常微分方程常見形式及解法ppt課件

1、;.1程常見形式及解法程常見形式及解法知行知行1301;.2微分方程指描述未知函數(shù)的導數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程。微分方程的解是一個符合方程的函數(shù)。而在初等數(shù)學的代數(shù)方程，其解是常數(shù)值。常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知數(shù)是單一自變數(shù)的函數(shù)。最簡單的常微分方程，未知數(shù)是一個實數(shù)或是復數(shù)的函數(shù)，但未知數(shù)也可能是一個向量函數(shù)或是矩陣函數(shù)，后者可對應一個由常微分方程組成的系統(tǒng)。微分方程的表達通式是：常微分方程常依其階數(shù)分類，階數(shù)是指自變數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)，最常見的二種為一階微分方程及二階微分方程。例如以下的貝塞爾方程：（其中y為應變數(shù)）為二階微分方程，其解為貝塞爾函數(shù)。;.3常見例子常見例子以下

2、是常微分方程的一些例子，其中u為未知的函數(shù)，自變數(shù)為x，c及均為常數(shù)。l非齊次一階常系數(shù)線性微分方程：l齊次二階線性微分方程：l描述諧振子的齊次二階常系數(shù)線性微分方程：l非齊次一階非線性微分方程：l描述長度為L的單擺的二階非線性微分方程：;.4微分方程的解微分方程的解l微分方程的解通常是一個函數(shù)表達式（含一個或多個待定常數(shù)，由初始條件確定）。例如：ldy/dx=sinx， l的解是ly=-cosx+C，l其中C是待定常數(shù)；l例如，如果知道l y=f()=2， l則可推出l C=1， l而可知 ly=-cosx+1，;.50102簡易微分方程的求解方法簡易微分方程的求解方法一階線性常微分方程二階

3、常系數(shù)齊次常微分方程;.6一階線性常微分方程一階線性常微分方程l對于一階線性常微分方程，常用的方法是常數(shù)變易法：l對于方程：l可知其通解：l然后將這個通解代回到原式中，即可求出C(x)的值01;.7二階常系數(shù)齊次常微分方程二階常系數(shù)齊次常微分方程l對于二階常系數(shù)齊次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解l對于方程：l可知其通解：l其特征方程：l根據(jù)其特征方程，判斷根的分布情況，然后得到方程的通解l一般的通解形式為(在r1=r2的情況下):l(在的r1r2情況下):l(在共軛復數(shù)根的情況下)：02;.801020304一般通解一般通解可分離方程一般一階微分方程一般二階微分方程線性方程 (最高到

4、n階);.9可分離方程可分離方程01微分方程微分方程解法解法通解通解一階，變量 x 和 y 均可分離分離變量（除以P2Q1）。一階，變量 x 可分離直接積分。一階，變量 y 可分離分離變量（除以 F）。一階，變量 x 和 y 均可分離整個積分。;.10一般一階微分方程一般一階微分方程02微分方程微分方程解法解法通解通解一階，齊次令 y = ux，然后通過分離變量 u 和 x 求解.一階，可分離變量 分離變量（除以 xy）。如果N = M, 解為xy = C.恰當微分, 一階 其中整個積分。 其中 Y(y) 和 X(x) 是積分出來的函數(shù)而不是常數(shù)，將它們列在這里以使最終函數(shù) F(x, y) 滿足初始條件。反常微分, 一階 其中積分變量 (x, y) 滿足 如果可以得到 (x, y)： ;.11一般二階微分方程一般二階微分方程03微分方程微分方程解法解法通解通解二階原方程乘以 2dy/dx, 代換, 然后兩次積分.一階線性，非齊次的函數(shù)系數(shù)積分因子: 二階線性，非齊次的常系數(shù)余函數(shù) yc: 設 yc = ex，代換并解出 中的多項式，求出線性無關(guān)函數(shù) 。特解 yp：一般運用常數(shù)變易法，雖然對于非常容易的 r(x) 可以直觀判斷。