運動三大定律: 即即 各顆行星分別在不同的橢圓軌道上繞太陽運行各顆行星分別在不同的橢圓軌道上繞太陽運行, 太陽太陽位于這些橢圓的一個焦點上位于這些橢圓的一個焦點上; 每顆行星運行過程中單位時間內(nèi)太陽每顆行星運行過程中單位時間內(nèi)太陽行星向徑掃過行星向徑掃過的面積是一個常數(shù)的面積是一個常數(shù); 各顆行星運行的周期的平方與其軌道長半軸的各顆行星運行的周期的平方與其軌道長半軸的3次方次方成正比成正比. 在伽利略、開普勒的基礎(chǔ)上在伽利略、開普勒的基礎(chǔ)上, 17, 18世紀(jì)許多科