2012年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)重點(diǎn)知識專題講解《幾何圖形的歸納_猜想_證明問題》

1、2012年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)重點(diǎn)知識專題講解第九講 幾何圖形的歸納,猜想,證明問題【知識點(diǎn)詮釋】實(shí)行新課標(biāo)以來，中考加大了對考生歸納，總結(jié)，猜想這方面能力的考察，但是由于數(shù)列的系統(tǒng)知識要到高中才會正式考察，所以大多放在填空壓軸題來出。08年的中考填空壓軸是一道代數(shù)歸納題，已經(jīng)展現(xiàn)出了這種趨勢。09年的一模，二模也只是較少的區(qū)縣出了這種歸納題，然而中考的時候就出了一道幾何方面的n等分點(diǎn)總結(jié)問題。于是今年的一模二模，這種有關(guān)幾何的歸納，猜想問題鋪天蓋地而來，這就是一個重要的風(fēng)向標(biāo)。而且根據(jù)學(xué)生反映，這種問題一般較難，得分率很低，經(jīng)常有同學(xué)選擇+填空就只錯了這一道。對于這類歸納總結(jié)問題來說，思考的方法是

2、最重要的，所以一下我們通過今年的一二模真題來看看如何應(yīng)對這種新題型。第一部分 真題精講【例1】2010，海淀，一模如圖，+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)的面積為，的面積為，的面積為，則= ；=_ （用含的式子表示）【思路分析】拿到這種題型，第一步就是認(rèn)清所求的圖形到底是什么樣的。本題還好，將陰影部分標(biāo)出，不至于看錯。但是如果不標(biāo)就會有同學(xué)誤以為所求的面積是,這種的,第二步就是看這些圖形之間有什么共性和聯(lián)系.首先所代表的三角形的底邊是三角形的底邊,而這個三角形和是相似的.所以邊長的比例就是與的比值.于是.接下來通過總結(jié),我們發(fā)現(xiàn)所求的三角形有一個最大的共性就是高相等,為（連接上

3、面所有的B點(diǎn)，將陰影部分放在反過來的等邊三角形中看）。那么既然是求面積，高相等，剩下的自然就是底邊的問題了。我們發(fā)現(xiàn)所有的B,C點(diǎn)連線的邊都是平行的，于是自然可以得出 自然是所在邊上的n+1等分點(diǎn).例如就是的一個三等分點(diǎn).于是(n+1-1是什么意思?為什么要減1?)【例2】2010，西城，一模在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱邊長為1且頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的正方形為單位格點(diǎn) 正方形，如圖，菱形的四個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，則菱形能覆蓋的單位格點(diǎn)正方形的個數(shù)是_個；若菱形的四個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，（為正整數(shù)），則菱形能覆蓋的單位格點(diǎn)正方形的個數(shù)為_（用含有的式子表示）【思路分析】此題方法比較多，例如第一空直接數(shù)格

4、子都可以數(shù)出是48（笑）。這里筆者提供一種方法，其他方法大家可以自己去想想看。因?yàn)榍蟮氖橇庑伟恼叫蝹€數(shù)，所以只需求出被X,Y軸所分的四個三角形包涵的個數(shù)，再乘以4即可。比如我們來看第二象限那個三角形。第二象限菱形那條邊過（-2n,0）(0,n),自然可以寫出直線解析式為,斜率意味著什么?看上圖,注意箭頭標(biāo)注的那些空白三角形,這些RT三角形一共有2n/2=n個,他們的縱直角邊與橫直角邊的比是不是就是?而且這些直角三角形都是全等的,面積均為兩個單位格點(diǎn)正方形的一半.那么整個的AOB的面積自然就是,所有n個空白小三角形的面積之和為,相減之后自然就是所有格點(diǎn)正方形的面積,也就是數(shù)量了.所以整個菱

5、形的正方形格點(diǎn)就是. 【例3】2010，平谷，一模如圖，過上到點(diǎn)的距離分別為的點(diǎn)作的垂線與相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯形，它們的面積分別為則第一個黑色梯形的面積 ；觀察圖中的規(guī)律，第(為正整數(shù))個黑色梯形的面積 【思路分析】本題方法也比較多樣。所有陰影部分都是一個直角梯形，而因?yàn)?，所以梯形的上下底長度分別都對應(yīng)了垂足到0點(diǎn)的距離,而高則是固定的2。第一個梯形上底是1，下底是3，所以.第二個梯形面積,第三個是,至此,我們發(fā)現(xiàn)本題中梯形面積數(shù)值上其實(shí)就是上下底的和.而且各個梯形的上底都是前一個梯形上底加上4。于是第n個梯形的上底就是1+4(n-1)=4n-3,(第一個梯形的上底1加上(n-1)個4.

6、)下底自然就是4n-1,于是就是8n-4. 【例4】2010，豐臺，一模在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)請你觀察圖中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3每個正方形四條邊上的整點(diǎn)的個數(shù)按此規(guī)律推算出正方形A10B10C10D10四條邊上的整點(diǎn)共有個【思路分析】此題看似麻煩，但是只要把握住“正方形”這個關(guān)鍵就可以了。對于來說,每條邊的長度是2n,那么自然整點(diǎn)個數(shù)就是2n+1，所以四條邊上整點(diǎn)一共有(2n+1)x4-4=8n(個)(要減去四個被重復(fù)算的頂點(diǎn)),于是就是80個.【例5】2010，宣武，一模如圖，ABC中，ACB=90°，AC=BC=

7、1，取斜邊的中點(diǎn)，向斜邊做垂線，畫出一個新的等腰直角三角形，如此繼續(xù)下去，直到所畫直角三角形的斜邊與ABC的BC邊重疊為止，此時這個三角形的斜邊長為_【思路分析】本題依然要找出每個三角形和上一個三角形之間的規(guī)律聯(lián)系。關(guān)鍵詞“中點(diǎn)”“垂線”“等腰直角”。這就意味著每個三角形的銳角都是45度，并且直角邊都是上一個三角形直角邊的一半。繞一圈是360度，包涵了8個45°。于是繞到第八次就可以和BC重疊了，此時邊長為ABC的，故而得解。【例6】2010，門頭溝，一模如圖，以等腰三角形的斜邊為直角邊向外作第個等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的斜邊為直角邊向外作第個等腰直角三角形，如此作下去，若

8、，則第個等腰直角三角形的面積 _（n為正整數(shù)）.【思路分析】和上題很類似的幾何圖形外延拓展問題。還是一樣慢慢找小三角形面積的規(guī)律。由題可得，分子就是1,2,4,8,16這樣的數(shù)列。于是【總結(jié)】幾何圖形的歸納總結(jié)問題其實(shí)就包括了代數(shù)方面的數(shù)列問題，只不過需要考生自己找出圖形與圖形之間的聯(lián)系而已。對于這類問題，首先就是要仔細(xì)讀題，看清楚題目所求的未知量是什么，然后找出各個未知量之間的聯(lián)系，這其中就包括了尋找未知量的拓展過程中，哪些變了，哪些沒有變。最后根據(jù)這些聯(lián)系列出通項去求解。在遇到具體關(guān)系很難找的問題時，不妨先寫出第一項，第二項，第三項然后去找數(shù)式上的規(guī)律，如上面例6就是一例，如果糾結(jié)于幾何圖

9、形當(dāng)中等腰三角形直角邊的平方，反而會使問題復(fù)雜化，直接列出前幾項的面積就可以大膽的猜測出來結(jié)果了。這類題目計算量往往不大，重在思考和分析的方法，還請考生細(xì)心掌握。第二部分 發(fā)散思考【思考1】2009，西城，二模如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以為對角線作第一個正方形，以為對角線作第二個正方形，以為對角線作第三個正方形，如果所作正方形的對角線都在y軸上，且的長度依次增加1個單位，頂點(diǎn)都在第一象限內(nèi)（n1，且n為整數(shù)）那么的縱坐標(biāo)為 ；用n的代數(shù)式表示的縱坐標(biāo)： 【思考2】2009，朝陽，二模如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一顆棋子從點(diǎn)處開始跳動，第一次跳到點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)處，接著跳到點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn) 處，第三次再跳到點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)處，如此循環(huán)下去當(dāng)跳動第2009次時，棋子落點(diǎn)處的坐標(biāo)是 【思考3】2009，昌平,一模對于大于或等于2的自然數(shù)n的平方進(jìn)行如下“分裂”，分裂成n個連續(xù)奇數(shù)的和，則自然數(shù)72的分裂數(shù)中最大的數(shù)是 ，自然數(shù)n的分裂數(shù)中最大的數(shù)是 .13135【思考4】2009，延慶，一模0123xy123一個質(zhì)點(diǎn)在第一象限及軸、軸上運(yùn)動，在第一秒鐘，它從原點(diǎn)運(yùn)動到，然后接著按圖中箭頭所示方向運(yùn)動,即，且每秒移動一個單位，那么第35秒時質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)是_【思考5】2009，海淀，二模如圖，將邊長為的正方形紙片從左到右順次擺放，其對應(yīng)的正方形的中心依次