概率 獨(dú)立實驗概型

1、一、兩個事件的獨(dú)立性一、兩個事件的獨(dú)立性 三、伯努利概型三、伯努利概型 二、二、有限個事件的獨(dú)立性有限個事件的獨(dú)立性第五節(jié)事件的獨(dú)立性第五節(jié)事件的獨(dú)立性一、事件的相互獨(dú)立性一、事件的相互獨(dú)立性,.,),23(5取到綠球取到綠球第二次抽取第二次抽取取到綠球取到綠球第一次抽取第一次抽取記記地取兩次地取兩次有放回有放回每次取出一個每次取出一個紅紅綠綠個球個球盒中有盒中有 BA則有則有),()(BPABP .發(fā)生的可能性大小發(fā)生的可能性大小的發(fā)生并不影響的發(fā)生并不影響它表示它表示BA)()(BPABP )()()(BPAPABP 1.引例引例.,)()()(,獨(dú)立獨(dú)立簡稱簡稱相互獨(dú)立相互獨(dú)立則稱事件則

2、稱事件如果滿足等式如果滿足等式是兩事件是兩事件設(shè)設(shè)BABABPAPABPBA 事件事件 A 與與 事件事件 B 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,是指事件是指事件 A 的的發(fā)生與事件發(fā)生與事件 B 發(fā)生的概率無關(guān)發(fā)生的概率無關(guān).說明說明 2.定義定義例例1 從一副不含大小王的撲克牌中任取一從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記張，記 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可見可見, P(AB)=P(A)P(B) 由于由于 P(A)=4/52=1/13, 說明事件說明事件A、B獨(dú)立獨(dú)立.問事件問事件A、B是否獨(dú)立？是否獨(dú)立？解：解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2 在實

3、際應(yīng)用中在實際應(yīng)用中, 往往往往根據(jù)問題的實際意根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立義去判斷兩事件是否獨(dú)立. 由于由于“甲命中甲命中”并不影響并不影響“乙命中乙命中”的的概率，故認(rèn)為概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立獨(dú)立 .甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，記甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，記 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中，A與與B是否獨(dú)立？是否獨(dú)立？例如例如（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生 的概率）的概率） 一批產(chǎn)品共一批產(chǎn)品共n件，從中抽取件，從中抽取2件，設(shè)件，設(shè) Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的, 則則A1與與A2

4、獨(dú)立獨(dú)立. 因為第二次抽取的結(jié)果受到因為第二次抽取的結(jié)果受到 第一次抽取的影響第一次抽取的影響.又如：又如：因為第二次抽取的結(jié)果因為第二次抽取的結(jié)果不受第一次抽取的影響不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則若抽取是無放回的，則A1與與A2不獨(dú)立不獨(dú)立.兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立)()()(BPAPABP 兩事件互斥兩事件互斥 ABAB,21)(,21)( BPAP若若AB).()()(BPAPABP 則則例如例如由此可見由此可見兩事件兩事件相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，但兩事件但兩事件不互斥不互斥.兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系.請同學(xué)們思考請同學(xué)們思考二者之間沒

5、二者之間沒有必然聯(lián)系有必然聯(lián)系A(chǔ)B21)(,21)( BPAP若若. )()()(BPAPABP 故故由此可見由此可見兩事件兩事件互斥互斥但但不獨(dú)立不獨(dú)立., 0)( ABP則則,41)()( BPAPB=P(A)1- P(B)= P(A) P( )= P(A)- P(AB)BP(A )= P(A - A B)A、B獨(dú)立獨(dú)立故故A與與 獨(dú)立獨(dú)立 . B概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)= P(A)- P(A) P(B)證明證明: 僅證僅證A與與 獨(dú)立獨(dú)立B結(jié)論結(jié)論 若兩事件若兩事件A、B獨(dú)立，則獨(dú)立，則 BABABA與與與,也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立.將兩事件獨(dú)立的定義推廣到三個事件：將兩事件獨(dú)立的定義推廣到三個

6、事件： 定義定義2 對于三個事件對于三個事件A、B、C，若，若 P(AB)= P(A)P(B) 四個等式同時四個等式同時 P(AC)= P(A)P(C) 成立成立,則稱事件則稱事件 P(BC)= P(B)P(C) A、B、C相互相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 獨(dú)立獨(dú)立. 二、有限個事件的獨(dú)立性二、有限個事件的獨(dú)立性將兩事件獨(dú)立的定義推廣到有限個事件：將兩事件獨(dú)立的定義推廣到有限個事件：兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立相互獨(dú)立對對n n( (n n2)2)個事件個事件X X定義定義設(shè)設(shè)nAAA,21是是n個事件，個事件，何一個事件發(fā)生的可能性都不受其它一個或幾何一個事件發(fā)生的可能性都不受

7、其它一個或幾則稱則稱事件事件,21AA相互獨(dú)立相互獨(dú)立. .nA若其中任若其中任個事件發(fā)生與否的影響，個事件發(fā)生與否的影響，結(jié)論結(jié)論3 若若A1, A2, , An相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則有則有 P(A1A2An)= P(A1)P(A2)P(An)121212()1()1() ()()nnnP AAAP A AAP A P AP A結(jié)論結(jié)論4 若若A1, A2, , An相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則有則有 應(yīng)用狄應(yīng)用狄.摩根定律，容易得到如下結(jié)論：摩根定律，容易得到如下結(jié)論：對獨(dú)立事件，許多概率計算可得到簡化：對獨(dú)立事件，許多概率計算可得到簡化：例例2 三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能三人獨(dú)立地去

8、破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 解：將三人編號為解：將三人編號為1，2，3，所求為所求為 P(A1+A2+A3)記記 Ai=第第i個人破譯出密碼個人破譯出密碼 i=1,2,3123已知已知, P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4 P(A1+A2+A3)121()nP AAA1231()P A A A 1231() () ()P A P A P A 4 2 3310.65 3 4512311()1()1()P AP AP A例例 3

9、 3加工某一零件共需經(jīng)過四道工序加工某一零件共需經(jīng)過四道工序, , 設(shè)第一、設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率二、三、四道工序的次品率3%,3%, 假定各道工序是互不影響的假定各道工序是互不影響的, ,求加工出來的求加工出來的零件的次品率零件的次品率. .分別是分別是2%, 3%, 5%, 2%, 3%, 5%, )()()()()(4321APAPAPAPDP %)31%)(51%)(31%)(21( %;60.87%59779.87 )(1)(DPDP %.40.12%60.871 解解 本題應(yīng)先計算合格品率本題應(yīng)先計算合格品率, , 這樣可以使計算簡便這樣可以使計算簡便. .設(shè)設(shè)4321,

10、AAAA為四道工序發(fā)生次品事件為四道工序發(fā)生次品事件, ,加工出來的零件為次品的事件加工出來的零件為次品的事件, ,的事件的事件, ,則則D為產(chǎn)品合格為產(chǎn)品合格故有故有D為為,4321AAAAD 例例4 4 如圖是一個串并聯(lián)如圖是一個串并聯(lián)的元件的元件. .它們下方的數(shù)字它們下方的數(shù)字是它們各自正常工作的概率是它們各自正常工作的概率, ,求電路系統(tǒng)的可靠性求電路系統(tǒng)的可靠性. .ABDCEFGH0.950.950.700.700.700.750.750.95、E、F、G H都是電路中都是電路中電路系統(tǒng)電路系統(tǒng). .、A、B、C、D解解 以以W表示電路系統(tǒng)正常工作表示電路系統(tǒng)正常工作, ,因各元

11、件獨(dú)立工因各元件獨(dú)立工作作, , 故有故有),()()()()()(HPGFPEDCPBPAPWP 其中其中,973. 0)()()(1)( EPDPCPEDCP.09375)()(1)( GPFPGFP代入得代入得.782. 0)( WP將試驗將試驗 E 重復(fù)進(jìn)行重復(fù)進(jìn)行 n 次次, 若各次試驗的結(jié)果互若各次試驗的結(jié)果互不影響不影響 , 即每次試驗結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其即每次試驗結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗的結(jié)果它各次試驗的結(jié)果, 則稱這則稱這 n 次試驗是次試驗是相互獨(dú)立相互獨(dú)立的的, 或稱為或稱為 n 次次重復(fù)獨(dú)立重復(fù)獨(dú)立試驗試驗.1、重復(fù)獨(dú)立試驗、重復(fù)獨(dú)立試驗三、伯努利概型

12、三、伯努利概型* 將伯努利試驗在相同的條件下獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行將伯努利試驗在相同的條件下獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次次， 稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗為稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗為n重伯努利重伯努利試驗試驗，或簡稱為或簡稱為伯努利概型伯努利概型. .* 如果隨機(jī)試驗只有兩種可能的結(jié)果：如果隨機(jī)試驗只有兩種可能的結(jié)果：事件事件A發(fā)生發(fā)生( (記為記為A)或事件或事件A不發(fā)生不發(fā)生(記為記為),A則稱這樣的試驗為則稱這樣的試驗為伯努利伯努利(Bernoulli)試驗試驗.設(shè)設(shè),1)(,)(qpAPpAP ),1, 1,0( qpqp2、 n 重重伯努利試驗伯努利試驗實例實例1 拋一枚硬幣觀察得到正面或反面拋一枚硬幣觀察得

13、到正面或反面. 若將硬若將硬幣拋幣拋 n 次次,就是就是n重伯努利試驗重伯努利試驗.實例實例2 拋一顆骰子拋一顆骰子n次次,觀察是否觀察是否 “出現(xiàn)出現(xiàn) 1 點(diǎn)點(diǎn)”, 就就是是 n重伯努利試驗重伯努利試驗.注注：n重伯努利試驗是一種很重要的數(shù)學(xué)模型，重伯努利試驗是一種很重要的數(shù)學(xué)模型，在實際問題中具有廣泛的應(yīng)用在實際問題中具有廣泛的應(yīng)用. . 其特點(diǎn)是：其特點(diǎn)是： 事件事件A在每次試驗中發(fā)生的概率均為在每次試驗中發(fā)生的概率均為, p且不受其它且不受其它各次試驗中各次試驗中A是否發(fā)生的影響是否發(fā)生的影響.例例 一批產(chǎn)品的廢品率為一批產(chǎn)品的廢品率為0.1, 每次取一個每次取一個, 觀察后觀察后放回

14、去放回去, 下次再取一個下次再取一個, 共重復(fù)共重復(fù)3次次, 求這求這3次中恰有次中恰有0, 1, 2, 3次取到廢品的概率次取到廢品的概率.解解 為為 p=0.1 的的3重貝努里實驗，用事件重貝努里實驗，用事件A,B,C分別分別表示第表示第1, 2, 3次取到廢品的事件次取到廢品的事件, 則則A,B,C相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，并且并且P(A)=P(B)=P(C)=0.1，30()()() () ()0.9P BP ABCP A P B P C 1()()P BP ABCABCABC2()()()3 0.1 0.9P ABCP ABCP ABC22()()3 0.10.9P BP ABCABCAB

15、C33()()0.1P BP ABC33()0.10.9,(0,1,2,3)kkkkP BCk 總總結(jié)結(jié)寫寫成成,ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC將抽取產(chǎn)品的所有情況列出來為：將抽取產(chǎn)品的所有情況列出來為：假設(shè)假設(shè)B0, B1, B2, B3為恰抽到為恰抽到0, 1, 2, 3個廢品的事件個廢品的事件,伯努利定理伯努利定理設(shè)在一次試驗中，設(shè)在一次試驗中， 事件事件A發(fā)生的概發(fā)生的概率為率為),10( pp則在則在n重伯努利試驗中，重伯努利試驗中，事件事件A恰好發(fā)生恰好發(fā)生k次的概率為次的概率為( )(1)kkn knnp kC pp )., 1 , 0(nk 思考

16、思考上例改為，重復(fù)取上例改為，重復(fù)取 n次，求取到次，求取到k件廢品的概率？件廢品的概率？例例5 5 某種小樹移栽后的成活率為某種小樹移栽后的成活率為90%,90%,區(qū)移栽了區(qū)移栽了2020棵棵, ,一居民小一居民小求能成活求能成活1818棵的概率棵的概率. .解解 觀察一棵小樹是否成活是隨機(jī)試驗觀察一棵小樹是否成活是隨機(jī)試驗,E每棵小每棵小樹只有樹只有“成活成活”)(A或或“沒成活沒成活”)(A兩種可能結(jié)果兩種可能結(jié)果, ,且且. 9 . 0)( AP可以認(rèn)為可以認(rèn)為, ,小樹成活與否是彼此獨(dú)立的小樹成活與否是彼此獨(dú)立的, ,因此觀察因此觀察20 20 棵小樹是否成活棵小樹是否成活設(shè)所求概率

17、為設(shè)所求概率為),(BP則由伯努利公式可得則由伯努利公式可得.285. 01 . 09 . 0)(2181820 CBP努利試驗努利試驗. .9 . 0 P的的2020重重伯伯可以看成是可以看成是附：附：(伯努利定理伯努利定理) 設(shè)在一次試驗中，設(shè)在一次試驗中， 事件事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為),10( pp則在則在n重貝努利重貝努利試驗中，試驗中，事件事件A恰好發(fā)生恰好發(fā)生k次的概率為次的概率為,)1(knkknppCkXP )., 1 , 0(nk 證明證明記記“第第i次試驗中事件次試驗中事件A發(fā)生發(fā)生”這一事件為這一事件為, 2 , 1,niAi 則則“事件事件A恰好發(fā)生恰好發(fā)生k次次” (記作記作kB)是下列是下列knC個兩兩不相容事件個兩兩不相容事件的并：的并：knkjjjiiiAAAAAA ,;,2121其中其中 是取遍是取遍 中的任意中的任意k個數(shù)個數(shù)kiii,21n, 2 , 1(