積分變換__第1.傅里葉變換ppt課件

1、1.1本章學(xué)習(xí)目標(biāo) 1、了解傅里葉積分; 2、理解傅里葉變換; 3、掌握 Dirac 函數(shù)及傅里葉變換; 4、熟悉傅里葉變換的性質(zhì). (,) jj1( )( )dd2tf tfee一、傅里葉積分定理 若函數(shù)f(t) 在任何有限區(qū)間上滿足狄氏條件，且在 上絕對(duì)可積。則有(0)(0)2f tf t 成立，而左端的f(t)在它的間斷點(diǎn)t處值為 例1 求函數(shù) 的傅里葉積分表達(dá)式。1,1;( )0,.tf t其它 設(shè)設(shè))(tf與與)( F在在),( 上上都都絕絕對(duì)對(duì)可可積積，則則 j( )( )dtFf t et稱為稱為)(tf的的 Fourier 變換變換； j1( )( )d2tf tFe稱為稱為)

2、( F的的 Fourier 逆變換逆變換； )(tf)(1 F 二二.傅里葉變換的概念傅里葉變換的概念 即即 )( F )(tf )(tf )(1 F )(tf = = )(1tf 例例 2、求指數(shù)衰減函數(shù)、求指數(shù)衰減函數(shù)的傅立葉變換，并求的傅立葉變換，并求的值。的值。 0,00,)(ttetft 022sincosdwwwtwwt 在物理和工程技術(shù)中, 常常會(huì)碰到單位脈沖函數(shù). 因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì), 如在電學(xué)中, 要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢(shì)作用后所產(chǎn)生的電流；在力學(xué)中, 要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等，研究此類問題就會(huì)需要我們介紹單位脈沖函數(shù)。三、單位脈沖函數(shù)

3、在原來電流為零的電路中在原來電流為零的電路中, 某一瞬時(shí)某一瞬時(shí)(設(shè)為設(shè)為t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖進(jìn)入一單位電量的脈沖, 現(xiàn)在要確定現(xiàn)在要確定電路上的電流電路上的電流i(t). 以以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù)表示上述電路中的電荷函數(shù), 則則. 0, 1; 0, 0)(tttqttqttqttqtit)()(limd)(d)(0 當(dāng)當(dāng)t 0時(shí)時(shí), i(t)=0, 由于由于q(t)是不連續(xù)的是不連續(xù)的, 從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下, q(t)在這一點(diǎn)是不能在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)數(shù)的. 如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù)如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù), 則得則得ttqtqitt1li

4、m)0()0(lim)0(00 這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度. 為了確為了確定這樣的電流強(qiáng)度定這樣的電流強(qiáng)度, 引進(jìn)一稱為狄利克雷引進(jìn)一稱為狄利克雷(Dirac)的函數(shù)的函數(shù), 簡(jiǎn)單記成簡(jiǎn)單記成d d-函數(shù)函數(shù): 000tttd有了這種函數(shù)有了這種函數(shù), 對(duì)于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量對(duì)于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量, 例如點(diǎn)電荷例如點(diǎn)電荷, 點(diǎn)熱源點(diǎn)熱源, 集中于一點(diǎn)的質(zhì)量集中于一點(diǎn)的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等, 就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣就能夠象處理連續(xù)分布

5、的量那樣, 以統(tǒng)一的方式加以解決以統(tǒng)一的方式加以解決. -1td000100000( )( )lim( )ttttttttddd給給函函數(shù)數(shù)序序列列，定定義義。d d (t)1/ O0001( )dlim( )dlim1ttttdtdd（在極限與積分可交換意義下）（在極限與積分可交換意義下）工程上將工程上將d d-函數(shù)稱為函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。單位脈沖函數(shù)。 可將可將d d-函數(shù)用一個(gè)長度等于函數(shù)用一個(gè)長度等于1的有向線段表示的有向線段表示, 這個(gè)線段的長度表示這個(gè)線段的長度表示d d-函數(shù)的積分函數(shù)的積分值值, 稱為稱為d d-函數(shù)的強(qiáng)度函數(shù)的強(qiáng)度.tOd d (t)1d d-函數(shù)有篩選性質(zhì)

6、：函數(shù)有篩選性質(zhì)： 000( ) ( )d( )() ( )d( ).t f ttfttf ttf tf tdd及及（為連續(xù)函數(shù)）（為連續(xù)函數(shù)）可見可見d d-函數(shù)和任何連續(xù)函數(shù)的乘積在實(shí)軸上的積分都有明確意義。函數(shù)和任何連續(xù)函數(shù)的乘積在實(shí)軸上的積分都有明確意義。因?yàn)橐驗(yàn)閐 d 函數(shù)是廣義函數(shù)函數(shù)是廣義函數(shù), 所以其所以其Fourier變換不變換不 是通常意義下的是通常意義下的Fourier 變換變換. 根據(jù)根據(jù)Fourier 變換的變換的定義定義, 以及以及d d 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì), 可可 得得 ( )( )d1,j ttt et d dd d F111 ( )( )d.22j te d

7、 d d d F通常通常, 沒有意義沒有意義. 然而由然而由 1F F11 ( ),2d d F F在廣義函數(shù)意義下在廣義函數(shù)意義下, 12( ). d d F F 性質(zhì)：性質(zhì)：n1 - =200103-0-1)0dddd ddd( ).( )( ).( )d( ),( )( ),( ),.( )( ) ( )d( )( ) ( )d( ).tnttdu tu ttdttu ttf tt f ttft f ttf(n)(n)函數(shù)是偶函數(shù)，即；函數(shù)是偶函數(shù)，即；及及其中稱為單位階躍函數(shù)；其中稱為單位階躍函數(shù)；若為無窮次可微的函數(shù)，則有若為無窮次可微的函數(shù)，則有，一般地，有一般地，有證法證法2：若

8、：若F( )=2d d ( ), 由傅氏逆變換可得由傅氏逆變換可得j01( )2( )ed12tj tf ted 例例3 證明：證明：1和和2d d ( )構(gòu)成傅氏變換對(duì)構(gòu)成傅氏變換對(duì).證法證法1： 12.j tj sedtstedsd F 100000121222jjjjj( )( )ed()edee.e()tttttf tF d d 證：證：即和構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì)。即和構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì)。002d je()t例例4 4 證證明明和和構(gòu)構(gòu)成成一一個(gè)個(gè)傅傅氏氏變變換換對(duì)對(duì)。由上面兩個(gè)函數(shù)的變換可得由上面兩個(gè)函數(shù)的變換可得0jj()0ed2( )ed2()tttt d d 例如常數(shù)例如常數(shù),

9、 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù), 單位階躍函數(shù)以及正單位階躍函數(shù)以及正, 余弦函數(shù)等余弦函數(shù)等, 然而它們的廣義傅氏變換也是然而它們的廣義傅氏變換也是存在的存在的, 利用單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換利用單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換. 所謂廣義是相對(duì)所謂廣義是相對(duì)于古典意義而言的于古典意義而言的, 在廣義意義下在廣義意義下, 同樣可以說同樣可以說,原象函數(shù)原象函數(shù)f(t) 和象函數(shù)和象函數(shù)F( ) 構(gòu)成一個(gè)傅構(gòu)成一個(gè)傅氏變換對(duì)氏變換對(duì). 在物理學(xué)和工程技術(shù)中在物理學(xué)和工程技術(shù)中, 有許多重要函數(shù)不滿足傅氏積分定理中的絕對(duì)可積條件有許多重要函數(shù)不滿足傅氏積分定理中的絕對(duì)

10、可積條件, 即不滿足條件即不滿足條件|( )|df tt 例例5 計(jì)算計(jì)算 和和 0cos t F0sin.t F F根據(jù)根據(jù)d d 函數(shù)函數(shù)Fourier變換的變換的 , 可得可得 00011cos22jtjttee FFF00()() , d d d d 00011sin22jtjtteeii FFF00()() .j d d d d 例例6 證明：證明：0,0( ),1,0tu tt單位階躍函數(shù)1 ( )( ).u tjd F證：證：1011121112211221111222( )( )( )cossinsinsinj tj tj tedjjededjtjtdjttddd d d F0

11、,20,2sin0ttdt11100221102111022,( ),( ),ttu tjtd F 例例7 計(jì)算計(jì)算 22sin 3.t F F利用利用 , 可得可得 22sin 31cos6 1cos6 ttt F FF FF FF F 2 ( )(6)(6) . d d d d d d 因?yàn)橐驗(yàn)閐 d (x)是是d d 逼近函數(shù)逼近函數(shù) 的弱極限的弱極限, 所以由所以由 ( )x d d, 也可以理解為也可以理解為 ( )xd dF F0 ( )lim( )xx d dd d FF(1) d d 函數(shù)函數(shù)Fourier變換的時(shí)移和頻移性質(zhì)變換的時(shí)移和頻移性質(zhì) 00 () ( ),j ttt

12、et d dd d FF0012().jte d d F0sinlim1. d d-函數(shù)的傅氏變換為函數(shù)的傅氏變換為:0 ( )()( )ede1j tj tttFttddF于是于是d d (t)與常數(shù)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對(duì)構(gòu)成了一傅氏變換對(duì).11( )12j tteddF2( )j tedtd根據(jù)根據(jù)Fourier變換的定義以及變換的定義以及d d 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì), 00 ()()dj ttttt et dddd F000() ( ),jtj tj teeet d d F1001 ()()d2j te d d d d F01,2jte 即即 0012().jte d d F(2) d d 函數(shù)函數(shù)Fourier變換的微分性質(zhì)變換的微分性質(zhì) ( )( )() ,nntjd d