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1、第三章 矩陣的初等變換與線性方程組上一章我們看到, 當(dāng)我們引進(jìn)矩陣的運算和逆矩陣等概念后, 矩陣逐漸顯露出它的作用. 這一章我們再引進(jìn)矩陣的初等變換和秩的概念, 又增添了它的應(yīng)用活力. 利用它們我們可以很方便地判斷一個線性方程組是否有解, 若有解, 又有什么樣的解. 并方便的求出它的解. 主要內(nèi)容1. 矩陣的初等變換.2. 矩陣的秩.3. 線性方程組的解.重點內(nèi)容 矩陣的初等變換與矩陣的秩.第一節(jié) 矩陣的初等變換一、 消元法解線性方程組引例 求解線性方程組 (1)解 用消元法求解.對方程組進(jìn)行變換: 對增廣矩陣作初等行變換: (1) ; ; ; .由此回代得: 說明 1) 解線性方程組可以通過
2、對其對應(yīng)的系數(shù)矩陣做一系列變換來進(jìn)行; 2) 引例中最后一個方程組稱為階梯型方程組, 其對應(yīng)的矩陣稱為行階梯型矩陣(簡稱階梯形矩陣), 其特點是每一個非零行的第一個非零元素下方的元素全為零. 例1 求解線性方程組解 將增廣矩陣化為階梯型, 對應(yīng)的階梯型方程組為由此可看出方程組無解. 二、矩陣的初等變換定義1對矩陣做如下三種變換稱為矩陣的初等行(列)變換: 1)對調(diào)矩陣的任意兩行(對調(diào)兩行, 記作); 2)用乘矩陣的某一行(第行乘, 記作); 3)將矩陣的某一行乘數(shù)加到另一行(第行的倍加到第行上, 記作). 把定義中的“行”換成“列”, 即得初等列變換的定義(所用記號是把換成). 矩陣的初等行變
3、換與矩陣的初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換. 說明 1) 矩陣的三種初等變換都是可逆的; 2) 若矩陣經(jīng)有限次初等行變換變成, 則稱與行等價, 記為: ; 若矩陣經(jīng)有限次初等列變換變成, 則稱與列等價, 記為: ; 若矩陣經(jīng)有限次初等變換變成, 則稱與等價, 記為: . 等價關(guān)系具有以下性質(zhì): (i) 反身性 ; (ii) 對稱性 若, 則; (iii) 傳遞性 若, , 則. 數(shù)學(xué)上把具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價, 例如, 兩個線性方程組同解, 就稱這兩個線性方程組等價. 例2 試用初等變換將矩陣化為階梯型. 解 ,矩陣為階梯形矩陣. 若將再作初等行變換化為如下形狀,則稱為行最簡形矩陣, 其
4、特點是非零行的第一個非零元素為, 且這些非零元所在列的其他元素全為零.說明 1) 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明, 任何一個矩陣, 是可以經(jīng)有限次初等行變換化為行階梯形矩陣和行最簡形矩陣. 2) 再經(jīng)過初等列變換, 或可化為 ,矩陣稱為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形, 其特點是的左上角為一個單位矩陣, 其余元素全為零. 一般地, 對矩陣, 總可以通過初等變換(行變換和列變換)化為下面的標(biāo)準(zhǔn)形: ,此標(biāo)準(zhǔn)型由三個數(shù)完全確定, 其中就是行階梯型矩陣中非零行的行數(shù). 所有與等價的矩陣組成一個集合, 稱為一個等價類, 標(biāo)準(zhǔn)型是這個等價類中最簡單的矩陣.第二節(jié) 初 等 矩 陣一、初等矩陣的概念定義2 由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到
5、的矩陣稱為初等矩陣. 三種初等變換對應(yīng)三種初等矩陣: 1、對調(diào)兩行或?qū)φ{(diào)兩列第行第行第列第列2、以數(shù)乘某行(列)第行第列3、以數(shù)乘某行(列) 加到另一行(列)第行第行第列第列二、矩陣的初等變換與初等矩陣之間的關(guān)系下面觀察用初等矩陣左乘和右乘與初等變換有何關(guān)系. 例如.由上面可以看出, 用初等矩陣左乘, 相當(dāng)于將的行交換, 即對做相應(yīng)的初等行變換.由上面可以看出, 用初等矩陣右乘, 相當(dāng)于將的第一列乘數(shù)加到第三列, 即對做相應(yīng)的初等列變換.定理1 用初等矩陣左乘, 相當(dāng)于對做相應(yīng)的初等行變換; 用初等矩陣右乘, 相當(dāng)于對做相應(yīng)的初等列變換.注記 容易驗證, 這三種初等矩陣都可逆, 且它們的逆陣也
6、都是初等矩陣; ; . 三、矩陣可逆的充要條件定理2 矩陣可逆的充要條件是存在有限個初等矩陣, 使.證 先證充分性. 設(shè) , 因為可逆, 從而, 所以可逆. 再證必要性. 設(shè)階矩陣可逆, 它的標(biāo)準(zhǔn)型矩陣為, 因為, 所以存在初等矩陣, 使.因為及都可逆, 所以,即也是可逆矩陣, 故, 從而有. 證畢推論 1 方陣可逆的充要條件是.推論2 矩陣的充要條件是存在階可逆矩陣及階可逆矩陣, 使得.四、初等變換在求逆矩陣中的應(yīng)用設(shè)有矩陣方陣, 當(dāng)為可逆陣時, 得. 下面利用定理2可推導(dǎo)出用初等變換求及的方法.設(shè)為可逆陣, 則由定理2 知, 其中為初等方陣. 于是, .設(shè), 則也是初等方陣, 且有, 故有
7、 ; , 、兩式說明: 對做一系列初等行變換, 將化為單位陣的同時, 用同樣的初等行變換可將花為, 即,當(dāng)時, 有.例3 設(shè), 求.解 由于, 所以.例4 設(shè)三階矩陣滿足, 其中,求矩陣.解 由得. 而,易知. 所以, 可逆, 故. 由于 , 所以 .說明 若做初等列變換, 則采用如下格式: (1) ; (2) . 第三節(jié) 矩陣的秩一、 矩陣的秩的概念定義3 在矩陣中任取行與列, 位于這些行、列交叉處的個元素, 不改變他們在中所處的位置次序而得到的階行列式, 稱為的階子式. 說明 矩陣的階子式共有個. 定義4 若在矩陣中有一個階子式不為零, 且所有的階子式(如果存在的話)全等于零, 則稱為的最
8、高階非零子式. 數(shù)稱為矩陣的秩. 記作. 并規(guī)定零矩陣的秩等于零. 說明 1) 由行列式按行按列展開的性質(zhì)知, 在中所以的階子式全為零時, 所有高于階的子式也全為零. 因此, 矩陣的秩就是中不為零的子式的最高階數(shù). 2) 由定義知, 且有且.3) 對階方陣, 當(dāng)時, 稱為滿秩矩陣; 當(dāng)時, 稱為降秩矩陣. 若階方陣可逆, 則, 故, 因此可逆矩陣一定是滿秩矩陣, 從而可逆非奇異滿秩.例5 求矩陣和的秩, 其中, 解 易知的一個二階子式 , 而的四個三階子式都為零 即:, , ,所以.矩陣為階梯形矩陣, 很容易觀察得出其秩為, 即為其非零行的行數(shù). 二、 矩陣的秩的求法定理3 若, 則.證 先證
9、明: 若經(jīng)一次初等行變換變?yōu)? 則. 設(shè), 且的某個階子式.1)當(dāng) 或時, 在中總能找到與相對應(yīng)的子式, 由于, 或 或, 因此, 從而.2)當(dāng)時, 分三種情況討論: (i) 中不含第行, 此時, 所以; (ii) 中同時含有第行和第行, 此時由行列式的性質(zhì)知, 此時, 所以; (iii) 中含有第行但不含第行, 此時由,若, 則, 所以; 若, 由于是不含第行的階子式, 因此在矩陣中必有一個不含第行的非零階子式. 從而由情形(1)知, .綜上所述, 若經(jīng)一次初等變換變?yōu)? 則. 由于亦經(jīng)一次初等行變換變?yōu)? 故, 因此有. 因為經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變, 那么經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩也
10、不變. 設(shè)經(jīng)初等列變換變, 則經(jīng)初等行變換變?yōu)? 由上段證明知, 又, , 所以.總之, 若經(jīng)有限次初等列變換變?yōu)?即),則. 證畢說明 據(jù)此定理, 我們可以找到一個求的簡便方法, 先通過初等行變換將化為階梯形矩陣, 則等于的非零行的行數(shù).例6設(shè)求的秩, 并求的一個最高階非零子式.解 對做初等行變換化為階梯形矩陣:, 所以.下面求的一個最高階非零子式. 因為, 所以的最高階非零子式為三階, 而的三階子式共有個, 要從中找出一個非零子式比較麻煩. 若的第列記為, 則的可記為,又易知矩陣的行階梯形矩陣為,所以. 由此知中必有三階非零子式, 而的前三行構(gòu)成的子式 .所以, 這就是我們所求的一個最高階
11、非零子式.例7 求矩陣的秩.解 因為,所以1) 當(dāng)時, ; 2) 當(dāng)或當(dāng)時, 時; 3) 當(dāng)時, . 例8 設(shè), 已知, 求的值. 解 對作行初等變換, 得. 因為, 所以.三、 矩陣的秩的性質(zhì)1) .2) . 3) 若, 則. 4) 若可逆, 則. 5) , 特別地, 當(dāng)為列向量時 , 有 .證 因為的最高階非零子式總是矩陣的非零子式, 所以; 同理有, 因此有.設(shè), 將分別做初等列變換化為列階梯形, 則中分別含有個和個非零列. 故可設(shè), 從而. 因為矩陣只含有個非零列, 所以.而, 故. 即 . 證畢6) .證 不妨設(shè)為矩陣, 對矩陣做列變換, 即得. 于是由性質(zhì)5, 有 . 證畢7) ,
12、 即且.8) 若, 則.說明 性質(zhì)7)和8)的證明在后續(xù)章節(jié)中進(jìn)行. 例9 已知, 為三階非零矩陣, 且, 則下列結(jié)論中正確的是: 時 , ; 時 , ; 時 , ; 時 , .分析:當(dāng)時,所以, 由性質(zhì)8)知, , 所以. 證明的秩可以是或, 排除兩選項. 當(dāng)時, 易知, 從而, 又因為, 所以, 故, 所以選.第四節(jié) 線性方程組的解一、線性方程組求解設(shè)有個方程的元線性方程組 (2)(2)式可寫成以向量為未知元的向量方程 , (3)其中稱為(2)的系數(shù)矩陣, 為維列向量, 稱為增廣矩陣. 說明 線性方程組(2)有解, 就稱它是相容的,如果無解,就稱它不相容. 定理4 設(shè)有元線性方程組, 則1
13、) 無解的充要條件是; 2) 有唯一解的充要條件是; 3) 有無窮解的充要條件是. 證 只證充分性, 必要性在充分性成立的情況下是顯然的. 設(shè), 為敘述方便不妨設(shè)矩陣的行最簡形為:.1) 若, 則中的, 于是的第行對應(yīng)矛盾方程, 故方程無解;2) , 則中的(或不出現(xiàn)), 且都不出現(xiàn), 于是對應(yīng)方程組故方程組有唯一解. 3) , 則中的(或不出現(xiàn), 于是對應(yīng)方程組令自由未知數(shù), 即得方程組的含個參數(shù)的解:即 (4)因為參數(shù)可任意取值, 所以方程組有無窮多解.說明 1) 求解線性方程組的步驟歸納如下:(i) 寫出的增廣矩陣, 并把它化為行階梯形, 若, 則方程組無解;(ii) 若, 則進(jìn)一步化為
14、行最簡形, 由此得出方程組的解.2) 解(4)稱為線性方程組(2)的通解.3) 對于元齊次方程組, 有:(i) 只有零解的充要條件是(ii) 有非零解的充要條件是. 例10 求解齊次方程組解 將系數(shù)矩陣化為行最簡形 ,由此得出同解方程組故得 (可以任意取值).令把它寫為參數(shù)形式 (為任意實數(shù)).還可以寫成向量形式. 例11 求解非齊次方程組 解 對增廣矩陣做初等行變換化為行階梯形 .因為所以方程組有無窮多解.同解方程組為 (可以任意取值).令, 把它寫為參數(shù)形式(為任意實數(shù)),或向量形式.例12 設(shè)有線性方程組問取何值時, 此方程組(1)有唯一解;(2)無解;(3)有無窮多解?并在無窮多解時求
15、其通解.解法1 對增廣矩陣作初等行變換 . 1) 當(dāng), 且時, 因為, 所以有唯一解; 2) 當(dāng)時, 因為, 所以無解; 3) 當(dāng)時, 因為, 所以有無窮多解解, 此時,由此解得或 .解法2 因為系數(shù)矩陣為方陣, 所以方程組有唯一解. 而,所以當(dāng), 且時方程組有唯一解; 當(dāng)時, 由于,而, 所以方程組無解; 當(dāng)時, 同解法1.注記 1) 解法2 只適于系數(shù)矩陣為方陣的情形.2) 對含參數(shù)的矩陣作初等變換時, 含參變量的式子不宜作分母, 若作分母, 則使分母為零的參數(shù)值需另行討論.二、線性方程組理論中的幾個基本的定理定理5 有解的充要條件是.定理6 元齊次線性方程組有非零解的充要條件是.為了下一章論述的需要, 下面把定理5 推廣到矩陣方程. 定理7 矩陣方程有解的充要條件是.證 設(shè), 把和按列分塊, 記為,則有解等價為個
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