數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)選擇題簡捷解法專題

1、.高考數(shù)學(xué)選擇題簡捷解法專題（1）一、數(shù)形結(jié)合畫出圖形或者圖象能夠使問題提供的信息更直觀地呈現(xiàn)，從而大大降低思維難度，是解決數(shù)學(xué)問題的有力策略，這種方法使用得非常之多。【例題】、（07江蘇6）設(shè)函數(shù)定義在實數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時，則有（ ）。A、 B、 C、 D【解析】、當(dāng)時，的圖象關(guān)于直線對稱，則圖象如圖所示。這個圖象是個示意圖，事實上，就算畫出的圖象代替它也可以。由圖知，符合要求的選項是B，【練習(xí)1】、若P（2，-1）為圓的弦AB的中點，則直線AB的方程是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：畫出圓和過點P的直線，再看四條直線的斜率，即可知選A）【練習(xí)2】、（07遼寧）已知變量

2、、滿足約束條件，則的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：把看作可行域內(nèi)的點與原點所在直線的斜率，不難求得答案 ，選A。）【練習(xí)3】、曲線與直線有兩個公共點時，的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：事實上不難看出，曲線方程的圖象為，表示以（1，0）為圓心，2為半徑的上半圓，如圖。直線過定點（2，4），那么斜率的范圍就清楚了，選D）【練習(xí)4】、函數(shù)在區(qū)間A上是增函數(shù)，則區(qū)間A是（ ）A、 B、 C、 D、 （提示：作出該函數(shù)的圖象如右，知應(yīng)該選B）【練習(xí)5】、曲線與直線有兩個交點，則的取值范圍是（ ）A、或 B、C、或 D、（提示：作出曲線的圖象如右，因為直線與其有兩個交點，則

3、或，選A）【練習(xí)6】、（06湖南理8）設(shè)函數(shù)，集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：數(shù)形結(jié)合，先畫出的圖象。當(dāng)時，圖象如左；當(dāng)時圖象如右。由圖象知，當(dāng)時函數(shù)在上遞增，同時的解集為的真子集，選C）【練習(xí)7】、（06湖南理10）若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：數(shù)形結(jié)合，先畫出圓的圖形。圓方程化為，由題意知，圓心到直線的距離應(yīng)該滿足，在已知圓中畫一個半徑為的同心圓，則過原點的直線與小圓有公共點，選B。）【練習(xí)8】、（07浙江文10）若非零向量a，b滿足|a-b|=| b |，則（ ）A、|2b| | a-

4、2b | B、|2b| | a-2b |C、|2a| | 2a-b | D、|2a| | 2a-b |（提示：關(guān)鍵是要畫出向量a，b的關(guān)系圖，為此先把條件進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換。|a-b|=| b |a-b|2=| b |2 a2+b2-2a·b= b2 a·（a-2b）=0 a（a-2b），又a-（a-2b）=2b，所以|a|，| a-2b |，|2b|為邊長構(gòu)成直角三角形，|2b|為斜邊，如上圖，|2b| | a-2b |，選A。另外也可以這樣解：先構(gòu)造等腰OAB，使OB=AB，再構(gòu)造ROAC，如下圖，因為OCAC，所以選A。）【練習(xí)9】、方程cosx=lgx的實根的個數(shù)是（ ）

5、A、1 B、2 C、3 D、4（提示：在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)cosx與lgx的圖象，如圖，由兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù)為3，知應(yīng)選C）【練習(xí)10】、(06江蘇7)若A、B、C為三個集合，則一定有（ ）A、 B、 C、 D、（提示：若，則成立，排除C、D選項，作出Venn圖，可知A成立）【練習(xí)11】、(07天津理7)在R上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且。若在區(qū)間1，2上是減函數(shù)，則（ ）A、在區(qū)間-2，-1上是增函數(shù)，在區(qū)間3，4上是增函數(shù)B、在區(qū)間-2，-1上是增函數(shù)，在區(qū)間3，4上是減函數(shù)C、在區(qū)間-2，-1上是減函數(shù)，在區(qū)間3，4上是增函數(shù)D、在區(qū)間-2，-1上是減函數(shù)，在區(qū)間3，4上是減函數(shù)（

6、提示：數(shù)形結(jié)合法，是抽象函數(shù)，因此畫出其簡單圖象即可得出結(jié)論，如下左圖知選B）【練習(xí)12】、（07山東文11改編）方程的解的取值區(qū)間是（ ）A、（0，1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4）（提示：數(shù)形結(jié)合，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，則立刻知選B，如上右圖）二、特值代驗包括選取符合題意的特殊數(shù)值、特殊位置和特殊圖形，代入或者比照選項來確定答案。這種方法叫做特值代驗法，是一種使用頻率很高的方法?！纠}】、（93年全國高考）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（ ）A、12 B、10 C、8 D、【解析】、思路一（小題大做）：由條件有從而，所以原式=，選B。思路二（小題小做）：由知原

7、式=，選B。思路三（小題巧做）：因為答案唯一，故取一個滿足條件的特殊數(shù)列即可，選B。【練習(xí)1】、（07江西文8）若，則下列命題中正確的是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：取驗證即可，選B）【練習(xí)2】、（06北京理7）設(shè)，則（ ）A、 B、 C、 D、（提示：思路一：f（n）是以2為首項，8為公比的等比數(shù)列的前項的和，所以，選D。這屬于直接法。思路2：令，則，對照選項，只有D成立。）【練習(xí)3】、（06全國1理9）設(shè)平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1、b2、b3滿足| bi|=2| ai |，且ai順時針旋轉(zhuǎn)以后與bi同向，其中i=1、2、3則（ ）A、-b1+b

8、2+b3=0 B、b1-b2+b3=0 C、b1+b2-b3=0 D、b1+b2+b3=0（提示：因為a1+a2+a3=0，所以a1、a2、a3構(gòu)成封閉三角形，不妨設(shè)其為正三角形，則bi實際上是將三角形順時針旋轉(zhuǎn)后再將其各邊延長2倍，仍為封閉三角形，故選D。）【練習(xí)4】、若，則的圖象是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：抓住特殊點2，所以對數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，圖象往左移動一個單位得，必過原點，選A）【練習(xí)5】、若函數(shù)是偶函數(shù)，則的對稱軸是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：因為若函數(shù)是偶函數(shù)，作一個特殊函數(shù)，則變?yōu)?，即知的對稱軸是，選C）【練習(xí)6】、已知數(shù)列an的通項公式為an=2n-1，其前n和

9、為Sn，那么Cn1S1+ Cn2S2+ CnnSn=（ ）A、2n-3n B、3n -2n C、5n -2n D、3n -4n（提示：愚蠢的解法是：先根據(jù)通項公式an=2n-1求得和的公式Sn，再代入式子Cn1S1+ Cn2S2+ CnnSn，再利用二項式展開式的逆用裂項求和得解，有些書上就是這么做的！其實這既然是小題，就應(yīng)該按照小題的解思路來求做：令n=2，代入式子，再對照選項，選B）【練習(xí)7】、（06遼寧理10）直線與曲線（）的公共點的個數(shù)是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4（提示：取，原方程變?yōu)椋@是兩個橢圓，與直線有4個公共點，選D）【練習(xí)8】、如圖左，若D、E、F分別是三棱錐S-A

10、BC的側(cè)棱SA、SB、SC上的點，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么平面DEF截三棱錐S-ABC所得的上下兩部分的體積之比為（ ）A、4：31 B、6：23 C、4：23 D、2：25（提示：特殊化處理，不妨設(shè)三棱錐S-ABC是棱長為3的正三棱錐，K是FC的中點，分別表示上下兩部分的體積則，選C）【練習(xí)9】、ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，則的取值是（ ）A、-1 B、1 C、-2 D、2（提示：特殊化處理，不妨設(shè)ABC為直角三角形，則圓心O在斜邊中點處，此時有，選B。）【練習(xí)10】、雙曲線方程為，則的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、或（提示：在選項中選

11、一些特殊值例如代入驗證即可，選D）三、篩選判斷包括逐一驗證法將選項逐一代入條件中進(jìn)行驗證，或者邏輯排除法，即通過對四個選項之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系進(jìn)行排除與確定?！纠}】、設(shè)集合A和B都屬于正整數(shù)集，映射f：把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，則在映射f下，像20的原像是（ ）A、2 B、3 C、4 D、5【解析】、經(jīng)逐一驗證，在2、3、4、5中，只有4符合方程=20，選C?！揪毩?xí)1】、（06安徽理6）將函數(shù)的圖象按向量a=平移以后的圖象如圖所示，則平移以后的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：若選A或B，則周期為，與圖象所示周期不符；若選D，則與 “按向量a=平移” 不

12、符，選C。此題屬于容易題）【練習(xí)2】、（06重慶理9）如圖，單位圓中的長度為，表示與弦AB所圍成的弓形的面的2倍，則函數(shù)的圖象是（ ）22222222A、 B、 C、 D、（提示：解法1 設(shè)，則，則S弓形=S扇形- SAOB=，當(dāng)時，則，其圖象位于下方；當(dāng)時，其圖象位于上方。所以只有選D。這種方法屬于小題大作。解法2 結(jié)合直覺法逐一驗證。顯然，面積不是弧長的一次函數(shù)，排除A；當(dāng)從很小的值逐漸增大時，的增長不會太快，排除B；只要則必然有面積，排除C，選D。事實上，直覺好的學(xué)生完全可以直接選D）【練習(xí)3】、（06天津文8）若橢圓的中心點為E（-1，0），它的一個焦點為F（-3，0），相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)

13、線方程是，則這個橢圓的方程是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：橢圓中心為（-1，0），排除A、C，橢圓相當(dāng)于向左平移了1個單位長度，故c=2，選D）【練習(xí)4】、不等式的解集是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：如果直接解，差不多相當(dāng)于一道大題！取，代入原不等式，成立，排除B、C；取，排除D，選A）【練習(xí)5】、（06江西理12）某地一年內(nèi)的氣溫Q（t）（）與時間t（月份）之間的關(guān)系如右圖，已知該年的平均氣溫為10。令C（t）表示時間段0，t的平均氣溫，C（t）與t之間的函數(shù)關(guān)系如下圖，則正確的應(yīng)該是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：由圖可以發(fā)現(xiàn)，t=6時，C（t）=0，排除C；t=12時，C

14、（t）=10，排除D；t6時的某一段氣溫超過10，排除B，選A。）【練習(xí)6】、集合與集合之間的關(guān)系是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：C、D是矛盾對立關(guān)系，必有一真，所以A、B均假； 表示全體奇數(shù)，也表示奇數(shù)，故且B假，只有C真，選C。此法扣住了概念之間矛盾對立的邏輯關(guān)系。當(dāng)然，此題用現(xiàn)場操作法來解也是可以的，即令k=0，±1，±2，±3，然后觀察兩個集合的關(guān)系就知道答案了。）【練習(xí)7】、當(dāng)時，恒成立，則的一個可能的值是（ ）A、5 B、 C、 D、（提示：若選項A正確，則B、C、D也正確；若選項B正確，則C、D也正確；若選項C正確，則D也正確。選D）【練習(xí)8】

15、、（01廣東河南10）對于拋物線上任意一點Q，點P（a，0）都滿足，則的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：用邏輯排除法。畫出草圖，知a0符合條件，則排除C、D；又取，則P是焦點，記點Q到準(zhǔn)線的距離為d，則由拋物線定義知道，此時ad|PQ|,即表明符合條件，排除A，選B。另外，很多資料上解此題是用的直接法，照錄如下，供“不放心”的讀者比較設(shè)點Q的坐標(biāo)為，由，得，整理得， ，即恒成立，而的最小值是2，選B）【練習(xí)9】、（07全國卷理12）函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：“標(biāo)準(zhǔn)”答案是用直接法通過求導(dǎo)數(shù)解不等式組，再結(jié)合圖象解得的，選A。建議你用代入驗證法進(jìn)行篩

16、選：因為函數(shù)是連續(xù)的，選項里面的各個端點值其實是可以取到的，由，顯然直接排除D，在A、B、C中只要計算兩個即可，因為B中代入會出現(xiàn)，所以最好只算A、C、現(xiàn)在就驗算A，有，符合，選A）四、等價轉(zhuǎn)化解題的本質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，能夠轉(zhuǎn)化下去就能夠解下去。至于怎樣轉(zhuǎn)化，要通過必要的訓(xùn)練，達(dá)到見識足、技能熟的境界。在解有關(guān)排列組合的應(yīng)用問題中這一點顯得尤其重要?！纠}】、（05遼寧12）一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是（ ）A、 B、 C、 D、【解析】問題等價于對函數(shù)圖象上任一點都滿足，只能選A?！揪毩?xí)1】、設(shè)，且sin3+ cos3，則的取值范圍是（ ）A、-

17、，0） B、 C、（-1，0） D、（-，0）（提示：因為sin3+ cos3=（sin+ cos）（sin2- sincos+ cos2），而sin2- sincos+ cos20恒成立，故sin3+ cos3t0,選A。另解：由sin3+ cos3 知非銳角，而我們知道只有為銳角或者直角時，所以排除B、C、D，選A）【練習(xí)2】、是橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上運動，則的最大值是（ ）A、4 B、5 C、1 D、2（提示：設(shè)動點P的坐標(biāo)是，由是橢圓的左、右焦點得，則，選D。這里利用橢圓的參數(shù)方程把問題等價轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題。特別提醒：下列“簡捷”解法是掉進(jìn)了命題人的“陷阱”的）【練習(xí)

18、3】、若，則（ ）。 A、 B、 C、 D、（提示：利用換底公式等價轉(zhuǎn)化。，選B）【練習(xí)4】、且，則（ ）A、 B、 C、 D、（提示：此題條件較多，又以符號語言出現(xiàn)，令人眼花繚亂。對策之一是“符號語言圖形化”，如圖 ，用線段代表立馬知道選C。當(dāng)然這也屬于數(shù)形結(jié)合方法。對策之二是“抽象語言具體化”， 分別用數(shù)字1，4，2，3代表容易知道選C。也許你認(rèn)為對策一的轉(zhuǎn)化并不等價，是的，但是作為選擇題，可以事先把條件“”收嚴(yán)一些變?yōu)椤啊?。【練?xí)5】、已知若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、（提示： 化簡得，在上遞增，而在上單調(diào)遞增，又選B）【練習(xí)6】、把10個相同的小球放入編

19、號為1，2，3的三個不同盒子中，使盒子里球的個數(shù)不小于它的編號數(shù)，則不同的放法種數(shù)是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：首先在編號為1，2，3的三個盒子中分別放入0，1，2個小球，則余下的7個球只要用隔板法分成3 堆即可，有種，選B；如果你認(rèn)為難以想到在三個盒子中分別放入只0，1，2個小球，而更容易想到在三個盒子中分別放入只1，2，3個小球，那也好辦：你將余下的4個球加上虛擬的（或曰借來的）3個小球，在排成一列的7球6空中插入2塊隔板，也與本問題等價。）【練習(xí)7】、方程的正整數(shù)解的組數(shù)是（ ）A、24 B、 72 C、144 D、165（提示：問題等價于把12個相同的小球分成4堆，故在排成一列

20、的12球11空中插入3塊隔板即可，答案為，選D）【練習(xí)8】、從1，2，3，10中每次取出3個互不相鄰的數(shù)，共有的取法數(shù)是（ ）A、35 B、56 C、84 D、120（提示：逆向思維，問題可以等價地看作是將取出的三個數(shù)再插入余下的7個數(shù)的8個空中，那么問題轉(zhuǎn)化為求從8個空位中任意選3個的方法數(shù)，為，選B）【練習(xí)9】、（理科）已知，則= （ ）A、4 B、-5 C、-4 D、5（提示：逆向思維，分母（）一定是存在于分子的一個因式，那么一定有，必然有，且，選B）【練習(xí)10】、異面直線所成的角為，過空間一點O的直線與所成的角等于，則這樣的直線有（ ）條A、1 B、2 C、3 D、4（提示：把異面直線

21、平移到過點O的位置，記他們所確定的平面為，則問題等價于過點O有多少條直線與所成的角等于，如圖，恰有3條，選C）【練習(xí)11】、不等式的解集為，那么不等式的解集為（ ）A、 B、 C、 D、（提示：把不等式化為，其結(jié)構(gòu)與原不等式相同，則只須令，得，選A）五、巧用定義定義是知識的生長點，因此回歸定義是解決問題的一種重要策略?！纠}】、某銷售公司完善管理機制以后，其銷售額每季度平均比上季度增長7%，那么經(jīng)過季度增長到原來的倍，則函數(shù)的圖象大致是（ ）A、 B、 C、 D、【解析】、由題設(shè)知，這是一個遞增的指數(shù)函數(shù)，其中，所以選D?！揪毩?xí)1】、已知對于任意，都有，且，則是（ ）A、奇函數(shù) B、偶函數(shù) C

22、、奇函數(shù)且偶函數(shù) D、非奇且非偶函數(shù)（提示：令，則由得；又令，代入條件式可得，因此是偶函數(shù)，選B）【練習(xí)2】、點M為圓P內(nèi)不同于圓心的定點，過點M作圓Q與圓P相切，則圓心Q的軌跡是（ ）A、圓 B、橢圓 C、圓或線段 D、線段（提示：設(shè)P的半徑為R，P、M為兩定點，那么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常數(shù)，由橢圓定義知圓心Q的軌跡是橢圓，選B）【練習(xí)3】、若橢圓內(nèi)有一點P（1，-1），F(xiàn)為右焦點，橢圓上有一點M，使|MP|+2|MF|最小，則點M為（ ）A、 B、 C、 D、（提示：在橢圓中，則，設(shè)點M到右準(zhǔn)線的距離為|MN|，則由橢圓的第二定義知，從而，這樣，過點P作右準(zhǔn)線的垂直射線與橢圓的交點即為所求M點，知易M，故選A）【練習(xí)4】、設(shè)是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上任意一點，若的最小值為，則