2013年朝陽區(qū)高三二模數(shù)學(xué)(理科)試題及參考答案

1、北京市朝陽區(qū)高三年級第二次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科測試（理工類） 2013.5第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).（1）已知集合，集合，則=A. B. C. D.（2）若，則實(shí)數(shù)的值為A. B. C. D. 否開始S = 0n = 1S=S+n輸出S結(jié)束是n=n+2（3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸出的結(jié)果是，則判斷框內(nèi)的條件是A.? B.? C.? D.?（4）若雙曲線的漸近線與拋物線有公共點(diǎn)，則此雙曲線的離心率的取值范圍是A. B. C. D.（5）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為俯視圖1側(cè)視圖1正

2、視圖1A. B. C. D.（第5題圖） （第3題圖）（6）某崗位安排3名職工從周一到周五值班，每天只安排一名職工值班，每人至少安排一天，至多安排兩天，且這兩天必須相鄰，那么不同的安排方法有A.種 B.種 C.種 D.種（7）已知函數(shù)，定義函數(shù) 給出下列命題：；函數(shù)是奇函數(shù)；當(dāng)時，若，總有成立其中所有正確命題的序號是A. B. C. D. （8）點(diǎn)是棱長為1的正方體的底面上一點(diǎn)，則的取值范圍是A. B. C. D.第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上. （9）為虛數(shù)單位，計(jì)算 （10）若直線與圓（為參數(shù)）相交于，兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)坐

3、標(biāo)是，則直線的傾斜角為 （11）如圖，切圓于點(diǎn)，割線經(jīng)過圓心，則 ，的面積是 （12）某公司一年購買某種貨物噸，每次都購買噸，運(yùn)費(fèi)為萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為萬元，若要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則每次需購買 噸（13）將一個質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投放在關(guān)于的不等式組所構(gòu)成的三角形區(qū)域內(nèi)，則該質(zhì)點(diǎn)到此三角形的三個頂點(diǎn)的距離均不小于的概率是 （14）數(shù)列的前項(xiàng)組成集合，從集合中任取個數(shù)，其所有可能的個數(shù)的乘積的和為（若只取一個數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），記例如當(dāng)時，；當(dāng)時，.則當(dāng)時， ；試寫出 三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.（15）（本小題滿分13分）在

4、中，所對的邊分別為，且.（）求函數(shù)的最大值；（）若，求b的值（16）（本小題滿分14分）ADBCPEFGH如圖，四邊形是正方形，平面，分別為，的中點(diǎn)（）求證：平面；（）求平面與平面所成銳二面角的大小；（）在線段上是否存在一點(diǎn),使直線與直線 所成的角為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.（17）（本小題滿分13分）為提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某地區(qū)舉辦了小學(xué)生“數(shù)獨(dú)比賽”.比賽成績共有90分，70分，60分，40分，30分五種，按本次比賽成績共分五個等級從參加比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，并把他們的比賽成績按這五個等級進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)表：成績等級ABCDE 成績（分）9070

5、604030 人數(shù)（名）461073（）根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，試估計(jì)從本地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的小學(xué)生中任意抽取一人，其成績等級為“ 或”的概率；（）根據(jù)（）的結(jié)論，若從該地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的小學(xué)生（參賽人數(shù)很多）中任選3人，記表示抽到成績等級為“或”的學(xué)生人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；（）從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，求“這兩個人的成績之差大于分”的概率（18）（本小題滿分13分）已知函數(shù)（），.（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)時，若對任意，恒成立，求的取值范圍.（19）（本小題滿分14分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸的端點(diǎn)分別為，且.（）求橢圓的方程；（）過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，弦的垂直平

6、分線與軸相交于點(diǎn).設(shè)弦的中點(diǎn)為，試求的取值范圍（20）（本小題滿分13分）已知實(shí)數(shù)（）滿足，記（）求及的值；（）當(dāng)時，求的最小值；（）求的最小值（注：表示中任意兩個數(shù),（）的乘積之和.）北京市朝陽區(qū)高三年級第二次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科測試答案（理工類） 2013.一、選擇題：題號（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DBCAA CDD二、填空題： 題號（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案（注：兩空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答題：（15）（本小題滿分13分）解：（）因?yàn)?因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，所以.所以當(dāng)，即時，取得最大值，且最大值為. 6分（）由題意知，所

7、以又因?yàn)?，所以，所以又因?yàn)?，所以由正弦定理得?13分 （16）（本小題滿分14分）（）證明：因?yàn)?分別為，的中點(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面. 4分（）因?yàn)槠矫?，ADBCPEFGHzyx所以平面，所以，.又因?yàn)樗倪呅问钦叫危?如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?所以， 5分因?yàn)椋?分別為，的中點(diǎn)，所以，. 所以，.設(shè)為平面的一個法向量，則,即，再令，得.,.設(shè)為平面的一個法向量,則,即，令，得.所以=.所以平面與平面所成銳二面角的大小為. 9分（）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn),使直線與直線所成角為.依題意可設(shè),其中.由,則. 又因?yàn)?，所以.因?yàn)橹本€與直線所成角為，所以=，即，解得.所以，.所以

8、在線段上存在一點(diǎn),使直線與直線所成角為，此時. 14分（17）（本小題滿分13分）解：（）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，從這30名學(xué)生中任選一人，分?jǐn)?shù)等級為“或”的頻率為 從本地區(qū)小學(xué)生中任意抽取一人，其“數(shù)獨(dú)比賽”分?jǐn)?shù)等級為“ 或”的概率約為3分（）由已知得，隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3 所以；隨機(jī)變量的分布列為0123 所以 9分（）設(shè)事件M：從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，這兩個人的成績之差大于分設(shè)從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，記其比賽成績分別為顯然基本事件的總數(shù)為不妨設(shè)，當(dāng)時，或或，其基本事件數(shù)為；當(dāng)時，或，其基本事件數(shù)為；當(dāng)時，其基本事件數(shù)為；所以所以從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，這兩

9、個人的成績之差大于分的概率為 13分（18）（本小題滿分1 3分）解：（）函數(shù)的定義域?yàn)椋?1分當(dāng)時，當(dāng)變化時，的變化情況如下表： 所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，. 3分當(dāng)時，當(dāng)變化時，的變化情況如下表： 所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. 5分（）依題意，“當(dāng)時，對于任意，恒成立”等價于 “當(dāng) 時，對于任意， 成立”. 當(dāng)時，由（）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以函?shù)的最小值為.所以應(yīng)滿足. 6分因?yàn)?，所? 7分當(dāng)時，函數(shù)，顯然不滿足，故不成立. 8分當(dāng)時，令得，.（）當(dāng)，即時，在上，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增， 所以函數(shù). 由得，所以. 10分（）當(dāng)，即時, 在上，在上，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.由得，所以. 11分（）當(dāng)，即時,顯然在上，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且. 顯然不成立，故不成立. 12分綜上所述，的取值范圍是. 13分（19）（本小題滿分14分）解：（）依題意不妨設(shè)，則，.由，得.又因?yàn)椋獾?所以橢圓的方程為. 4分（）依題直線的方程為. 由得. 設(shè)，則，. 6分所以弦的中點(diǎn)為. 7分所以. 9分直線的方程為，由，得，則，所以. 11分所以. 12分又因?yàn)?，所?所以.所以的取值范圍是. 14分（20）（本小題滿分13分）解：（）由已知得 3分（）設(shè)當(dāng)時，若固定，僅讓變動