阿羅不可能定理

1、阿羅不可能定理阿羅在運用新的數(shù)學工具研究一般均衡理論，研究不確定條件下如何進行最優(yōu)化決策， 研究社會選擇理論的工作中， 做出了突出貢獻。在為數(shù)不少的國人的心目中，選舉的意義恐怕就在于大家根據(jù)多數(shù)原則（majority rule）通過投票推舉出最受我們愛戴或信賴的人。然而，通過選舉能否達到這個目的呢？ 1972年諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者、美國經(jīng)濟學家阿羅（K. Arrow）采用數(shù)學中的公理化方法，于1951年深入研究了這個問題，并得出在大多數(shù)情況下是否定的結(jié)論，那就是鼎鼎大名的“阿羅不可能定理（Arrow's impossibility theorem）”。 阿羅遵從經(jīng)濟學研究集體決策（gr

2、oup decision-making）和公共選擇（public choice）問題時的慣例，首先將個人投票視為每個獨立個體根據(jù)自己的偏好程度給各種備選方案從大到小排序，個體的偏好排序滿足下列要求： 1、完全性（completivity）：對任意一對備選方案 x 、y ，一個人喜歡 x 勝于 y 、喜歡 y 勝于 x 和對兩者同樣喜歡這三種情況必有其一。 2、反身性（reflexivity）：任意一個備選方案至少和它自身一樣好?；蛘哒f，從同樣的偏好標準出發(fā)，一個人不能既喜歡又不喜歡同一個備選方案。 3、傳遞性（transivity）：如果一個人喜歡 x 勝于 y ，喜歡 y 勝于 z ，那么他

3、應該喜歡 x 勝于 z ；而且只有當他喜歡 x 和 y 的程度相同，喜歡 y 和 z 的程度相同時，他才能同樣程度地喜歡 x 和 z 。 顯而易見，對于一個正常人來說，這三個要求相當合情合理，絕無過分之處。 阿羅進而將選舉視為一種規(guī)則，它能夠?qū)⒚總€個體表達的偏好次序綜合成整個群體的偏好次序，并滿足以下五個條件（即阿羅公理Arrow's atoxism）的要求： 1、所有投票人就備選方案所想到的任何一種次序關系都是實際可能的。 該公理表明：選民對候選人的任何一種排序都是允許的，也就是每一位選民可以完全按照各自的意愿挑選自己中意的候選人。 2、對任意一對備選方案 x 、y ，如果對于任何投

4、票人都有 x y ，根據(jù)選舉規(guī)則就應該確定 x y ；而且當且僅當對所有投票人都有 x = y 時，根據(jù)選舉規(guī)則得到的最后結(jié)果才能取等號。 該公理表明：全體選民的一致愿望必須得到尊重，同時每個選民的意愿也不能受到隨意的忽略，體現(xiàn)了選民的主權特性。 3、對任意一對備選方案 x 、y ，如果在某次投票的結(jié)果中有 x y ，那么在另一次投票中，如果在每位投票人排序中 x 的位置保持不變或提前，則根據(jù)同樣的選舉規(guī)則得到的最終結(jié)果也應包括 x y 。 該公理表明：如果所有選民對某位候選人的喜歡程度相對于其他候選人來說沒有降低，那么該候選人在選舉結(jié)果中的位置不會變化。 4、如果在兩次投票過程中，備選方案集

5、合的子集中各元素的排序沒有改變，那么在這兩次選舉的最終結(jié)果中，該子集內(nèi)各元素的排列次序同樣沒有變化。 該公理表明：某一組候選人在選舉結(jié)果中的相對位置不會受除他們以外的其他候選人選舉地位變動的影響，反映了無關候選人的獨立性。公理3和公理4結(jié)合在一起，說明候選人的選舉成績只取決于選民對他們作出的評價。 5、不存在這樣的投票人，使得對于任意一對備選方案 x 、y ，只要該投票人在選舉中確定 x y ，選舉規(guī)則就確定 x y 。 該公理表明：不存在能夠僅憑個人意愿就決定選舉結(jié)果的獨裁者。 應該說這五個條件也是一個公平、合理選舉的最起碼要求。然而通過引入決定性集合（decisive set，選民集合 I

6、 的子集 J 稱為候選人x 、y 的決定性集合，如果對于任何一次投票，只要( x y ) i ，i J ，選舉規(guī)則就確定 x y 。由公理2可以推出這樣的集合一定存在）和最小決定性集合概念以及相關引理的證明，阿羅令人驚訝地發(fā)現(xiàn)：在只有兩名候選人的情況下，采用簡單多數(shù)規(guī)則的選舉就能滿足上述的五個條件的要求；但在超過三名候選人的情況下，滿足前四個公理的選舉規(guī)則竟然違反第五個公理（本來選舉的目的就是讓大家作主，結(jié)果卻整出來個一言九鼎的“獨裁者”），因此不存在能同時滿足這五個條件的選舉規(guī)則！這個結(jié)論被稱為“阿羅不可能定理”，其確切表述如下： 當至少有三名候選人和兩位選民時，不存在滿足阿羅公理的選舉規(guī)則

7、。 阿羅還指出了多數(shù)規(guī)則的一個根本缺陷，那就是在實際決策中往往導致循環(huán)投票。例如，假設有 A 、B 、C 三人針對 x 、y 、z 三種選擇方案進行投票，其投票次序如下表： 表1投票悖論 投票者 對不同選擇方案的偏好次序 Axyz Byzx Czxy 在得多數(shù)票獲勝的規(guī)則下，每個人均按照他的偏好來投票。不難看出，大多數(shù)人是偏好 x 勝于 y ，同樣大多數(shù)人也是偏好 y 勝于 z 。按照邏輯上的一致性，這種偏好應當是可以傳遞的，即大多數(shù)人偏好 x 勝于 z 。但實際上，大多數(shù)人偏好 z 勝于 x 。因此，以投票的多數(shù)規(guī)則來確定社會或集體的選擇會產(chǎn)生循環(huán)的結(jié)果，這就好像一只狗在追自己的尾巴，會沒完

8、沒了地循環(huán)下去。在這種循環(huán)的脆弱性中，多數(shù)規(guī)則并不能為任何一個大多數(shù)選擇出一個絕對好的偏好來，其結(jié)果是沒有一個選擇方案能夠獲得多數(shù)票而被通過，這又被稱作“投票悖論（the voting paradox）”。它對所有的公共選擇問題都是一種固有的難題，所有的公共選擇規(guī)則都難以避開這種兩難境地。不僅如此，在存在投票悖論的情況下，多數(shù)規(guī)則還會使一些策略性投票（例如，不投自己偏好的選票，或者通過操縱對各個選項的投票順序）獲益。 阿羅的研究結(jié)論意味著：在通常情況下，當社會所有成員的偏好為已知時，不可能通過一定的方法從個人偏好次序得出社會偏好次序，不可能通過一定的程序準確地表達社會全體成員的個人偏好或者達到

9、合意的公共決策。換句話說，也就是在現(xiàn)實生活中，根本不存在一種能保證效率、尊重個人偏好、并且不依賴程序(agenda)的多數(shù)規(guī)則的投票方案；符合前面五個最起碼條件的公平、合理的選舉根本就不可能存在，而且其原因來源于選舉本身，與具體社會政治生活中可能存在的消極因素無關。 阿羅不可能定理一經(jīng)問世便對當時的政治哲學和福利經(jīng)濟學產(chǎn)生了巨大的沖擊，甚至招來上百篇批駁文章。李特爾（J. Riedel）、薩繆爾森（P. A. Samuelson）試圖以與福利經(jīng)濟學不相干的論點來駁倒阿羅不可能定理，但又遭到肯普（M.C. Kemp）、黃有光和帕克斯（Parks）的反駁，他們甚至建立了在給定個人偏好次序情況下的不

10、可能性結(jié)果。事實上，阿羅不可能性定理經(jīng)受住了所有技術上的批評，其基本理論從來沒有受到重大挑戰(zhàn)。 此后，更多的經(jīng)濟學家以阿羅的研究為基礎，繼續(xù)探究集體決策和選舉問題，尋找在哪些限制條件下能夠使阿羅公理得到滿足或者如何放松阿羅公理的限制以使選舉可行（這些做法實際上放棄了“理想的”選舉這一想法，等于承認了選舉的不完美性），同樣得出了許多重要成果。例如1998年諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者、印度經(jīng)濟學家阿馬蒂亞森（Amartiya Sen）在20世紀70年代對“投票悖論”的解決。其實森所建議的解決方法非常簡單，一言以蔽之，就是退而求其次森發(fā)現(xiàn)，當所有人都同意其中一項選擇方案并非是最佳的情況下，阿羅的“投票悖論

11、”就可以輕松地迎刃而解。比如，我們假定所有人均同意 x 項選擇方案并非最佳，這樣上面的表1就變?yōu)橄旅娴谋?： 表2投票悖論的解決 投票者對不同選擇方案的偏好次序 Ayxz Byzx Czxy 在對 x 和 y 兩種方案投票時，y 以兩票對一票而勝出于 x（y x ）；同理，在對 x 和 z 以及 y 和 z 分別進行投票時，可以得到 z 以兩票對一票而勝出于 x（z x ）；y 以兩票對一票而勝出于 z（y z ）。這樣，y z z x y x ，投票悖論就此宣告消失，惟有 y 項選擇方案得到大多數(shù)票而獲勝。 森把這個發(fā)現(xiàn)加以延伸和拓展，得出了解決投票悖論的三種選擇模式所有人都同意其中一項選擇方案并非是最佳；所有人都同意其中一項選擇方案并非是次佳；所有人都同意其中一項選擇方案并非是最差。森證明：在上述三種選擇模式下，投票悖論不會再出現(xiàn)，取而代之的結(jié)果是得大多數(shù)票者獲勝的規(guī)則總是能達到唯一的決定。 既然選舉并不能保證將最受愛戴或信賴的人推舉出來（當然也就更不能保證推舉出的人最能干或最稱職了），那么通過選舉方式選擇領導人還有什么意義呢？其實在西方國家民眾的心目中，選舉還有另外一層也許更為重要的涵義：作為“主權在民”和“統(tǒng)治者的權力來源于被統(tǒng)治者的同意和授予”這一根本原則的集中體現(xiàn)和根本保障，選舉是政權合法性的唯一來源，政府和領導人的統(tǒng)治只有在通過選舉獲得了選民的