畢業(yè)論文正文(常微分方程積分因子法的求解)

1、摘 要微分方程是表達(dá)自然規(guī)律的一種自然的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。它從生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)技術(shù)中產(chǎn)生，而又成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的一個(gè)強(qiáng)有力的工具。人們?cè)谔角笪镔|(zhì)世界某些規(guī)律的過(guò)程中，一般很難完全依靠實(shí)驗(yàn)觀測(cè)認(rèn)識(shí)到該規(guī)律，反而是依照某種規(guī)律存在的聯(lián)系常常容易被我們捕捉到，而這種規(guī)律用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，其結(jié)果往往形成一個(gè)微分方程，而一旦求出方程的解，其規(guī)律則一目了然。所以我們必須能夠求出它的解。同時(shí)，對(duì)于恰當(dāng)微分方程我們有一個(gè)通用的求解公式。但是，就如大家都知道的那樣，并不是所有的微分形式的一階方程都是恰當(dāng)微分方程。對(duì)于這類(lèi)不是恰當(dāng)微分方程的一階常微分方程該如何求出它的解呢，這就需要用到這里我們討論的積

2、分因子了。關(guān)鍵詞：微分方程；積分因子；恰當(dāng)微分方程；一階微分； AbstractDifferential expression of natural law is a natural mathematical language. It from the production practice and science and technology generation, but modern science and technology in analyzing and solving problems in a powerful tool.Some people in the law to e

3、xplore the process of the material world, the general experimental observation is difficult to completely rely on recognizing that the law, but there is a link in accordance with certain laws are often easy to catch us, and such laws expressed in mathematical language, which often results in the for

4、mation of a differential equation, and once obtained equation, the law is clearSo we must be able to find its solution.Meanwhile, for the appropriate differential equation we have a general formula to solve. However, as we all know, not all forms of first-order differential equations are appropriate

5、 differential equation.For these are not appropriate differential equation differential equation, how it obtained its solution, which we are discussing here need to use the integrating factorKeywords:Differential equation; integral factor; appropriate differential equation; first-order differential目

6、 錄第1章 緒論11.1 常微分方程11.2 恰當(dāng)微分方程1第2章 積分因子的存在性22.1 各種形式積分因子存在的充要條件22.2 幾種常見(jiàn)類(lèi)型的微分方程的積分因子5第3章 積分因子求法的推廣73.1 滿(mǎn)足條件的積分因子求法73.2 方程積分因子93.3 方程積分因子113.4 方程積分因子12參考文獻(xiàn)15致謝16第1章 緒論1.1 常微分方程數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史告訴我們,300年來(lái)數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)的首要分支，而微分方程又是數(shù)學(xué)分析的心臟，它還是高等分析里大部分思想和理論的根源。人所共知，常微分方程從它產(chǎn)生的那天起, 就是研究自然界變化規(guī)律、研究人類(lèi)社會(huì)結(jié)構(gòu)、生態(tài)結(jié)構(gòu)和工程技術(shù)問(wèn)題的強(qiáng)有力工具。它的

7、發(fā)展歷史也是跟整個(gè)科學(xué)發(fā)展史大致同步的。 常微分方程的發(fā)展史大致可分為五個(gè)階段：第一階段是十七世紀(jì)前半期, 即它的萌芽階段。第二階段是十七世紀(jì)后半期到十八世紀(jì)末, 即常微分方程發(fā)展成為一個(gè)數(shù)學(xué)分支的階段。這個(gè)階段主要是討論各種具體類(lèi)型方程的積分法, 把解表示為初等函數(shù)或初等函數(shù)的積分形式。這個(gè)階段可化為積分的方程的基本類(lèi)型巳被研究明白, 如果精確解找不到就求近似解。第三階段是十九世紀(jì)上半期。這個(gè)階段數(shù)學(xué)分析的新概念（如極限、無(wú)窮小、連續(xù)函數(shù)、微分、積分等）和新方法，大大影響了微分方程理論的發(fā)展。這是建立常徽分方程基礎(chǔ)的階段。第四階段是19世紀(jì)80年代至20世紀(jì)20年代，是常微分方程定性理論蓬勃

8、發(fā)展的階段。第五階段是20世紀(jì)30年代直至現(xiàn)在, 是常微分方程全面發(fā)展的階段。1.2 恰當(dāng)微分方程恰當(dāng)微分方程可通過(guò)積分求出它的通解,但并非所有的微分方程均為恰當(dāng)微分方程。如果能將一個(gè)非恰當(dāng)微分方程化為恰當(dāng)微分方程，則求其通解將變得簡(jiǎn)單。為此本文尋求微分方程各類(lèi)積分因子,化微分方程為恰當(dāng)方程求解，這樣給解題帶來(lái)很大的方便。第2章 積分因子的存在性2.1 各種形式積分因子存在的充要條件定義 對(duì)于一階微分方程 如果存在連續(xù)可微的函數(shù)，使得為一恰當(dāng)微分方程，即存在函數(shù)U，使得，則稱(chēng)為方程的積分因子。引理 函數(shù)為方程的積分因子的充要條件是。積分因子的形式各異，以致積分因子存在的充要條件將形式各異。下面

9、給出不同形式的積分因子存在的充要條件。結(jié)論1 方程有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是，且積分因子為。結(jié)論2 方程有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是，且積分因子為。結(jié)論3 方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子為。證明 令，則，假設(shè)為方程的積分因子，則由引理有充要條件，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)可以解出，故方程有形如的積分因子的充要條件是。結(jié)論4 方程有形如的積分因子的充要條件是,且積分因子。證明類(lèi)似結(jié)論3的證明。結(jié)論5 方程有形如的積分因子的充要條件是,且積分因子。證明，則，假設(shè)為方程的積分因子，則有充要條件，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),可以解出,故方程有形如的積分因子的充要條件是,且積分因子。結(jié)

10、論6 方程有形如的積分因子的充要條件是，且有積分因子。證明令，則，假設(shè)是方程的積分因子，則由引理有充要條件：，所以，從而，時(shí)，可以解出，得方程 有形如的積分因子的充要條件是，即可得積分因子。結(jié)論7 方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。證明類(lèi)似結(jié)論3 的證明。結(jié)論8 方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。證明令，則有，假設(shè)是方程的積分因子，則由引理有充要條件：，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)可以解出。故方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。結(jié)論9 方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。證明令 ，則，假設(shè)是方程的積分因子，則由引理有充要條件，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)可以解出,故方

11、程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。2.2 幾種常見(jiàn)類(lèi)型的微分方程的積分因子根據(jù)以上結(jié)論易得出下列常見(jiàn)的微分方程積分因子結(jié)果。命題1 可分離變量方程，有積分因子。命題2 齊次方程有積分因子。命題3 齊次方程，當(dāng)時(shí)有積分因子。命題4 Bernoulli方程，有積分因子。第3章 積分因子求法的推廣微分方程積分因子求法的推廣主要寫(xiě)了幾類(lèi)特定微分方程的積分因子的求法，極大的提高了我們計(jì)算積分因子的速度，對(duì)我們的學(xué)習(xí)有很大幫助。3.1 滿(mǎn)足條件的積分因子求法定理1 假設(shè)中，存在以下關(guān)系：其中是的連續(xù)函數(shù)，則該方程的積分因子是：證明 ： 即： 若要使得是積分因子，必須滿(mǎn)足：則 即 即要滿(mǎn)足： 若滿(mǎn)

12、足以上定理可得到如下定理：定理2 如果是方程的積分因子，則也是該方程的積分因子證明 ： 因?yàn)?，分別是，的連續(xù)函數(shù)，則由連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)知，也分別是，的連續(xù)函數(shù)又因?yàn)?=0所以 是全微分方程所以 也是該方程的積分因子例3 求的積分因子解 ： 可以由上面的定理得到方程的積分因子：例 4 求的積分因子解 ： 可以取 從而使該方程能夠滿(mǎn)足定理1所需條件則有：所以方程的積分因子是：同理，由定理2知： 也是該方程的積分因子3.2 方程積分因子定理3 齊次方程為：則該方程有積分因子：證明： 令 則知 若有： 也即是有： 例 5 求解齊次方程的積分因子解：由定理3得方程的積分因子是： 3.3 方程積分因子定

13、理4 齊次方程：則該方程有積分因子：證明： 令 則知 因?yàn)?所以有 若有 則有： 所以 例 6 求解齊次方程 的積分因子解： 方程滿(mǎn)足定理3方程的形式，因此，方程的積分因子為： 3.4 方程積分因子定理5 若齊次方程的形式為： 則方程的積分因子是： 證明： 令 則知 因?yàn)?所以有 若有 即有： 所以 所以 方程的積分因子是：例7 求齊次方程的積分因子解：方程滿(mǎn)足定理5條件，則知方程的積分因子是： 本章對(duì)積分因子的求解方法進(jìn)行了推廣，總結(jié)出幾類(lèi)特定方程積分因子的固定求法，以便加深對(duì)微分方程積分因子的認(rèn)識(shí)和了解，熟悉一階微分方程求解方法。參考文獻(xiàn):1 滕文凱. 積分因子的分組求法J. 承德民族師專(zhuān)

14、學(xué)報(bào), 2004, (02) . 2 李振東,張永珍. 求積分因子的新方法J. 唐山學(xué)院學(xué)報(bào), 2003, (02) . 3 王金誠(chéng). 淺析積分因子的求法J. 中國(guó)科技信息, 2007, (20) . 4 龔雅玲. 求解微分方程的積分因子法J. 南昌教育學(xué)院學(xué)報(bào), 2007, (01) . 5 溫啟軍,張麗靜. 關(guān)于積分因子的討論J. 長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào), 2006, (10) . 6 楊淑娥. 一階微分方程的積分因子解法J. 彭城職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2000, (01) 7 閻淑芳. 積分因子的存在條件及求法J. 邯鄲師專(zhuān)學(xué)報(bào), 2004, (03) 8 劉文武. 兩類(lèi)微分方程的積分因子J. 黔南民族

15、師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2003, (06) 9 劉絳玉. 關(guān)于一階方程的積分因子法J. 茂名學(xué)院學(xué)報(bào), 2000, (01) 10 Coddington, E. A. An Introduction to Ordinary Differential Equations M.New York: Dover, 198911 Morris Tenebaum， Harry Pollard. Ordinary differential equations M. Dover Publications, 1963, (01)致謝本課題在選題及研究過(guò)程中得到數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院徐俊峰老師的悉心指導(dǎo)，使我得以最終完成畢業(yè)論文設(shè)計(jì)，在此先向尊敬的老師表示衷心的感謝。