矩陣及其運算

1、 22矩陣的運算矩陣的運算23逆矩陣逆矩陣21 矩陣矩陣2第二章第二章 行列式行列式24矩陣的分塊法矩陣的分塊法25矩陣的初等變換和初等矩陣矩陣的初等變換和初等矩陣26矩陣的秩矩陣的秩 二、矩陣的簡單應用二、矩陣的簡單應用三、小結(jié)、思考題三、小結(jié)、思考題一、矩陣一、矩陣3第二章第二章 矩陣及其運算矩陣及其運算4第二章第二章 行列式行列式一、矩陣的定義一、矩陣的定義ija定義定義1 由由mn個數(shù)個數(shù)(i=1,2, ,m;j=1,2, ,n) 排成的排成的m行行n列的數(shù)表列的數(shù)表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211(2-1)稱為稱為m行行n列矩陣列矩陣,簡稱簡稱mn矩陣矩陣,這這

2、mn個數(shù)個數(shù)5第二章第二章 矩陣及其計算矩陣及其計算成為矩陣的元素成為矩陣的元素,簡稱為元簡稱為元.表示矩陣的第表示矩陣的第i行行第第j列元素，列元素，稱為矩陣的稱為矩陣的(i,j)元。元。元素是實數(shù)的矩陣元素是實數(shù)的矩陣表示式（表示式（2-12-1）可以簡記為）可以簡記為當當m=n時時,稱稱A為為n階矩陣或階矩陣或n階方陣，記作階方陣，記作nA稱為實矩陣；稱為實矩陣；)(ijaAnmA 或 或 nmijaAija元素是復數(shù)的矩陣稱為復矩陣元素是復數(shù)的矩陣稱為復矩陣.通常用大寫字通常用大寫字A，B，C，表示矩陣。表示矩陣。6第二章第二章 矩陣及其計算矩陣及其計算 只有一行的矩陣只有一行的矩陣

3、稱為行矩陣稱為行矩陣, ,又稱行向量。又稱行向量。 稱為列矩陣又稱列向量稱為列矩陣又稱列向量 只有一列的矩陣只有一列的矩陣 ),(21naaaAnbbbB21幾個特殊矩陣幾個特殊矩陣:7第二章第二章 矩陣及其計算矩陣及其計算 如果兩個矩陣如果兩個矩陣A A與與B B的行數(shù)和列數(shù)分別相等，則的行數(shù)和列數(shù)分別相等，則那么就稱矩陣那么就稱矩陣A A與與B B相等相等, ,記作記作A=BA=Bmi,2 , 1(ijijba ；), 2 , 1nj nmijaA與與 nmijbB 對于兩個同型矩陣對于兩個同型矩陣稱稱A A與與B B是同型矩陣。是同型矩陣。如果它們的對應元素相等，即如果它們的對應元素相等

4、，即8第二章第二章 矩陣及其計算矩陣及其計算 主對角線下方的元素全是零的方陣稱為上三主對角線下方的元素全是零的方陣稱為上三 n階方陣階方陣A主對角線主對角線(從左上角到右下角那條線從左上角到右下角那條線) 所有元素都是零的矩陣成為零矩陣所有元素都是零的矩陣成為零矩陣,記作記作 nmO或或O. 注意注意:不同型的零矩陣是不同的不同型的零矩陣是不同的. 上的元素上的元素nnaaa,2211,叫做叫做A的主對角線的主對角線元素元素.角形矩陣角形矩陣. .如如9第一章第一章 行列式行列式 6000130021400172100200342都是上三角形矩陣都是上三角形矩陣. 主對角線上方元素都是零的方陣

5、稱為下三角主對角線上方元素都是零的方陣稱為下三角形矩陣形矩陣.如如10103100210第一章第一章 行列式行列式 簡稱對角陣簡稱對角陣.如如 非主對角線元素全部是零的方陣稱為對角矩陣非主對角線元素全部是零的方陣稱為對角矩陣n00000021對角矩陣也記作對角矩陣也記作 ndiag,2111第一章第一章 行列式行列式 矩陣矩陣.如如 稱主對角線元素都相等的對角矩陣為標量稱主對角線元素都相等的對角矩陣為標量aaa000000都是標量矩陣都是標量矩陣. 200020002 何謂單位矩陣何謂單位矩陣?12第一章第一章 行列式行列式 其主對角線上的元素都是其主對角線上的元素都是1,其他元素都是其他元素

6、都是0.如如稱為稱為n階單位矩陣階單位矩陣,簡稱單位陣簡稱單位陣.這種方陣的特點是這種方陣的特點是100010001nE 10012E把單位矩陣簡記為把單位矩陣簡記為E.1000100013E n階矩陣階矩陣13第一章第一章 行列式行列式二、矩陣的簡單應用二、矩陣的簡單應用 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay 矩陣有著廣泛的應用矩陣有著廣泛的應用. .例如例如例如例如之之個變量個變量與與個變量個變量mnyyymxxxn,2121間的關系式間的關系式 (2-2)(2-2)的的到變量到變量表示一個從變量表示一個從變量mnyyy

7、xxx,2121線性變換線性變換.為常數(shù)為常數(shù)其中其中ija14第一章第一章 行列式行列式 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣15第一章第一章 行列式行列式 反之反之,給定一個矩陣就可得出一個以它為系數(shù)給定一個矩陣就可得出一個以它為系數(shù)矩陣的線性變換矩陣的線性變換線性變換與矩陣之間存在著一一對應關系線性變換與矩陣之間存在著一一對應關系. .若線性變換為若線性變換為 nnxyxyxy,2211稱之為稱之為恒等變換恒等變換. . nnxyxyxy,221

8、1對應對應 100010001 單位陣單位陣. .16第一章第一章 行列式行列式例如例如, ,矩陣矩陣0001所對應的線性變所對應的線性變換換011yxx可看作是可看作是XOY平面上把向量平面上把向量 變?yōu)橄蛄孔優(yōu)橄蛄康淖儞Q的變換(或看作把點或看作把點 變?yōu)樽優(yōu)榈淖儞Q的變換,由于向量由于向量是向量是向量在在x軸上的投影向量軸上的投影向量(即點即點是點是點 在在x軸上的投影軸上的投影),因此這是一個投影變量因此這是一個投影變量.1PP1PP17第一章第一章 行列式行列式 cossinsincos又如又如,矩陣矩陣 對應著線性變換對應著線性變換 .cossin,sincos11yxyyxx把把xo

9、y平面上的向量平面上的向量 變?yōu)橄蛄孔優(yōu)橄蛄吭O設 的長度為的長度為r,輻角為輻角為, ,即設即設cosrx sin,ry ).sin()sincoscos(sin),cos()sinsincos(cos11rryrrx ,那么那么18第一章第一章 行列式行列式XYO yxP, 111, yxP表明表明 的長度也為的長度也為 而輻角為而輻角為r.這是把向量這是把向量 ( (依逆時針方向依逆時針方向) )旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 角角( (即把點即把點P P以原點為中心逆時針旋轉(zhuǎn)以原點為中心逆時針旋轉(zhuǎn) 角角) )的的旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換19第一章第一章 行列式行列式三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題(1)(1)矩陣的概念矩陣的概念列的一個數(shù)表列的一個數(shù)表行行nm mnmmnnaaaaaaaaaA11222211121120第一章第一章 行列式行列式(2) 特殊矩陣特殊矩陣 方陣方陣 ;nm 行矩陣與列矩陣行矩陣與列矩陣;單位矩陣單位矩陣; ;零矩陣零矩陣.100010001 ,21nbbbB ,21naaaA n 0000002121第一章第一章 行列式行列式思考題思考題 矩陣和行列