高階微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法

1、§4.3 高階微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法教學(xué)目的本章主要討論高階微分方程的降階以及二階線性方程的冪級(jí)數(shù)解法教學(xué)要求會(huì)把高階微分方程降階以及會(huì)用冪級(jí)數(shù)解法解某些二階線性方程教學(xué)重點(diǎn)一些高階階微分方程的降階類型的解法；冪級(jí)數(shù)解法教學(xué)難點(diǎn)二階線性方程冪級(jí)數(shù)解法教學(xué)方法講練結(jié)合教學(xué)法、提問式與啟發(fā)式相結(jié)合教學(xué)法。教學(xué)手段傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合。一般的高階微分方程沒有普遍的解法,通常是通過變代換把高階方程的求解問題轉(zhuǎn)化為較低階方程來求解,因?yàn)橐话銇碚f求解低階方程比求解高階方程方便些,本節(jié)主要介紹一些可降階的方程類型和求特解的冪級(jí)數(shù)解法.一. 可降階的一些方程類型n階微分方程的一般形

2、式 (4.57)不包含未知函數(shù)x,或更一般地, 不包含未知函數(shù)及其直到k1(k)階導(dǎo)數(shù)的方程是：(4.58)如果能求得(4.58)的通解 即 對(duì)上式經(jīng)過k次積分 即方程(4.57)的通解 這里為任常數(shù).例1 求方程的解解:令,則方程化為這是一個(gè)一階方程,其通解為,即有積分四次得原方程的通解不包含自變量t的方程其一般形式是: (4.59)此時(shí),用作為新的未知函數(shù) 而把x作為新的自變量. 因?yàn)?用數(shù)學(xué)歸納法易得 可用來表達(dá),將這些表達(dá)式代入(4.59)可得:即有新方程它比原來的方程(4.59)降低了一階:例2 求方程 的解解 令,要取X作為新的自變量,于是原方程化為從而可得 及 這兩方程的全部解是

3、再代入原來變量得到所以原方程的通解是3)已知各線性方程的非要特解,進(jìn)行降階設(shè)正二階齊線性方程 (4.69)的非要解令 則 代入(4.69)得 即 引入新的未知函數(shù) 方程變?yōu)槭且浑A線性方程 解之得因而 (4.70)這里 是任意常數(shù)。取,得(4.69)的一個(gè)特解因它與之比不等于常數(shù) 故線性無關(guān) 因此(4.70)為(4.69)的通解例3 已知是方程的解 可求方程的通解解 這是 由(4.70)得到為任常數(shù)一般已知齊次線性方程 (4.2)的K個(gè)線性無關(guān)解 其中令 , 則代入(4.2),得由于為(4.2)的解 故Y的系數(shù)恒等于零 而代為不包含Y的方程:令,則在的方向上方程變?yōu)?(4.07)且是(4.67)

4、的個(gè)線性無關(guān)解，事實(shí)上，x為(4.2)解及或因此是4.67)的解,若則即由線性無關(guān)知 全為零.故 線性無關(guān).因此,對(duì)(4.61)以做法,令. 則又可把方程化為關(guān)于u的n-1階齊線性方程. (4.68)一直下去,可降低n-k階二. 二階線性方程的冪級(jí)數(shù)解法對(duì)二截變函數(shù)齊線性方程 (4.72)其求解問題歸結(jié)為尋求它的一個(gè)非零解,由于是變函數(shù),因此不能像§4.2那樣利用代數(shù)方法先求解.但從微分學(xué)中知道,在滿足某些條件下,可以用冪級(jí)數(shù)來表示一個(gè)函數(shù).因此,自然想到,能否用冪級(jí)數(shù)來表示微分方程的解呢?下面討論這一問題.為此先列出下面兩個(gè)定理.( 一般性,可設(shè))定理10. 若方程(4.72)中系

5、數(shù)和都能展成x的冪級(jí)數(shù),且收斂區(qū)間為<R,則方程(4.72)有形為 (4.73)的特解.也以<R為級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.定理11. 若方程(4.72)中的系數(shù),只有這樣的性質(zhì).即和均能展成x的冪級(jí)數(shù).且收斂區(qū)間為<R,則方程(4.72)有形為 (4.75)的特解,這里,是一個(gè)待定的常數(shù),級(jí)數(shù)(4.75)也以<R為收斂區(qū)間.例4. 求方程的滿足初始條件,的解.解: 設(shè)級(jí)數(shù),為方程的解,這里是待定常數(shù). 由初始條件, 因而 將它代入方程,合并同類項(xiàng),則令各項(xiàng)系數(shù)等于零,得到 即因而故方程的解為 例5. 求解n階貝塞耳(Bessel)方程 這里n為非負(fù)常數(shù). 解: 將方程改寫成 (

6、4.74)易見,它滿足定理11的條件,且按x展成的冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間為,則方程有形為 (4.75)的特解.這里,而是的待定常數(shù),將(4.75)代入(4.74)中,得 比較x的同次冪系數(shù),得 k=2,3,因?yàn)閯t為從而為確定起見,暫令由(4.76)得 k=2,3,即 k=1,2,從而可得 k=1,2,因此 在時(shí),得到Bessel方程的一個(gè)解 (4.77) 若將任常數(shù)取為 這里 到p>0時(shí),因此(4.77)變?yōu)?(4.77)當(dāng)時(shí),完全類似可得 , k=1,2,若取 則可得(4.74)另一個(gè)特解 (4.78)達(dá)朗貝爾判別法,對(duì)任x值(4.77),(4.78)收斂,因此當(dāng)n非負(fù)整數(shù)時(shí),為(4.74)的解,且線性無關(guān). 因而(4.74)的通解為 這里為任常數(shù).當(dāng)n=正整數(shù)時(shí), 而時(shí),不能從(4.76)中確定因此不能像上面一樣求得通解.這時(shí)可以利用一,B介紹的除階法,求出與線性無關(guān)的解,因