行列式的計算方法

1、專題五 行列式的計算方法1.遞推法例1 求行列式的值： （1）的構(gòu)造是：主對角線元全為；主對角線上方第一條次對角線的元全為，下方第一條次對角線的元全為1，其余元全為0；即為三對角線型。又右下角的（n）表示行列式為n階。解 把類似于，但為k階的三對角線型行列式記為。把（1）的行列式按第一列展開，有兩項，一項是另一項是上面的行列式再按第一行展開，得乘一個n 2階行列式，這個n 2階行列式和原行列式的構(gòu)造相同，于是有遞推關(guān)系： （2）移項，提取公因子：類似地：1 / 15（遞推計算）直接計算若；否則，除以后移項：再一次用遞推計算：， 當(dāng) （3）當(dāng)=，從從而。由（3）式，若。 注 遞推式（2）通常稱為

2、常系數(shù)齊次二階線性差分方程.注1 仿照例1的討論，三對角線型的n階行列式 （3）和三對角線型行列式 （4）有相同的遞推關(guān)系式 （5） （6）注意兩個序列和的起始值相同，遞推關(guān)系式（5）和（6）的構(gòu)造也相同，故必有由（4）式，的每一行都能提出一個因子a ，故等于乘一個n階行列式，這一個行列式就是例1的。前面算出，故 例2 計算n階范德蒙行列式行列式解:即n階范德蒙行列式等于這n個數(shù)的所有可能的差的乘積 2拆元法例3：計算行列式解×（x + a） ×（x a） 3加邊法例4 計算行列式分析：這個行列式的特點是除對角線外,各列元素分別相同.根據(jù)這一特點,可采用加邊法.解 4數(shù)學(xué)歸

3、結(jié)法例5 計算行列式 解：猜測：證明（1）n = 1, 2, 3時，命題成立。假設(shè)nk 1時命題成立,考察n=k的情形：故命題對一切自然數(shù)n成立。 5.消去法求三對角線型行列式的值例6 求n階三對角線型行列式的值： （1）的構(gòu)造是：主對角線元全為2，主對角線上方第一條次對角線與下方第一條次對角線的元全為1，其余的元全為0。解 用消去法，把中主對角線下方第一條次對角線的元1全部消成0：首先從第二行減去第一行的倍，于是第二行變?yōu)槠浯螐牡谌袦p去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，則第三行變?yōu)樵購牡谒男袦p去第三行的倍，則第四行變?yōu)轭愃频刈鱿氯?，直到第n行減去第n 1行的倍，則第n行變?yōu)樽詈笏玫男辛?/p>

4、式為 （2）上面的行列式是三角型行列式，它的主對角線元順次為 93）又主對角線下方的元全為0。故的值等于（3）中各數(shù)的連乘積，即。 注3 一般的三對角線型行列式 （4）也可以按上述消去法把次對角線元全部消去，得到一個三角型行列式，它的值等于該三角型行列式的主對角線元的連乘積。 6乘以已知行列式例7 求行列式的值：稱為循環(huán)行列式，各行自左到右均由循環(huán)排列而得，并使主對角線元全為解 設(shè)1的立方根為，即其中i是虛數(shù)單位，又右乘以行列式則 （1）用，得故（1）的行列式的第一列可由提出公因子，提后的元順次為，類似地，（1）的行列式的第二列和第三列可提出公因子和于是因互不相等，幫它們所構(gòu)成的凡德蒙行列式的

5、值不為零，可以從上式的左右兩邊約去，得。 注4 在n階的一般情形，設(shè)1的n次方根為則得行列式的值為這里的是由構(gòu)成的n階循環(huán)行列式： 7利用線性代數(shù)方程組的解例8 求n階行列式的值： （1）的構(gòu)造是：第i行的元順次為又第n行的元順次為。解 （1）的行列式與凡德蒙行列式 （2）的比值可以看成線性代數(shù)方程組 （3）的解。如能解出，乘以凡德蒙行列式（2），即是原行列式但方程組（3）又可以看成n次多項式方程 （4）（t是未知數(shù)，看作系數(shù)）有n個根用根與系數(shù)的關(guān)系，即得 8遞推方程組方法例9 求行列式的值： （1）是n階行列式（在右下角用（n）表示），其結(jié)構(gòu)是：主對角線元全為x；主對角線上方的元全為y ,

6、下方的元全為z。解 從 （1）的行列式的第一列減第二列，第二列減第三列，第n 1列減第n列，得 （2）上面的行列式按第一行展開，有兩項，一項是（x y）乘一個n 1階行列式，這個n 1階行列式和（2）中的n階行列式的構(gòu)造相同，即上述展開的第一項可表示為；展開的另一項是故遞推式 （3）若z = y，則上式化為 （4）類似地有又故可對（4）式遞推計算如下：上面得到原行列式當(dāng)z = y時的值。下面討論zy的情形。把（1）的行列式的y與z對調(diào)，這相當(dāng)于原行列式的行與列互換，這樣的做法，行列式的值不變。于是y和z對調(diào)后，的值不變，這時（3）式變?yōu)?（5）從（3）與（5）（遞推方程組）消去，即（3）式乘以（x z），（5）乘以（x y），相減得 注5