版二次函數(shù)壓軸題三

1、二次函數(shù)（三）2017.91. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y=ax2+bx+3a0 的頂點(diǎn)為D，且經(jīng)過點(diǎn) A-1,0 和點(diǎn) B3,0（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)（2）若點(diǎn) P 在直線 x=2 上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P 到直線 AD 的距離 d 等于點(diǎn) P 到 x 軸的距離時(shí)，求 d 的值（3）若直線 AC:y=-x+m 經(jīng)過點(diǎn) A，交 y 軸于點(diǎn) C探究：在 x 軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn) M，使得 SCDA=2SACM?若存在，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由2. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線 C：y=ax2+bx+c 與 x 軸相交于 A，B 兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左

2、側(cè)），頂點(diǎn)為 D0,4，AB=42，設(shè)點(diǎn) Fm,0 是 x 軸的正半軸上一點(diǎn)，將拋物線 C 繞點(diǎn) F 旋轉(zhuǎn) 180，得到新的拋物線 C（1）求拋物線 C 的函數(shù)表達(dá)式；（2）若拋物線 C 與拋物線 C 在 y 軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求 m 的取值范圍（3）若P 是第一象限內(nèi)拋物線 C 上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn) P 在拋物線 C 上的對(duì)應(yīng)點(diǎn) P，設(shè) M 是 C 上的動(dòng)點(diǎn)，N 是 C 上的動(dòng)點(diǎn)，試探究四邊形 PMPN 能否成為正方形?若能，求出 m 的值；若不能，請(qǐng)說明理由3. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y=33x2-233x-3 與 x 軸交于 A，B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn)

3、 B 的左側(cè)），與 y 軸交于點(diǎn) C，對(duì)稱軸與 x 軸交于點(diǎn) D，點(diǎn) E4,n 在拋物線上（1）求直線 AE 的解析式；（2）點(diǎn) P 為直線 CE 下方拋物線上的一點(diǎn)，連接 PC，PE當(dāng) PCE 的面積最大時(shí)，連接 CD，CB，點(diǎn) K 是線段 CB 的中點(diǎn)，點(diǎn) M 是 CP 上的一點(diǎn)，點(diǎn) N 是 CD 上的一點(diǎn)，求 KM+MN+NK 的最小值；（3）點(diǎn) G 是線段 CE 的中點(diǎn)，將拋物線 y=33x2-233x-3 沿 x 軸正方向平移得到新拋物線 y，y 經(jīng)過點(diǎn) D，y 的頂點(diǎn)為點(diǎn) F在新拋物線 y 的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn) Q，使得 FGQ 為等腰三角形?若存在，直接寫出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不

4、存在，請(qǐng)說明理由4. 已知拋物線 l1 經(jīng)過點(diǎn) E1,0 和 F5,0，并交 y 軸于 D0,-5；拋物線 l2:y=ax2-2a+2x+3a0，（1）試求拋物線 l1 的函數(shù)解析式；（2）求證：拋物線 l2 與 x 軸一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（3）若 a=1拋物線 l1，l2 頂點(diǎn)分別為  ，  ；當(dāng) x 的取值范圍是   時(shí)，拋物線 l1，l2 上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)同時(shí)隨橫坐標(biāo)增大而增大；已知直線 MN 分別與 x 軸，l1，l2 分別交于點(diǎn) Pm,0，M，N，且 MNy 軸，當(dāng) 1m5 時(shí)，求線段 MN 的最大值5. 已知拋物線 y=x2+2m+1x+mm-3（m

5、為常數(shù)，-1m4）A-m-1,y1，Bm2,y2，C-m,y3 是該拋物線上不同的三點(diǎn)，現(xiàn)將拋物線的對(duì)稱軸繞坐標(biāo)原點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 得到直線 a，過拋物線頂點(diǎn) P 作 PHa 于 H（1）用含 m 的代數(shù)式表示拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若無論 m 取何值，拋物線與直線 y=x-km（k 為常數(shù)）有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求 k 的值；（3）當(dāng) 1<PH6 時(shí)，試比較 y1，y2，y3 之間的大小6. 已知二次函數(shù) y=-x2+bx+c+1（1）當(dāng) b=1 時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程；（2）若 c=-14b2-2b，問：b 為何值時(shí)，二次函數(shù)的圖象與 x 軸相切；（3）若 c=0，二次

6、函數(shù)的圖象與 x 軸交于點(diǎn) Ax1,0，Bx2,0，且 x1<x2，與 y 軸的正半軸交于點(diǎn) M，以 AB 為直徑的半圓恰好經(jīng)過點(diǎn) M，二次函數(shù)的對(duì)稱軸 l 與 x 軸、直線 BM 、直線 AM 分別相交于點(diǎn) D，E，F(xiàn) 且滿足 DEEF=13，求二次函數(shù)的表達(dá)式7. 已知拋物線y=mx2+nx+p與y軸交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)A和B，且與y=x2+6x+5關(guān)于y軸對(duì)稱，（1）求出y=mx2+nx+p的解析式， （2）若C為AB的中點(diǎn)，求sinCMB（3）如果過點(diǎn)M的一條直線與y=mx2+nx+p圖象相交于另一點(diǎn)Na,b，ab，且a2-a+q=0，b2-b+q=0（q為常數(shù)），求點(diǎn)N的坐標(biāo)

7、8. 【閱讀材料】拋物線y= 14x2上任意一點(diǎn)到點(diǎn)（0，1）的距離與到直線y=-1的距離相等，你可以利用這一性質(zhì)解決問題【問題解決】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+1與y軸交于C點(diǎn)，與函數(shù)y= 14x2的圖象交于A，B兩點(diǎn)，分別過A，B兩點(diǎn)作直線y=1的垂線，交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（1）寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求證：ECF=90°；（2）在PEF中，M為EF中點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)求證：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；已知PE=PF=3，以EF為一條對(duì)角線作平行四邊形CEDF，若1PD2，試求CP的取值范圍9. 在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) y=12x2-2x+1 的圖象與一次函數(shù) y=kx

8、+bk0 的圖象交于 A，B 兩點(diǎn)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 0,1，點(diǎn) B 在第一象限內(nèi)，點(diǎn) C 是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn) M 是一次函數(shù) y=kx+bk0 的圖象與 x 軸的交點(diǎn)，過點(diǎn) B 作 x 軸的垂線，垂足為 N，且 SAMO:S四邊形AONB=1:48（1）直接寫出直線 AB 和直線 BC 的解析式；（2）點(diǎn) P 是線段 AB 上一點(diǎn)，點(diǎn) D 是線段 BC 上一點(diǎn)，PDx 軸，射線 PD 與拋物線交于點(diǎn) G，過點(diǎn) P 作 PEx 軸于點(diǎn) E，PFBC 于點(diǎn) F當(dāng) PF PE 最大時(shí)，在線段 AB 上找一點(diǎn) H（不與點(diǎn) A，點(diǎn) B 重合），使 GH+22BH 的值最小，求點(diǎn) H 的坐標(biāo)和 G

9、H+22BH 的最小值；（3）設(shè)直線 AB 上有一點(diǎn) K3,4，將二次函數(shù) y=12x2-2x+1 沿直線 BC 平移，平移的距離是 tt0，平移后拋物線上點(diǎn) A，點(diǎn) C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn) A，點(diǎn) C；當(dāng) ACK 是直角三角形時(shí)，求 t 的值10. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段 AB 的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A0,2，B-1,0，點(diǎn) C 為線段 AB 的中點(diǎn)，現(xiàn)將線段 BA 繞點(diǎn) B 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90 得到線段 BD，拋物線 y=ax2+bx+ca0 經(jīng)過點(diǎn) D（1）若該拋物線經(jīng)過原點(diǎn) O，且 a=-1求點(diǎn) D 的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；連接 CD，問：在拋物線上是

10、否存在點(diǎn) P，使得 POB 與 BCD 互余?若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由（2）若該拋物線 y=ax2+bx+ca<0 經(jīng)過點(diǎn) E-1,1，點(diǎn) Q 在拋物線上，且滿足 QOB 與 BCD 互余，若符合條件的 Q 點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 4 個(gè)，求 a 的取值范圍11. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 l 與拋物線 y=mx2+nx 相交于 A1,33，B4,0 兩點(diǎn)（1）求出拋物線的解析式；（2）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn) D，使得 ABD 是以線段 AB 為斜邊的直角三角形若存在，求出點(diǎn) D 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）點(diǎn) P 是線段 AB 上一動(dòng)

11、點(diǎn)（點(diǎn) P 不與點(diǎn) A，B 重合），過點(diǎn) P 作 PMOA 交第一象限內(nèi)的拋物線于點(diǎn) M，過點(diǎn) M 作 MCx 軸于點(diǎn) C，交 AB 于點(diǎn) N，若 BCN，PMN 的面積 SBCN，SPMN 滿足 SBCN=2SPMN，求 MNNC 的值，并求出此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)12. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線 y=x2+bx+c 的頂點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 -1,-4，且與 x 軸交于點(diǎn) A，點(diǎn) B（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左邊），與 y 軸交于點(diǎn) C（1）填空：b=  ，c=  ，直線 AC 的解析式為  ；（2）直線 x=t 與 x 軸相交于點(diǎn) H .當(dāng) t=-3 時(shí)得到直線

12、AN（如圖1），點(diǎn) D 為直線 AC 下方拋物線上一點(diǎn)，若 COD=MAN，求出此時(shí)點(diǎn) D 的坐標(biāo)；當(dāng) -3<t<-1 時(shí)（如圖2），直線 x=t 與線段 AC，AM 和拋物線分別相交于點(diǎn) E，F(xiàn)，P試證明線段 HE，EF，F(xiàn)P 總能組成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值為 35，求此時(shí) t 的值13. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y=-12x2+bx+c 與 x 軸交于點(diǎn) A，B，與 y 軸交于點(diǎn) C，直線 y=x+4 經(jīng)過 A，C 兩點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）在 AC 上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn) P當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到某位置時(shí)，以 AP，AO 為鄰邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)恰

13、好也在拋物線上，求出此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)；過點(diǎn) O，P 的直線 y=kx 交 AC 于點(diǎn) E，若 PE:OE=3:8，求 k 的值14. 已知拋物線y1=ax2+bx+ca0, ac過點(diǎn)A1,0，頂點(diǎn)為B，且不過第三象限（1）試判斷點(diǎn)B所在的象限，并說明理由；（2）若直線y2=2x+m過點(diǎn)B，且與拋物線交于另一點(diǎn)Cca,b+8，求：當(dāng)x1時(shí)，y1的取值范圍15. 在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y1=ax2+bx+ca0與x軸相交于點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），與y軸交于點(diǎn)C，且O，C兩點(diǎn)間的距離為3，x1x20，|x1|+|x2|=4，點(diǎn)A，C在直線y2=-3x+t上（1）求點(diǎn)C的

14、坐標(biāo)；（2）當(dāng)y1隨著x的增大而增大時(shí)，求自變量x的取值范圍；（3）將拋物線y1向左平移n(n>0)個(gè)單位，記平移后y隨著x的增大而增大的部分為P，直線y2向下平移n個(gè)單位，當(dāng)平移后的直線與P有公共點(diǎn)時(shí)，求2n2-5n的最小值16. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知A、B是拋物線y=ax2（a0）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，其中A在第二象限，B在第一象限，（1）如圖1所示，當(dāng)直線AB與x軸平行，AOB=90°，且AB=2時(shí)，求此拋物線的解析式和A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積（2）如圖2所示，在（1）所求得的拋物線上，當(dāng)直線AB與x軸不平行，AOB仍為90°時(shí)，A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積是否為常數(shù)

15、？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由（3）在（2）的條件下，若直線y=2x2分別交直線AB，y軸于點(diǎn)P、C，直線AB交y軸于點(diǎn)D，且BPC=OCP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)答案第一部分1. （1） 因?yàn)閽佄锞€ y=ax2+bx+3a0 經(jīng)過點(diǎn) A-1,0 和點(diǎn) B3,0，所以 a-b+3=09a+3b+3=0，解得：a=-1b=2，所以 y=-x2+2x+3=-x-12+4 所以 D1,4    （2） 如圖，設(shè) P2,yP，過 P 作 PMAD 于點(diǎn) M，設(shè)直線 AD 與直線 x=2 交于點(diǎn) G，則 PM=d=yP，直線 AD 的解析式為 y=2x+2，所以

16、 G2,6，所以 PG=6-yP，因?yàn)?sinAGP=ANAG=335，所以 PMPG=15，所以 PG=5yP=5d，若點(diǎn) P 在第一象限，則 PG=6-d，所以 5d=6-d，所以 d=35-32，若點(diǎn) P 在第四象限，則 PG=6+d，所以 5d=6+d，所以 d=35+32    （3） 因?yàn)橹本€ AC 過點(diǎn) A，所以可求得直線 AC:y=-x-1過點(diǎn) D 作 DEAC，交 y 軸于點(diǎn) E，如圖，可求得直線 DE:y=-x+5所以 E0,5，所以 EC 的中點(diǎn) F0,2所以過點(diǎn) F 平行于 AC 的直線為 y=-x+2所以 y=-x+2y=-x2

17、+2x+3 解得，x1=3-132y1=1+132 或 x2=3+132y2=1-132（舍去）所以 M3-132,1+1322. （1） 由題意拋物線的頂點(diǎn) D0,4，B22,0，設(shè)拋物線的解析式為 y=ax2+4，把 B22,0 代入可得 a=-12，所以拋物線 C 的函數(shù)表達(dá)式為 y=-12x2+4    （2） 由題意拋物線 C 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 2m,-4，設(shè)拋物線 C 的解析式為 y=12x-2m2-4，由 y=-12x2+4,y=12x-2m2-4, 消去 y 得到 x2-2mx+2m2-8=0，由題意，拋物線 C 與拋物線 C 在 y 軸的右

18、側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則有 2m2-42m2-8>0,2m>0,2m2-8>0, 解得 2<m<22，所以滿足條件的 m 的取值范圍為 2<m<22    （3） 結(jié)論：四邊形 PMPN 能成為正方形理由：情形 1，如圖 1，作 PEx 軸于 E，MHx 軸于 H由題意易知 P2,2，當(dāng) PFM 是等腰直角三角形時(shí)，四邊形 PMPN 是正方形，所以 PF=FM，PFM=90，易證 PFEFMH，可得 PE=FH=2，EF=HM=2-m，所以 Mm+2,m-2，因?yàn)辄c(diǎn) M 在 y=-12x2+4 上，所以 m-2=

19、-12m+22+4，解得 m=17-3 或 m=-17-3（舍去），所以 m=17-3 時(shí)，四邊形 PMPN 是正方形情形 2，如圖 2，四邊形 PMPN 是正方形，同法可得 Mm-2,2-m 把 Mm-2,2-m 代入 y=-12x2+4 中，2-m=-12m-22+4，解得 m=6 或 m=0（舍去），所以 m=6 時(shí)，四邊形 PMPN 是正方形所以 m=6 或 m=-3+17 時(shí)，四邊形 PMPN 是正方形3. （1） 當(dāng) y=0 時(shí)，即 33x2-233x-3=0，解這個(gè)方程，得 x1=-1，x2=3所以點(diǎn) A-1,0，B3,0當(dāng) x=4 時(shí)，n=33×42-233×

20、;4-3=533，所以點(diǎn) E4,533，所以直線 AE 的解析式為 y=33x+33    （2） 令 x=0，得 y=-3，所以點(diǎn) C0,-3，因?yàn)辄c(diǎn) E4,533，設(shè)直線 CE 的解析式為 y=mx+n，則有 n=-3,4m+n=533, 解得 m=233,n=-3, 所以直線 CE 的解析式為 y=233x-3過點(diǎn) P 作 PHy 軸，交 CE 于點(diǎn) H，如答圖 1設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 t,33t2-233t-3，則 Ht,233t-3，所以 PH=233t-3-33t2-233t-3=-33t2+433t. 所以 SPCE=12xE-xCPH=12

21、×4×-33t2+433t=-233t2+833t. 因?yàn)?-233<0，所以拋物線開口向下，因?yàn)?0<t<4，所以當(dāng) t=-8332×-233=2 時(shí)，SPCE 取得最大值此時(shí)，點(diǎn) P 為 2,-3因?yàn)辄c(diǎn) C0,-3，B3,0，所以 K32,-32因?yàn)?yC=yP=-3所以 PCx 軸，作點(diǎn) K 關(guān)于 CP 的對(duì)稱點(diǎn) K1，則 K132,-332因?yàn)?tanOCB=33=3，所以 OCB=60因?yàn)?D1,0，所以 tanOCD=13=33所以 OCD=30所以 OCD=DCB=30所以 CD 平分 OCB所以點(diǎn) K 關(guān)于 CD 的對(duì)稱點(diǎn) K2

22、在 y 軸上因?yàn)?CK=3-322+322=3=OC，所以點(diǎn) K2 與點(diǎn) O 重合連接 OK1，交 CD 于點(diǎn) N，交 CP 于點(diǎn) M，如答圖 2，所以 KM=K1M，KN=ON所以 KM+MN+NK=K1M+MN+ON根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得，當(dāng) K1，O，N，M 四點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí) KM+MN+NK 的值最小，所以 K1K2=OK1=322+-3322=3所以 KM+MN+NK 的最小值為 3    （3） 存在，點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 3,-43+2213，3,-43-2213，3,23，3,-2354. （1） 拋物線 l1 過 E，F(xiàn)， 可設(shè) l

23、1 的解析式為 y=ax-1x-5， 當(dāng) x=0，y=-5， -5=a-1×-5， a=-1， y=-x-1x-5=-x2+6x-5    （2） 在 y=ax2-2a+2x+3 中，令 y=0 可得 ax2-2a+2x+3=0， =-2a+22-4a×3=4a-122+3>0， 拋物線 l2 與 x 軸一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)    （3） 3,4；2,-1；2x3 聯(lián)立兩拋物線解析式可得 y=-x2+6x-5,y=x2-4x+3, 解得 x=1,y=0 或 x=4,y=3. l1，l2 的

24、兩交點(diǎn)坐標(biāo)為 1,0 和 4,3，且拋物線 l1 與 x 軸交于點(diǎn) 1,0 和 5,0， 直線 MN 分別與 x 軸，l1，l2 分別交于點(diǎn) Pm,0，M，N，且 MNy 軸， Mm,-m2+6m-5，Nm,m2-4m+3，當(dāng) 1m4 時(shí)，如圖 1，則 MN=-m2+6m-5-m2-4m+3=-2m2+10m-8=-2x-522+94, -2<0， 當(dāng) m=52 時(shí)，MN 有最大值 94當(dāng) 4<m5 時(shí)，如圖 2，則 MN=m2-4m+3-m2+6m-5=2m2-10m+8， MN=2m2-10m+8 有最小值，但在對(duì)稱軸右邊 MN 隨 x 增大而增大， 當(dāng) m=5 時(shí)，MN最大=

25、2×25-50+8=8，綜合可知當(dāng) 1m5 時(shí)，MN 最大值為 8【解析】當(dāng) a=1 時(shí)， 拋物線 l1 的解析式為 y=-x2+6x-5=-x-32+4，拋物線 l2 的解析式為 y=x2-4x+3=x-22-1， l1，l2 的頂點(diǎn)分別為 3,4，2,-1 -1<0，1>0， 拋物線 l1 開口向下，當(dāng) x3 時(shí)，y 隨 x 的增大而增大，拋物線 l2 開口向上，當(dāng) x2 時(shí)，y 隨 x 的增大而增大， 當(dāng) 2x3 時(shí)，拋物線 l1，l2 上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)同時(shí)隨橫坐標(biāo)增大而增大5. （1） -b2a=-2m+12,4ac-b24a=4mm-3-2m+124=-16m+1

26、4， 頂點(diǎn)坐標(biāo) -2m+12,-16m+14    （2） 由 y=x2+2m+1x+mm-3,y=x-km, 消去 y 得 x2+2mx+m2+km-3m=0， 拋物線與 x 軸有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)， =0，即 k-3m=0， 無論 m 取何值，方程總是成立， k-3=0， k=3    （3） PH=-2m+12-16m+14=12m-14， 1<PH6， 當(dāng) 12m-14>0 時(shí)，有 1<12m-146，又 -1m4， 512<m2512，當(dāng) 12m-14<0 時(shí)，1<-12

27、m-146，又 -1m4， -1m<-14， -1m<-14 或 512<m2512， A-m-1,y1 在拋物線上， y1=-m-12+2m+1-m-1+mm+3=-4m， C-m,y3 在拋物線上， y3=-m2+2m+1-m+mm-3=-4m， y1=y3，令 m2<-m-1，則有 m<-23，結(jié)合 -1m-14， -1m<-23，此時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè) y 隨 x 的增大而減小，如圖， y2>y1=y3，即當(dāng) -1m<-23 時(shí)，有 y2>y1=y3令 m2=-m-1，則 A 與 B 重合，此情形不合題意，舍棄令 m2>-m-1

28、，且 m2-2m+12 時(shí)，有 -23<m-13，結(jié)合 -1m<-14， -23<m-13，此時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y 隨 x 的增大而減小，如圖， y1=y3>y2，即當(dāng) -23<m-13 時(shí)，有 y1=y3>y2，令 -2m+12m2<-m，有 -13m<0，結(jié)合 -1m<-14， -13m<-14，此時(shí)，在對(duì)稱軸的右側(cè) y 隨 x 的增大而增大，如圖， y2<y3=y1令 m2=-m，B，C 重合，不合題意舍棄令 m2>-m，有 m>0，結(jié)合 512<m2512， 512<m2512，此時(shí)，在對(duì)稱軸的

29、右側(cè)，y 隨 x 的增大而增大，如圖， y2>y3=y1，即當(dāng) 512<m2512 時(shí)，有 y2>y3=y1，綜上所述，-1m<-23 或 512<m2512 時(shí)，有 y2>y1=y3；-23<m<-14 時(shí)，有 y2<y1=y36. （1） b=1 時(shí)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為 x=-12×-1=12，即二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為 x=12    （2） 與 x 軸相切就是與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)， -x2+bx-14b2-2b+1=0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即 =b2-4×-1×

30、;-14b2-2b+1=0， -8b+4=0， b=12    （3） y=-x2+bx+1， x1x2=-1，x1+x2=b，設(shè) Am,0m<0，則 B-1m,0，則 b=m2-1m，對(duì)稱軸為直線 x=b2=m2-12m， 直線 AM 經(jīng)過點(diǎn) Am,0，M0,1，設(shè)直線 AM 的函數(shù)表達(dá)式為 y=k1x+b1，則 mk1+b1=0,b1=1, 解得 k1=-1m,b1=1, yAM=-1mx+1， 直線 BM 經(jīng)過點(diǎn) B-1m,0，M0,1，設(shè)直線 BM 的函數(shù)表達(dá)式為 y=k2x+b2，則 -1m×k2+b2=0,b2=1, 解得 k

31、2=m,b2=1, yBM=mx+1， xE=m2-12m， yE=m2+12，DE=m2+12， xF=m2-12m， yF=m2+12m2，DF=m2+12m2， DEEF=13， DEDF=14 m2+12m2+12m2=14， m2=14， m=-12 或 m=12（不合題意，舍去）， b=m2-1m=32， y=-x2+32x+18. 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=k0+1=1，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1）根據(jù)題意可得：AC=AE，AEC=ACEAEEF，COEF，AECO，AEC=OCE，ACE=OCE同理可得：OCF=BCFACE+OCE+OCF+BCF=180°，2OCE+2

32、OCF=180°，OCE+OCF=90°，即ECF=90°；（2）過點(diǎn)P作PHEF于H，若點(diǎn)H在線段EF上，如圖2M為EF中點(diǎn)，EM=FM=EF根據(jù)勾股定理可得：PE2+PF22PM2=PH2+EH2+PH2+HF22PM2=2PH2+EH2+HF22（PH2+MH2）=EH2MH2+HF2MH2=（EH+MH）（EHMH）+（HF+MH）（HFMH）=EM（EH+MH）+MF（HFMH）=EM（EH+MH）+EM（HFMH）=EM（EH+MH+HFMH）=EMEF=2EM2，PE2+PF2=2（PM2+EM2）；若點(diǎn)H在線段EF的延長線（或反向延長線）上，如圖2

33、同理可得：PE2+PF2=2（PM2+EM2）綜上所述：當(dāng)點(diǎn)H在直線EF上時(shí)，都有PE2+PF2=2（PM2+EM2）；連接CD、PM，如圖3ECF=90°，CEDF是矩形，M是EF的中點(diǎn)，M是CD的中點(diǎn)，且MC=EM由中的結(jié)論可得：在PEF中，有PE2+PF2=2（PM2+EM2），在PCD中，有PC2+PD2=2（PM2+CM2）MC=EM，PC2+PD2=PE2+PF2PE=PF=3，PC2+PD2=181PD2，1PD24，118PC24，14PC217PC0，PC9. （1） 因?yàn)辄c(diǎn) C 是二次函數(shù) y=12x2-2x+1 圖象的頂點(diǎn)，所以 C2,-1，因?yàn)?AOx 軸，B

34、Nx 軸，所以 MAOMBN，因?yàn)?SAMO:S四邊形AONB=1:48，所以 SAMO:SBMN=1:49，所以 OA:BN=1:7，因?yàn)?OA=1，所以 BN=7，把 y=7 代入二次函數(shù)解析式 y=12x2-2x+1 中，可得 7=12x2-2x+1，所以 x1=-2（舍），x2=6 所以 B6,7，因?yàn)?A 的坐標(biāo)為 0,1，所以直線 AB 解析式為 y=x+1，因?yàn)?C2,-1，B6,7，所以直線 BC 解析式為 y=2x-5    （2） 如圖1，設(shè)點(diǎn) Px0,x0+1，所以 Dx0+62,x0+1，所以 PE=x0+1，PD=3-12x0，

35、因?yàn)?DPF 固定不變，所以 PF:PD 的值固定，所以 PE×PF 最大時(shí)，PE×PD 也最大， PE×PD=x0+13-12x0=-12x02+52x0+3，所以當(dāng) x0=52 時(shí)，PE×PD 最大，即：PE×PF 最大此時(shí) G5,72 因?yàn)?MNB 是等腰直角三角形，過 B 作 x 軸的平行線，所以 BH=B1H， GH+BH 的最小值轉(zhuǎn)化為求 GH+HB1 的最小值，所以當(dāng) GH 和 HB1 在一條直線上時(shí)，GH+HB1 的值最小，此時(shí) H5,6，最小值為 7-72=72    （3） 令直線 B

36、C 與 x 軸交于點(diǎn) I，所以 I52,0 所以 IN=72，IN:BN=1:2，所以沿直線 BC 平移時(shí)，橫坐標(biāo)平移 m 時(shí)，縱坐標(biāo)則平移 2m，平移后 Am,1+2m，C2+m,-1+2m，所以 AC2=8，AK2=5m2-18m+18，CK2=5m2-22m+26，當(dāng) AKC=90 時(shí)，AK2+KC2=AC2，解得 m=10±105，此時(shí) t=5m=25±2；當(dāng) KCA=90 時(shí)，KC2+AC2=AK2，解得 m=4，此時(shí) t=5m=45；當(dāng) KAC=90 時(shí)，AC2+AK2=KC2，解得 m=0，此時(shí) t=010. （1） 過點(diǎn) D 作 DFx 軸于點(diǎn) F，如圖所示

37、因?yàn)?DBF+ABO=90，BAO+ABO=90，所以 DBF=BAO，又 AOB=BFD=90，AB=BD，所以 AOBBFD .所以 DF=BO=1，BF=AO=2 .所以 D 點(diǎn)的坐標(biāo)是 -3,1 .根據(jù)題意得 a=-1，c=0 且 a×-32-3b+c=1，所以 b=-103 .所以該拋物線的解析式為 y=-x2-103x因?yàn)?C 、 D 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為 1，所以 CDx 軸.所以 ABO=BCD .所以 BAO 與 BCD 互余，若要使 POB 與 BCD 互余，則需滿足 POB=BAO，設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 x,-x2-103x （）當(dāng)點(diǎn) P 在 x 軸的上方時(shí)，過點(diǎn) P

38、 作 PGx 軸于點(diǎn) G .則 tanPOB=tanBAO，即 PGOG=BOAO，所以 -x2-103x-x=12 .解得 x1=0 （舍去），x2=-176 .所以 -x2-103x=1712 .所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 -176,1712 （）當(dāng)點(diǎn) P 在 x 軸的下方時(shí)，過點(diǎn) P 作 PHx 軸于點(diǎn) H .則同理可得 PHOH=BOAO：所以 -x2-103x-x=12，解得：x1=0 （舍去），x2=-236 所以 -x2-103x-x=-2312 所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 -236,-2312綜上所述：在拋物線上存在點(diǎn) P1-176,1712，P2-236,-2312，使得 POB 與 B

39、CD 互余      （2） a<-13【解析】由 D-3,1，E-1,1 在拋物線 y=ax2+bx+c=0 上， b=4a，c=1+3a . y=ax2+4ax+1+3a .拋物線 y=ax2+bx+c 開口向下，若滿足 QOB 與 BCD 互余且符合條件的 Q 點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 4 個(gè)，則點(diǎn) Q 在 x 軸的上、下方各有兩個(gè)，（i）當(dāng)點(diǎn) Q 在 x 軸的上方時(shí)，直線 OQ 與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件的 Q 有 2 個(gè)；根據(jù)（2）可知，要使得 QOB 與 BCD 互余，則必須 QOB=BAO， tanQOB=tanBAO=OBO

40、A=12，此時(shí)直線 OQ 的斜率為 -12，則直線 OQ 的解析式為 y=-12x，要使直線 OQ 與拋物線 y=ax2+bx+c 有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程 ax2+4ax+3a+1=-12x 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以 =4a+122-4a3a+1=4a2+14>0 .則此時(shí)直線 OQ 與拋物線始終有兩個(gè)交點(diǎn)（ii）當(dāng)點(diǎn) Q 在 x 軸的下方時(shí)，要使直線 OQ 與拋物線 y=ax2+bx+c 有兩個(gè)交點(diǎn)，拋物線 y=ax2+bx+c 與 x 軸的交點(diǎn)必須在 x 軸的正半軸上，與 y 軸的交點(diǎn)在 y 軸的負(fù)半軸，所以 3a+1<0，解得 a<-13 .11. （1） 因?yàn)辄c(diǎn) A1

41、,33，B4,0 在拋物線 y=mx2+nx 的圖象上，所以 m+n=33,16m+4n=0, m=-3,n=43. 所以拋物線的解析式為 y=-3x2+43x      （2） 存在三個(gè)點(diǎn)滿足題意，理由如下：當(dāng)點(diǎn) D 在 x 軸上時(shí)，過點(diǎn) A 作 ADx 軸于點(diǎn) D，因?yàn)辄c(diǎn) A1,33，所以點(diǎn) D 坐標(biāo)為 1,0；當(dāng)點(diǎn) D 在 y 軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn) D0,d，則： AD2=1+33-d2，BD2=42+d2， AB2=4-12+332=36，因?yàn)?ABD 是以 AB 為斜邊的直角三角形，所以 AD2+BD2=AB2，即 1+33-d2+

42、42+d2=36，解得：d=33±112，所以點(diǎn) D 坐標(biāo)為 0,33+112，或 0,33-112      （3） 過點(diǎn) P 作 PFCM 于點(diǎn) F，因?yàn)?PMOA，所以 RtADORtMFP，所以 MFPF=ADOD=33，所以 MF=33PF，在 RtABD 中，BD=3，AD=33，所以 tanABD=3，所以 ABD=60，設(shè) BC=a，則 CN=3a，在 RtPFN 中，PNF=BNC=30，因?yàn)?tanPNF=PFFN=33，所以 FN=3PF，所以 MN=MF+FN=43PF，因?yàn)?BCN，PMN 的面積滿

43、足 SBCN=2SPMN，所以 32a2=2×12×43PF2，所以 a=22PF，所以 MNNC=43PF3a=2因?yàn)?MC=MN+NC=6+3a，因?yàn)辄c(diǎn) M4-a,6+3a 在拋物線 y=-3x2+43x 上，所以 -34-a2+434-a=6+3a，所以 a=3-2 或 a=0（舍去），所以 OC=4-a=2+1，MC=26+3，所以點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 2+1,26+312. （1） 2 ； -3 ； y=-x-3【解析】因?yàn)閽佄锞€ y=x2+bx+c 的頂點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 -1,-4，所以 -b2=-1,4c-b24=-4, 解得：b=2,c=-3, 所以拋物線解析式

44、為：y=x2+2x-3 .令 y=0，得：x2+2x-3=0 .解得：x1=1，x2=-3 .所以 A-3,0，B1,0 .令 x=0，得 y=-3 .所以 C0,-3 .設(shè)直線 AC 的解析式為：y=kx+b .將 A-3,0，C0,-3 代入，得：-3k+b=0,b=-3. 解得：k=-1,b=-3. 所以直線 AC 的解析式為：y=-x-3 .      （2） 設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 m,m2+2m-3 .因?yàn)?COD=MAN，所以 tanCOD=tanMAN .所以 -m-m2+2m-3=24 .解得：m=±3 .因?yàn)?/p>

45、 -3<m<0，所以 m=-3 .故點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 -3,-23 .設(shè)直線 AM 的解析式為 y=mx+n .將點(diǎn) A-3,0，M-1,-4 代入，得：-3m+n=0,-m+n=-4. 解得：m=-2,n=-6. 所以直線 AM 的解析式為：y=-2x-6 .因?yàn)楫?dāng) x=t 時(shí)，HE=-t-3=t+3，HF=-2t-6=2t+6，P=-t2+2t-3，所以 HE=EF=HF-HE=t+3，F(xiàn)P=-t2-4t-3 .因?yàn)?HE+EF-FP=2t+3+t2+4t+3=t+32>0，所以 HE+EF>FP .又 HE+FP>EF，EF+FP>HE，所以當(dāng) -3&

46、lt;t<-1 時(shí)，線段 HE，EF，F(xiàn)P 總能組成等腰三角形；由題意得：12FPEF=35，即 12-t2-4t-3t+3=35，整理得：5t2+26t+33=0 .解得：t1=-3，t2=-115，因?yàn)?-3<t<-1，所以 t=-11513. （1） 直線 y=x+4 經(jīng)過 A,C 兩點(diǎn)， A 點(diǎn)坐標(biāo)是 -4,0，點(diǎn) C 坐標(biāo)是 0,4，又拋物線過 A,C 兩點(diǎn)， -12×-42-4b+c=0,c=4, 解得 b=-1,c=4. 拋物線的解析式為 y=-12x2-x+4      （2） 如圖1， y

47、=-12x2-x+4， 拋物線的對(duì)稱軸是直線 x=-1 以 AP，AO 為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn) Q 恰好也在拋物線上， PQAO，PQ=AO=4 P,Q 都在拋物線上， P,Q 關(guān)于直線 x=-1 對(duì)稱， P 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 -3， 當(dāng) x=-3 時(shí)，y=-12×-32-3+4=52， P 點(diǎn)的坐標(biāo)是 -3,52；過 P 點(diǎn)作 PFOC 交 AC 于點(diǎn) F， PFOC， PEFOEC， PEOE=PFOC又 PEOE=38，OC=4， PF=32設(shè)點(diǎn) Fx,x+4， -12x2-x+4-x+4=32，化簡(jiǎn)得 x2+4x+3=0，解得 x1=-1，x2=-3當(dāng) x=-1 時(shí)，y=

48、92；當(dāng) x=-3 時(shí)，y=52，即 P 點(diǎn)坐標(biāo)是 -1,92 或 -3,52又點(diǎn) P 在直線 y=kx 上， k=-92 或 k=-5614. （1）第四象限證明：拋物線不經(jīng)過第三象限 a>0，即開口向上又拋物線與x軸有一交點(diǎn)A，且拋物線不經(jīng)過第三象限 頂點(diǎn)一定在第四象限（2）Cca,b+8在拋物線上，則：b+8=0，故b=-8；a+c=8把B、C兩點(diǎn)代入直線解析式中，得：c=6，a=2畫圖易知，C在A的右側(cè)所以，x1時(shí)，y14ac-b24a=-215. 分析：（1）利用y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)表示出C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用O，C兩點(diǎn)間的距離為3求出即可；（2）分別利用若C（0，3），即c=3，以及若C（0，3），即c=3，得出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式，進(jìn)而得出答案；（3）利用若c=3，則y1=x22x+3=（x+1）2+4，y2=3x+3，得出y1向左平移n個(gè)單位后，則解析式為：y3=（x+1+n）2+4，進(jìn)而求出平移后的直線與P有公共點(diǎn)時(shí)得出n的取值范圍，若c=3，則y1=x22x3=（x1）24，y2=3x3，y