1.2多元極限與連續(xù)ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù),),(),(0時時PUDyxP (也稱為二重極限也稱為二重極限),)(lim0APfPP 記記作作當點當點則稱則稱 A 為函數(shù)為函數(shù)，時時的的極極限限當當),(),(),(00yxyxyxfz ,),(lim00Ayxfyyxx 或或,成成立立-),( Ayxf都有都有若存在常數(shù)若存在常數(shù) A , 對任意正數(shù)對任意正數(shù) , 總存在正數(shù)總存在正數(shù) ,Ayxfyxyx ),(lim),(),(00或或定義定義2. 1 設設 ,),(, ),(Dyxyxfz 的聚點，的聚點，是是 DyxP),(00的的充充分分必必要要條條件件為為：APfPP

2、)(lim0.),(),(000AyxPyxP時時的的極極限限都都是是以以任任何何方方式式趨趨于于點點一、二元函數(shù)的極限一、二元函數(shù)的極限多元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限有很多共性：多元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限有很多共性：“” 運算；運算；極限的變量代換；極限的變量代換； 夾逼準則。夾逼準則。有界變量與無窮小的乘積是無窮小有界變量與無窮小的乘積是無窮小.初等函數(shù)的極限；初等函數(shù)的極限；.01sin)(lim222200 yxyxyx 0sinsinlim1100 xyyxyx1sin3sin)1(lim21 xxyyx 若當點),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，趨于不同值或有的極限不存在，解解:

3、設設 P(x , y) 沿直線沿直線 y = k x 趨于點趨于點 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點在點 (0, 0) 的極限的極限.),(yxf故故則可以斷定函數(shù)極限則可以斷定函數(shù)極限則有則有21kkk 值不同值不同,自變量趨于原點的路徑也不同，極限也不同自變量趨于原點的路徑也不同，極限也不同 !在在 (0,0) 點極限不存在點極限不存在 .以不同方式趨于以不同方式趨于,),(000時時yxP不存在不存在 .例例2.2 討論函數(shù)討論函數(shù)函數(shù)函數(shù)例例 求：求：解解: :這里這里2lim1lim1lim20)2,0(),( yx

4、yexeyxyxyxyyx的定義域為的定義域為D=(x , y)| x0, yR點點P0(0,2)為為D的聚的聚點點由極限運算法則得由極限運算法則得xeyxfxy1),( xexyyx1lim)2,0(),( 11lim1lim00 uexyeuuxyuxyxy因因21lim)2,0(),( xexyyx所所以以二、二、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義2 .2 設設 n 元函數(shù)元函數(shù))(Pf定義在定義在 D 上上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在點如果函數(shù)在如果函數(shù)在 D 上各點處都連續(xù)上各點處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在則稱此函數(shù)在 D 上上,0DP 聚聚點點如果存在如果存

5、在否則稱為不連續(xù)否則稱為不連續(xù),0P此時此時稱為間斷點稱為間斷點 .則稱則稱 n 元函數(shù)元函數(shù)連續(xù)連續(xù).連續(xù)連續(xù), 例如例如, 函數(shù)函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點在點(0 , 0) 極限不存在極限不存在, 又如又如, 函數(shù)函數(shù)11),(22yxyxf上間斷上間斷.122 yx 故故 ( 0, 0 )為其間斷點為其間斷點.在圓周在圓周結論結論: 初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).252141lim22)2, 1(),(xyyxyx例例如如定理定理2.2 （最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理） 一點一點P2，使得，使得f (P1)為最大值而為最大值

6、而f( P2)為最小值，即對為最小值，即對于于)()()(12PfPfPf 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D上的連續(xù)函數(shù)，在上的連續(xù)函數(shù)，在 D上一定有上一定有最大值和最小值這就是說，在最大值和最小值這就是說，在 D上至少有一點上至少有一點P1及及一切一切PD, 有有定理定理2.3介值定理）介值定理）在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必取得介于上的多元連續(xù)函數(shù)，必取得介于最大值和最小值之間的任何值最大值和最小值之間的任何值推論推論 有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域 D上的連續(xù)函數(shù)一定有界上的連續(xù)函數(shù)一定有界內(nèi)容小結內(nèi)容小結例例6 求求xyyxyx 2)2, 1(),(lim23)3 , 1(lim2)2, 1(),( fxyyxyx解解: :函數(shù)函數(shù) 是初等函數(shù)，是初等函數(shù)，xyyxyxf 2),(是是其其定定義義域域中中的的點點，點點)2, 1(0P.11lim00yxyxyx 解解: 原式原式) 11(1) 1(lim200