理學(xué)高數(shù)定積分習(xí)題詳細(xì)解答

1、習(xí) 題 5.11. 如何表述定積分的幾何意義？根據(jù)定積分的幾何意義推出下列積分的值：（1）, （2）,（3）,（4）.解：若在幾何上表示由曲線，直線及軸所圍成平面圖形的面積. 若時(shí)，在幾何上表示由曲線，直線及軸所圍平面圖形面積的負(fù)值.（1）由下圖（1）所示，. 2A(2) -1 -1 1 1 1A1A (1) 1 -1 3A4A5A2 (3) 11(4)（2）由上圖（2）所示，.（3）由上圖（3）所示，.（4）由上圖（4）所示，.2. 設(shè)物體以速度作直線運(yùn)動，用定積分表示時(shí)間從0到5該物體移動的路程S.解：3. 用定積分的定義計(jì)算定積分,其中為一定常數(shù).解：任取分點(diǎn),把分成個(gè)小區(qū)間，小區(qū)間長度

2、記為=-,在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)作乘積的和式：,記, 則.4. 利用定積分定義計(jì)算.解：連續(xù)函數(shù)，故可積，因此為方便計(jì)算，我們可以對等分，分點(diǎn)取相應(yīng)小區(qū)間的右端點(diǎn)，故= = =當(dāng)（即），由定積分的定義得： =5. 利用定積分的估值公式，估計(jì)定積分的值.解：先求在上的最值，由, 得或.比較 的大小，知，由定積分的估值公式，得,即 .6. 利用定積分的性質(zhì)說明與，哪個(gè)積分值較大？解：在區(qū)間內(nèi)：,由比較定理： 7. 證明：.證明：考慮上的函數(shù)，則，令得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.在處取最大值，且在處取最小值. 故，即.8. 求函數(shù)在閉區(qū)間-1，1上的平均值.解：平均值9. 設(shè)在0，1上連續(xù)且單調(diào)遞減，試證對任何

3、有.證明：=其中 ,又單調(diào)減，則，故原式得證.習(xí) 題 5-21設(shè)，求. 解：，2設(shè)，求.3. 計(jì)算下列各導(dǎo)數(shù). （1）； （2）； （3） 解 （1） （2） （3）4. 計(jì)算下列各定積分：（1）， （2）， （3）, （4）,（5）,（6）, （7）,（8）, （9）, （10）（11）, （12）,(13). 解：（1）=.（2）=.（3）.（4）=.（5）.（6）.（7）=.(8) =.(9) =.（10）=. （11）.（12）=+=2+2=4.(13) =.5. 求下列極限（1） ,（2）.解：（1）此極限是“”型未定型，由洛必達(dá)法則，得=（2）.6. 求函數(shù)極值點(diǎn).解：當(dāng)令，得駐點(diǎn)

4、，和，在，在單調(diào)遞減；在，在單調(diào)遞減；在，在單調(diào)遞減；所以 為極小值點(diǎn)，為極大值點(diǎn).為極小值點(diǎn)，7. 設(shè)，求.解：.8. 設(shè)，求，并討論在上的連續(xù)性.解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故,顯然，在和上連續(xù)，在處，又，故在也連續(xù)，從而在上連續(xù).9. 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，求.解：令，則，從而，即，.10.解：原式.11求.解：原式.12求由所決定的隱函數(shù)對的導(dǎo)數(shù).解：將兩邊對求導(dǎo)得.13. 設(shè)為連續(xù)可微函數(shù)，試求并用此結(jié)果求解 故 .14. 設(shè)在內(nèi)連續(xù)且，證明函數(shù)在內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù).證 因?yàn)?，=,所以因?yàn)?且當(dāng)時(shí),得,因此，即，所以在內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù).15. 證明積分中值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在開區(qū)間內(nèi)至少

5、存在一點(diǎn)，使. 證：因連續(xù)，故它的原函數(shù)存在，設(shè)為，根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式，有,顯然，函數(shù)在區(qū)間滿足微分中值定理的條件，按照微分中值定理，在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得故習(xí) 題 5-31. 下面的計(jì)算是否正確，請對所給積分寫出正確結(jié)果：（1）=.（2）=2=2.答：（1）不正確，應(yīng)該為：=（2）不正確，應(yīng)該為 =2.2. 計(jì)算下列定積分:(1)； (2)； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）； （8）； （9）；(10)；(11) ；（12）. 解：（1）令=,則,當(dāng)= 0 時(shí)，= 0；當(dāng)= 4 時(shí)，于是=（2）=.(3).(4).(5)令，時(shí)；時(shí)，.于是.(6) 令，則，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

6、.原式.(7) 令，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.原式(8) 因?yàn)?從而 =.(9) 原式.(10) 原式.(11) 原式.（12）設(shè)，于是=.3. 計(jì)算下列定積分：（1）； （2）； （3）； （4）； (5)； (6)；(7)；(8)； （9）； （10）.解：（1）=.(2) = =1 .(3)=移項(xiàng)合并得.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.而, 故 ,（10）.4. 利用函數(shù)的奇偶性計(jì)算下列積分：（1）; (2) ；(3); （4）.解：(1) =.(2) 原式.(3) 為奇函數(shù), .（4） 利用定積分的線性性質(zhì)可得,原式,而前兩個(gè)積分的被積函數(shù)都是奇數(shù)，故這兩個(gè)定積分值均為0， 原

7、式,5. 如果，且求,解：由已知條件得 ，即， 即得.6. 證明：. 證明：令 ，則，,7.若在區(qū)間上連續(xù),證明(1)=;(2)= ,由此計(jì)算 .證明：（1）設(shè).且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)故 .（2）設(shè)，= 利用此公式可得：= = =.8. 設(shè)在上連續(xù)，證明 .證明 .令，則 故.9. 設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：.證明 .令，則(以為周期) 故.10. 設(shè)在上連續(xù)，證明：證明 利用分部積分法，=11. 計(jì)算. 解 令 則 而 所以 .習(xí) 題 5-41. 下列解法是否正確？為什么？.答：不正確.因?yàn)樵?，上存在無窮間斷點(diǎn)，不能直接應(yīng)用公式計(jì)算，事實(shí)上，+,而不存在,故發(fā)散.3. 下列廣義積分是否收斂？若收斂

8、，則求出其值.（1） ； （2） ； （3） ； （4）（5）； （6）；（7）； （8）解：（1）=,發(fā)散.（2）=.（3）.（4）=.（5）.（6）. （7）.（8）令，則，于是從而.3.下列廣義積分是否收斂？若收斂，則求出其值.（1）; （2） ;（3）; （4）（收斂的廣義積分）.解：（1） =+.=.(2) 令，于是，.(3).(4) 令，則.4.證明廣義積分當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散.證明：當(dāng)，發(fā)散；當(dāng)=.5.已知，求常數(shù).解：左端右端,解之或.習(xí) 題 5-51、求由下列曲線圍成的平面圖形的面積：（1）及直線；解：如圖，解方程組，得交點(diǎn)，所求面積為.（2）與（兩部分均應(yīng)計(jì)算）；解：如圖，解

9、方程組，得交點(diǎn)、，所求上半部分面積為.所求下半部分面積為.（3）與直線；解：如圖，解方程組，得交點(diǎn)，所求面積為.（4）軸與直線.解：選為積分變量，如圖，所求面積為2.求二曲線與所圍公共部分的面積解： 當(dāng)?shù)扔?和時(shí)，兩曲線相交，所圍公共部分的面積為.3、求由所圍成的圖形，繞軸及軸旋轉(zhuǎn)所得的兩個(gè)不同的旋轉(zhuǎn)體的體積.解：如圖，繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為.4 求由曲線和所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)后所得旋轉(zhuǎn)體體積.解 .5 求由曲線所圍圖形繞旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積.解 立體為由曲線，所圍成圖形繞旋轉(zhuǎn)所得的立體減去由曲線，所圍成圖形繞旋轉(zhuǎn)所得立體，因此體積為,由定積分的幾何意義可知

10、 所以 .6. 試求由曲線所圍成的圖形分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積. 解 繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的體積設(shè)為,繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的體積設(shè)為 則 ,. 7 過點(diǎn)拋物線的切線，該切線與上述拋物線及圍成一平面圖形，求此圖形繞旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積. 解： 設(shè)所求切線與拋物線相切于點(diǎn)，則所求切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，由解得 ，從而得切線方程為，由此可得旋轉(zhuǎn)體的體積為.8、有一立體，以長半軸、短半軸的橢圓為底，而垂直于長軸的截面都是等邊三角形，求該立體的體積.解：解：取坐標(biāo)系如圖，底面橢圓方程為x垂直于軸的截面為等邊三角形，對應(yīng)于的截面的面積為于是所求立體體積為9、計(jì)算曲線相對應(yīng)于到的一段曲線弧長.解：由弧長的公式得:.

11、10、計(jì)算相應(yīng)于自到的一段弧長.解：由弧長的極坐標(biāo)公式得:.11. 求星形線的全長.解 由星形線的對稱性知其弧長 .12在軸上作直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，在任意點(diǎn)處所受的力為，試求質(zhì)點(diǎn)從運(yùn)動到處所做的功解 ，13、設(shè)把一金屬桿的長度由拉長到時(shí)，所需的力等于，其中為常數(shù)，試求將該金屬桿由長度拉長到所作的功.解：由于金屬桿拉長所需的力與拉長的長度成正比，且，其中為常數(shù).選擇金屬桿拉長的長度為積分變量，其取值范圍為，對于任意，在拉長的長度區(qū)間上，功元素為，于是. 14.一個(gè)底半徑為，高為的圓柱形水桶裝滿了水，要把桶內(nèi)的水全部吸出，需要做多少功（水的密度為）？解：建立如圖坐標(biāo)系.取為積分變量, 任取子區(qū)間，相應(yīng)

12、一薄層水被抽到桶外需做的功近似為 ,于是，把桶內(nèi)的水全部吸出，需做功.15、一矩形閘門垂直立于水中，寬為，高為，問閘門上邊界在水面下多少米時(shí)？它所受的壓力等于上邊界與水面相齊時(shí)所受壓力的兩倍.解：設(shè)所求高度為，建立如圖坐標(biāo)系，任取小區(qū)間，小區(qū)間上壓力元素為于是，由題意得：， 得，從而.習(xí)題5-6略本章復(fù)習(xí)題A1.填空題 （1） .（2）由定積分的幾何意義知：.（3） .（4） 令.（5）.（6 ）.2.選擇題 （1）1. 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，是的（ ）.(A) 等價(jià)無窮小 (B) 同階但非等價(jià)的無窮小 (C) 高階無窮小 (D) 低階無窮小解 因?yàn)?, 故選 B. （2）設(shè)，則有（ ）.(A) N&l

13、t;P<M (B) M<P<N (C) N<M<P (D)P<M<N解 因?yàn)?, 故選 D.（3）下列式子中，正確的是（）.(A) (B) (C) (D) 解, ,，故選B.（4）下列廣義積分收斂的是（ ）.(A) （B）(C) (D) 解， 發(fā)散， ,選D.(5) 設(shè), 則極限等于 ( ).(A). (B). (C). (D). 解 因?yàn)? 故選 B.3求證下列各式： （1）；（2） 證明：（1）設(shè)，先求在上的最大、最小值.由得內(nèi)駐點(diǎn)， 由知在上積分得.（2）.4計(jì)算下列積分： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）; (7);(8);(9

14、);(10).5、解：（1）.（2）.（3） .（4） =.（5）I=,故I. （6） .(7).（8）. （9）令，（10）.6求連續(xù)函數(shù)，使它滿足. 解 ， 則故 上式兩端同時(shí)對求導(dǎo)，得即 所以 又 得，故.7若解：令，則，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，從而.8設(shè)，求. 8 解 令,.9設(shè)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)與是等價(jià)無窮小，其中具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù).試求.解 所以 .10 確定的值，使. 解 因?yàn)?,所以 ，故,故 ，所以 , 故.11設(shè)在上連續(xù)，為偶函數(shù)，且滿足條件. (1) 證明：, (2) 計(jì)算.（1）證明： 在第一個(gè)積分 中，令，故所以 即 . （2） 有（1）有設(shè) , 則,所以 (常數(shù)) 令 得 ， 故,.

15、12設(shè)在上連續(xù)，證明中至少存在一點(diǎn)，使. 證明： 設(shè) ，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，并且, 由Roll定理可知在中至少存在一點(diǎn)，使得，即.13 設(shè)過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線曲線的切線，該切線與曲線及軸圍成平面圖形D， （1） 求該平面圖形D的面積, （2）求該平面圖形D分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積和.解 如圖（1） 設(shè)切點(diǎn)為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為,由于該切線過原點(diǎn)知，從而，所以切線方程為，從而D的面積,（2）本章復(fù)習(xí)題B1.選擇題.（1）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，是的（ ）.（A）低階無窮小. （B）高階無窮小. （C） 等價(jià)無窮小. （D）同階但不等價(jià)無窮小.解, 選 B.（2） 設(shè)，則（ ）.（A）在點(diǎn)不連

16、續(xù). （B）在內(nèi)連續(xù)，在點(diǎn)不可導(dǎo). （C）在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足. （D）在內(nèi)可導(dǎo)，但不一定滿足.解因?yàn)檫x B（3） 利用定積分的有關(guān)性質(zhì)可以得出定積分（ ）（A）.（B）.（C）.（D）.解,選C .（4）已知函數(shù)，則（ ）（A） .（B）.（C）.（D）.解, 選B.（5）設(shè)，且，則（ ）（A）（B）（C） （D）解 因?yàn)?所以 又, 選 C .（6）下列廣義積分發(fā)散的是（ ）（A）. （B）. （C）. （D）.選 利用廣義積分的定義可知選A.（7）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則在下列變上限定積分定義的函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是（ ）（A）. （B）. （C）. （D） .解 設(shè) ,上式中,，故選 A.（8） 設(shè)

17、, 則（ ） （A）（B）（C）（D）選 D.（9）等于（ ）（A）. （B）. （C）. （D） 解， 故選 B.（10）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則方程在（ ）（A）0個(gè). （B）1個(gè). （C）2個(gè). （D）無窮多個(gè).解 設(shè) ，則，所以單調(diào)增加，又 ，所以在開區(qū)間內(nèi)的根有一個(gè)，且唯一,故選 B.（11）設(shè)，其中 ，則在區(qū)間內(nèi)（ ）（A）無界. （B）遞減. （C）不連續(xù). （D） 連續(xù). 提示：故選D.2.填空題（1）.解：.（2）.解 .（3）設(shè)是方程所確定的的函數(shù)，則.解：方程兩邊求導(dǎo)得，故.（4）設(shè)是連續(xù)函數(shù)，則.解 ，故.（5）已知則. 解.（6）設(shè)，則常數(shù). 解 ，.得，所以2.

18、（7）.解 .（8）. 解 定積分的幾何意義可知.（9）設(shè)，則. 解 令，方程兩邊積分，得,即 ，由此得.（10）設(shè)，則.解 令,則（11）已知連續(xù)，. 解 在等式左端中令，則所以有 在上式兩端對求導(dǎo)，有，所以 .3.計(jì)算題.（1）利用定積分的性質(zhì)求極限.解：令，有，得（2）計(jì)算積分.解：原式=.（3）.解=.4.證明：.解 在積分區(qū)間 ，故故 .5.設(shè)連續(xù)，,且(為常數(shù)). 求，并討論 在處的連續(xù)性.解 令，則 ，所以 由 ，得，并有，且，而 故有 ，所以 在處的連續(xù).6.設(shè)是由拋物線和直線及所圍成的平面區(qū)域；是由拋物線和直線及所圍成的平面區(qū)域，其中.（1）試求繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積；繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積；（2）問當(dāng)為何值