第三章矩陣的初等變換

1、第三章矩陣的初等變換 本章通過引進(jìn)矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念，然后再利用矩陣的初等變換求矩陣的逆矩陣和解線性方程組.3.1 矩陣的初等變換3.2 矩陣的秩3.3 初等矩陣3.4 線性方程組的解矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算，它在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸伎善鸬椒浅Ｖ匾淖饔谩Ｒ河孟ń庀旅娴木€性方程組123412341234123422(1)24(2) 46224(3)36979(4)211 1 21 12 1 446 22 43 69 7 9xxxxxxxxxxxxxxxxB方程組的增廣矩陣123(1)(2)12342(3) 2123412341234

2、24 (1)1 12 1 422 (2)211 1 2232 (3)23 11 23 69 7 936979 (4)rrrxxxxxxxxxxxxxxxx32214(3) (2)2(2) 2 (1)12343(4) 3 (1)23423423424(1)1 12 14336 (2)03 3162220(3)02 22 00 33 433343 (4)rrrrrrxxxxxxxxxxxxx 33243( 2)(3) ( 2)(3)(2)1234(3) (4)234234424(1)1 12 140(2)0 11 1003 316336 (3)0 003939 (4)rrrrrxxxxxxxxxx

3、x 3243(3) 3 (2)12343(4) 32344424(1)1 12 1 40(2)0 11 1 00 0 0 2626 (3)0 0 0 133(4)rrrxxxxxxxxx 34432(3) 2 (4)1234(4)(3)234424(1)1 12 1 40(2)0 11 1 00 0 0 133 (3)0 0 0 0 000(4)rrrrxxxxxxxx 12323(1) (2) (3)13(2) (3)2344(1)1 01 0 43(2)0 11 0 30 0 0 133 (3)0 0 0 0 000(4)rrrrrxxxxx 13233443 3xxxxxcx 令，即方程

4、組的解為： 在上述過程中，對線性方程組的消元操作實(shí)際上就是對整個(gè)線性方程組進(jìn)行了三種操作:(1)對某一方程兩邊同時(shí)乘以不為零的常數(shù)；(2)交換方程組中兩個(gè)方程的位置；(3)給某一方程乘以常數(shù)k加到另一個(gè)方程上去。123441431310303xcxccxcx x上述的三種操作又都是可逆的，因而變換前的方程組與變換后的方程組是同解方程組。同時(shí)還看到，上述變換過程中實(shí)際上只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，這就相當(dāng)于是對該方程組所對應(yīng)的增廣矩陣進(jìn)行了：(1)給某一行所有元素都乘以一個(gè)非零常數(shù)；(2)交換兩行元素的位置；(3)給某一行所有元素乘常數(shù) k 加到另一行的對應(yīng)元素上去。定義：定義：下面三種變換

5、稱為矩陣的初等行變換初等行變換：1)交換兩行(記為rirj);2)以數(shù)k 0乘某一行所有元素（記作rjk）;3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的對應(yīng)元素上去（記作ri+krj ）把定義中和“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換初等列變換的定義（所用記號是把“r”換成“c”）。矩陣的初等行變換與初等列變換，統(tǒng)稱為矩矩陣的初等變換陣的初等變換。 顯然，三種初等變換都是可逆的，且其變換是同一類型的初等變換。變換rirj的逆變換就是本身；變換 rjk 的逆變換為 rjk ；變換 ri+krj 的逆變換為ri k rj。如果 A 經(jīng)過有限次初等變換變?yōu)榫仃?B，稱矩陣 A與 B是等價(jià)的，記為AB 。矩

6、陣的等價(jià)關(guān)系有如下性質(zhì)： 反身性： A A 對稱性： AB ，則B A 傳遞性： AB， B C，則A C在數(shù)學(xué)上，我們把滿足上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱之為等價(jià)。由前面的引例可以看出，同時(shí)也不難證明對矩陣進(jìn)行行的初等變換，可以把矩陣化為行對矩陣進(jìn)行行的初等變換，可以把矩陣化為行階梯矩陣，進(jìn)而可以化為行最簡矩陣階梯矩陣，進(jìn)而可以化為行最簡矩陣。對行最簡矩陣再施以列的初等變換列的初等變換，行最簡矩陣可變成一種形狀更簡單的矩陣，稱它為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。矩陣標(biāo)準(zhǔn)形的特點(diǎn)是：其左上其左上角是一單位矩陣，其余元素全是零角是一單位矩陣，其余元素全是零。可以證明，任何一個(gè)任何一個(gè)mn階矩陣階矩陣 A，都可以經(jīng)過初等，都

7、可以經(jīng)過初等rm nEF00 0 此標(biāo)準(zhǔn)形由m、n、r三個(gè)數(shù)完全確定，其中r就是行階梯矩陣中非零行的行數(shù)，所有與A等價(jià)的矩陣組成了一個(gè)集合，這個(gè)集合稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形F是這個(gè)等價(jià)類中形狀最簡單的矩陣。2 3 1371 2 02432 8 3023 7 4.31A把矩陣化為行階梯陣和行最簡陣，并求它的例標(biāo)準(zhǔn)形。變化化為標(biāo)準(zhǔn)形變化化為標(biāo)準(zhǔn)形F。41321212322 3 1371 2 0241 2 02401 1 1132 8 3008 8 9 1223 7 4306 6 7 10rrrrrrrrA解：324243286( 1)1 2 0241 2 0240 11110 11110 0 014

8、0 0 0140 0 0140 0 000rrrrrrr 1 0 2 021 0 0 0 00 11 0 30 1 0 0 00 0 0 1 40 0 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 在mn階矩陣A中，任取k行與k列(km，k n)，位于這些行列交叉點(diǎn)處的k2個(gè)元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。 mn階矩陣A中的k階子式共有 個(gè)。 設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D，且所有r1階子式(如果存在的話)全等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣的秩。記作R(A)。同時(shí)規(guī)定，零矩陣的秩等于0。knkmCC 由行列式性質(zhì)可知，

9、在 A中當(dāng)所有r1階子式全等于零時(shí)，所有高于r1階的子式也全等于零，因此 A的秩 R(A)就是 A中不等于零的子式的最高階數(shù)。由矩陣秩的定義可知，矩陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣的秩是相等的。定理：定理：若AB ，則R(A)= R(B)證：證：先證明：若A經(jīng)過一次行的初等變換變?yōu)锽，則 R(A) R(B) 設(shè) R(A) = r，且 A的某個(gè)r 階子式 Dr 0.(1) (2) (3) . . . . . .ijrkrrrrrrrrrilriljlDiBDDijBDDijDaBakaA B當(dāng)時(shí)，分三種情況來討論：不含第行，；既含第行，也含第行，這時(shí)，；只含第行，不含第行，這時(shí) ，在B中總能找到與Dr相對應(yīng)的子

10、式Br，由于Dr= Br或Dr= Br或Br= kDr，因此Br0，從而R(B)r。 ijirrr kA BA B當(dāng)或時(shí)0 0 R( )rrrrrrrrBDkDDBDDDiirrAB，若，則；若，則因中不含第行可知 中有不含第行的階非零子式，由(1)可知 以上證明了A經(jīng)過一次行初等變換變?yōu)?B時(shí)，有R(A)R(B).由于B也可經(jīng)過一次行初等變換變?yōu)锳，那么同樣有R(A)R(B).所以有 R(A)R(B). 經(jīng)一次行初等變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次行的初等變換矩陣的秩也不變。 設(shè) A 經(jīng)過列的初等變換變這 B，那么， AT經(jīng)過行的初等變換變?yōu)?BT，由上面的討論可知， R(AT)=R(BT)

11、又因?yàn)?，R(A) = R(AT) = R(BT) = R(B)所以，矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。上面的命題給出了求矩陣的秩的一種常用辦法。即就是對待求秩的矩陣進(jìn)行行的初等變換化為行階梯矩陣，那么非零行的行數(shù)就是矩陣的秩。12243414243432443233214162 1 8 3 71 032023 0 75036 35 32 5 8 0024 201 0 3 2 00 121 71 0 3 201 0 3 2 00 1 21 70 1 21 7 0 0 0 0 1400 0 0 0 16rrrrrrrrrrrrrrrrr解：0 0 0 10 0 0 0 0R( )3A2 1 8 3 7

12、23 0 75A32 5 8 01 0 3 2 01.AA設(shè) ，求矩陣 的秩，并求 的一個(gè)最高階的非例零子式。334512345125 ( )3 3 C C4 1040 , 40 (,) 2 17235(,) , ()332 01 00RRAAAAAa a a a a Ba a a B B B由于，可知 的最高階的非零子式為階，而的三階子式共有個(gè)要從個(gè)子式中找出一個(gè)非零子式是比較麻煩的，但考察的行梯矩陣，記：則由矩陣知，故中必有三階非零子式。 中的三階子式42 1 7 32 0140 1 0 0A只有 個(gè)顯然 ，所以該子式便是的最高階的一個(gè)非零子式。12 21124 802 2 42 3336

13、 064 ( | ) .(, )(, )( )( ).12 21 124 80 2 2 42 3 336 062.4rRR AbABAbBBA bAABA bABB設(shè)，求矩陣及矩陣的秩對 進(jìn)行行的初等變換變?yōu)樾须A梯矩陣則就是 的行階梯矩陣，故可從中同時(shí)解求出例、：21312122312 21 10 042 00 021 50 063 1rrrrr323423243223512 21 112 21 112 21 10 021 00 0 2 1 00 0 2 1 0 0 021 50 0 0 0 50 0 0 0 10 063 10 0 0 0 10 0 0 0 0 ( )2( )3rrrrrrr

14、rrRRAB因此，11 1 231 2( )25 33.6aRabbAA設(shè)，已知，求 、例的值.32213131355111211120344034408540 51 0( )2 50105,1rrrrrrrraaba bRabab AA解：由于，、T0( )min , (2) ()( )(3) ,( )( )(4) ()( )(5) max ( )( )(|)( )( )(6) ()( )( )(7) ()min ( )( )(8) ( )(m nn pRm nRRRRRRRRRRRRRRRRRRRAAAA BABPQPAQAABA BABABABABABAB0AB關(guān)于矩陣的秩，有如下(1)

15、 若則若 、 可逆，則，若，則性質(zhì)：)n定義：由單位矩陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。 三種初等變換所對應(yīng)的三個(gè)初等矩陣為1.1.1( , ).1.1.11100i jE1.1( ( )1.111.11( ( ) ( ( ).11. .11i kij kkoij kkkrEEE 設(shè)矩陣Amn，Em(i,j)，En(i,j)，Em(i(k)， En(i(k)，Em(ij(k)， En(ij(k)，則可以驗(yàn)證：( )( ( )( ( )ijiijrrm nm nmm nm nk rm nm nmm nm nrkrm nm nmm nm niji kij kABEABABEABABE

16、AB( )( ( )( ( )ijiijccm nm nm nnm nk cm nm nm nnm nckcm nm nm nnm niji kij kABAEBABAEBABAEB定理定理1.設(shè) A是一個(gè) mn 階矩陣，對 A 施行一次初等行變換，相當(dāng)于對 A 左乘以相應(yīng)的 m 階初等陣；對 A 施行一次初等列變換，相當(dāng)于對 A右乘以相應(yīng)的 n 階初等矩陣。111 1 ( , )( , ) ( ( )( ( ) ( ( )( ()i ji ji kikij kijkEEEEEE由于初等變換對應(yīng)初等矩陣，而初等變換是可逆的，所以初等矩陣也可逆，且此初等變換的逆變換也就對應(yīng)此初等矩陣的逆矩陣。1

17、1311232111221222122313231321112111121212222122231323313231 0(1) 0 1 00 0 11 0 0(2) 000 0( 1.1nnnnnnakaakaaakaaaaaaaaaa. aaa.akaa. akaka. kaaa. aaa. a例1112131113122122232123223132333133321 0 03)0 0 10 1 0bbbbbbbbbbbbbbbbbb初等變換初等變換初等矩陣初等矩陣初等逆變換初等逆變換初等逆矩陣初等逆矩陣12121212112. . . .2.nnnrrnnAPPPAPPPA EEAPPP

18、PPP EPPAAPPP設(shè) 為可逆矩陣，則存在有限個(gè)初等矩陣 ， ， ，使因，故 經(jīng)有限次初等變換可變?yōu)?，也就是存在有限初等個(gè) ， ，使即：定理證： mnmnA BPQPAQBA B階矩陣的充分必要條件是：存在階可逆矩陣 及階可逆矩陣 ，使證：因有相同的標(biāo)準(zhǔn)形，設(shè)推論.它們的標(biāo)12121211211211211111112,.,., . . .nmrrnkkmrrnkkmkkrrrE0P PP00Q QQE0PPP APP00E0QQQ BQQ00PPP APPQQQ BQQPQ QQ PP準(zhǔn)形為，則存在初等和初等矩陣使得所以令1111., . rrnmkP QPP QQPAQB則121111

19、121111111211120 . . . . mmmmmmAAPPPP PP P AEP PP P EAAEEAP P由定理 ，可得出一種求逆矩陣的方法：當(dāng)時(shí)，由有及上面的式子說明， 經(jīng)過一系列初等行變換可以化為 ，同時(shí)也可經(jīng)過同一系列初等行變換可以化為用分塊矩陣形式，上面兩式可合并為：11111211.( | )(|)2( | ) .mnnP PAEE AAEAEEA即把階矩陣進(jìn)行初等行變換，并把化為，則原來的就成為11 2 32 2 1 .3 4 31 2 3 1 0 01 231 0 0 (|)2 2 1 0 1 0 0252 1 03 4 3 0 0 10263 0 11 2310

20、01 0 0 1 32 0252 1 0 02 0 3 650 0111 10 0 1 1 111 0 013235 0 1 03222.AAA E設(shè)，求例解：113235 3220 0 1111111 A利用初等變換求逆矩陣的方法，還可用于求A1B.由 A1(A|B)=(E|A1B)可知，若對矩陣(A|B)施行初等行變換，當(dāng)把A變?yōu)镋時(shí)，B就變?yōu)锳1B.14 1213 2 2 1 2 23 1131 (|)4 12 131 01221 01222 2 1 2 2 2 2 122 0 2 3663 11 313 11 310 195.2XAXBABXA BA B求矩陣 ，使，其中，例3解：11

21、11TT1 01241 01241 0 0 100 0 01124 0 1 295 0 1 01530 1 2950 0 1 12 40 0 1 124 A BCAEAACCCACAAC用初等行變換的方法可求得，同理如果要求，則可對矩陣進(jìn)行初等列變換，使，即可得。不過通常都習(xí)慣作初等行變換，那么可改寫為對作初等行變 TTT111T1T T() ()ACEACCAAC換，使，即可得1231123123(1)0 0 1 0110 1 0 011 0 0 0110 0 0 111(.)4kcPPPPP PPP P設(shè)初等矩陣求例及1230 0 1 0110 1 0 01(1)1 0 0 0110 0

22、0:111kcPP P解1111123321110101 10110111()110 0 1 010 1 0 0 11 0 0 0110 0 0 1110 0 1 00 1 0 0 1 0 0 010 0 0 11kkkkccccPP PP P P1111kc1212(2):,10 00 0 11 2 32 1 00 1 02 3 400 11 0 03 4 5 APBPAPPB已知求其中10 01 2 30 0 12 1 02 3 40 1 000 13 4 51 0 01230 0 1321 0120 1 021 03451 0 0543: A解,12 2 2 . 20 1 1 . 1,0

23、 0 1 . 1. . .0 0 0 . 15.niji jnAAA已知 階方陣求 中所有元素的代數(shù)余子式之和例*11| 2,|22 2 2 . 2 1 0 0 . 00 1 1 . 1 0 1 0 . 0|0 0 1 . 1 0 0 1 . 0. . . . . .0 0 0 . 1 0 0 0 . 1:AAA AAA E解111 0 0 . 01 0.020 1 0 . 0 011 .0 . . . . . . .0 0 . 1 0 00.110 0 . 0 1 00.0111 0.02011 .0. . . .00.1100.01A,112(1)(1)12niji jnnA1002011

24、.6.00A將矩陣表示成初等矩陣乘積的形式例211211121122,.,.10010020100101 001 0:kSkrrAP PPPP PAEAP PPA因?yàn)榫仃?可逆 所以存在初等矩陣使得而解2332( 1)( 1)1 001 0 01 0 001 00 1 00 1 00 010 010 0 1rrrr 1111:11111112 1=111111112 11111111 A EA即11112 11111111 ( ) ( ) D D ( ) ( ) ( )1m nnnnRnRnnnRnRnRrAx0AAAAAA元齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩先證必要性假設(shè)，則 中

25、必有一個(gè)階非零子式，然而所對應(yīng)的個(gè)方程只有零解，這與方程組有非零解矛盾，因此不能成立，即：再證充定分性：當(dāng)理 .證： 1 nrnrA，即在的行階梯矩陣中只有個(gè)非零行，進(jìn)而知其有個(gè)自由未知量，任取一自由未知量為，其余未知量為零，即得方程組的非零解。 ( )(| ) ( )(| ) (| ) 01 (2 ( )m nnRRRRRRAxbAA bAA bA bA元非齊次線性方程組有解的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相等。即先證必要性：當(dāng)，則的行階梯矩陣中的最后一行非零行是一個(gè)矛盾的方程 ，這與方程組有解相矛盾，所以有定理證：. | )( )(| )() (| ) RRr rnrrA bAA bA

26、b再證充分性：當(dāng)，則的行梯矩陣中有 個(gè)非零行，把前個(gè)非零行的第一個(gè)非零元素所對應(yīng)的未知量作為非自由未知量，其余 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )() ,., ,., n rn rnrnrRRnRRr rnnrcccnrcccABAB個(gè)未知量作為自由未知量，并令個(gè)自由未知量全為零，即可得方程組的一個(gè)解。當(dāng)時(shí)，方程組沒有自由未知量，所以方程組只有唯一解；當(dāng)時(shí)，這時(shí)方程組有個(gè)自由未知量，令它們分別等于，可得含有個(gè)參數(shù)的解，這些參數(shù)可取任意的值，因 nr此這時(shí)方程組有無限多個(gè)解。并且這些含有個(gè)參數(shù)的解可表示方程組的任一解，因此這些解稱為方程組的通解。在解線性方程組時(shí)，對于齊次線性方程組，

27、只需要把的系數(shù)矩陣化為行最簡矩陣，便能寫出該方程組的通解；對于非齊次線性方程組，只需把它的增廣矩陣化為行梯矩陣，便能根據(jù)定理2判斷該方程組是否有解；在有解的前提下，再把增廣矩陣進(jìn)一步化為行最簡矩陣，便能寫出它的通解。123412341234 220 22204301 2 2 11 2211 22142 122 0364 0 1 23114303640 0 0 01 025 3 0 1 24 3001.00 xxxxxxxxxxxxAA求解齊次線性方程組對矩陣 進(jìn)行行的初等變換化為行最簡矩陣：例解：134234 3 1 4 211212212123431425203 4203 , 5523234

28、242 133001 xxxxxxxcxcxccxxxccccxxxcxc 即得同解方程組令，則有：12 ()cc， 為任意常數(shù)123412341234231 35322223 12 31 112 31 1 31 53 2 0 54 012 1 22 30 54 0112 31 1 0 54 01R(0 00022.xxxxxxxxxxxxBBA求解非齊次線性方程組對增廣矩陣施行初等行變換可得，例解：)2R( )3B故方程組無解。1 234123 1 | 0 7210 3. 3tttt ABABOABOBOAx0AA方陣， 為三階非零矩陣，且，求由且知齊次線性方程組有非零解，故方程組的的例系數(shù)

29、行列式，而設(shè)解：12341234134124-212 -23 23 -3511 2 1 111 2 1 111 2 1 121 1 2 30 13 0 10 13 01 01 1 20 13 0 131 0 3 50 2046.2x xxxx xxxxxxx xxBB求非齊次線性方程組的通解。對增廣矩陣 進(jìn)行初等行變換化為行最例解：簡矩陣：10 00 0 00 00 0 01 01 1 20 13 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 01341342323314211221123124( )( )2422 3113, 221113130010001RRxxxxxxxxxxxc xcxccxcccxccx AB因，所以行最簡矩陣對應(yīng)的方程為：，即令，即得：123123123(2)2212(5)4224(5)1,.a xxxxa xxxxa xaa 設(shè) 問 為何值時(shí) 此方程組有唯一解、無解或有無窮多解？并在有無窮多解時(shí)求例其通解523133112222( 1)2221( | )2542245