2011-2012第一學期《數(shù)學建?！愤x修課試題卷及答案(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2011-2012第一學期數(shù)學建模選修課試題卷一、解釋下列詞語，并舉例說明(每小題滿分5分，共15分)1模型模型指為了某種特定目的將原型的某一部分信息簡化、壓縮、提煉而構造成的原型替代物。如地圖、苯分子圖.2數(shù)學模型由數(shù)字、字母、或其他數(shù)學符號組成的，描述現(xiàn)實對象（原型）數(shù)量規(guī)律的數(shù)學結構。具體地說，數(shù)學模型也可以描述為：對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些簡化假設后，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結構稱之為數(shù)學模型.如概率的功利化定義.3抽象模型通過人們對原型的反復認識，將獲取的知識以經(jīng)驗的形式直接存儲在大腦中的模型稱之謂

2、思維模型.如汽車司機對方向盤的操作.二、簡答題（每小題滿分8分，共24分）1模型的分類 按照模型替代原型的方式，模型可以簡單分為形象模型和抽象模型兩類.形象模型：直觀模型、物理模型、分子結構模型等;抽象模型：思維模型、符號模型、數(shù)學模型等。2數(shù)學建模的基本步驟1）建模準備：確立建模課題的過程；2）建模假設：根據(jù)建模的目的對原型進行抽象、簡化。有目的性原則、簡明性原則、真實性原則和全面性原則；3）構造模型：在建模假設的基礎上，進一步分析建模假設的各條款，選擇恰當?shù)臄?shù)學工具和構造模型的方法對其進行表征，構造出根據(jù)已知條件和數(shù)據(jù)，分析模型的特征和模型的結構特點，設計或選擇求解模型的數(shù)學刻劃實際問題的

3、數(shù)學模型.；4）模型求解：構造數(shù)學模型之后，方法和算法，并借助計算機完成對模型的求解；5）模型分析：根據(jù)建模的目的要求，對模型求解的數(shù)字結果，或進行穩(wěn)定性分析，或進行系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度分析，或進行誤差分析等。；6）模型檢驗：模型分析符合要求之后，還必須回到客觀實際中去對模型進行檢驗，看它是否符合客觀實際；7）模型應用：模型應用是數(shù)學建模的宗旨，將其用于分析、研究和解決實際問題，充分發(fā)揮數(shù)學模型在生產(chǎn)和科研中的特殊作用.3數(shù)學模型的作用數(shù)學模型的根本作用在于它將客觀原型化繁為簡、化難為易，便于人們采用定量的方法去分析和解決實際問題。正因為如此，數(shù)學模型在科學發(fā)展、科學預見、科學預測、科學管理、科學

4、決策、駕控市場經(jīng)濟乃至個人高效工作和生活等眾多方面發(fā)揮著特殊的重要作用。數(shù)學不僅是人們認識世界的有力工具，而且對于人的素質(zhì)培養(yǎng)，無論是在自然科學，還是社會科學中都隨時發(fā)生著作用，使其終生受益。特別是，當代計算機科學的發(fā)展和廣泛應用，使得數(shù)學模型的方法如虎添翼，加速了數(shù)學向各個學科的滲透，產(chǎn)生了眾多的邊緣學科。數(shù)學模型還物化于各種高新科技之中，從家用電器到天氣預報，從通信到廣播電視，從核電站到衛(wèi)星，從新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高質(zhì)量、高效率等特點無一不是通過數(shù)學模型和數(shù)學方法并借助計算機的計算、控制來實現(xiàn)的。3、 解答題（滿分20分）B 題 (7n+1, 7n+3)國慶慶

5、典活動的中心廣場有數(shù)萬名學生手持花環(huán)組成大型圖案方陣，方陣前排距觀禮臺120米,方陣縱列95人，每列長度192米，試問第一、二兩排間距多大能夠達到滿意的觀禮效果？解：可以認為從觀禮位置看到的縱列上每個花的部分是一樣的。設觀禮者居高a 米，從觀禮位置看到的縱列上每個花的部分高度為b 米。依題意，每列從第一個人到最后一個人（第95人）有94個間空，列長192米，則每列相鄰二人平均間距約2米。為簡單起見，不妨設位于192米長的隊列中點前后的兩人間隔是2米，則設第一、二排間距為 x米，則于是， （米）D 題 (7n+3, 7n+4)1997年11月8日電視正在播放長江三峽工程大江截流的實況，截流從8:

6、55開始,當時龍口的水面寬40米，水深60米。11:50時，播音員報告水面寬為34.4米，到13:00時，播音員又報告水面寬為31米。這時，電視機旁的某位同學說，現(xiàn)在可以估算下午幾點合龍。從8:55到11:50，進展的速度每小時寬度減少1.9米，從11:50到13:00，進展的速度每小時寬度減少2.9，該同學認為回填速度是越來越快的，近似于每小時速度加快1米。從下午1點起，大約需要5個多小時，即下午6點鐘左右能合龍。因此，該同學上街到書店去買有關三峽工程介紹和數(shù)學建模方面的書籍，但當他坐車返回時，突然從廣播里聽到了大江截流成功的消息，該同學非常后悔沒有看到大江截流成功時的實況，這時他忽然反應過

7、來，趕快看了看手表，此時正好是下午3點30分。請你根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，建立一個合理的數(shù)學模型進行計算，使你的計算結果更切合實際；并幫助該同學分析他出錯的原因，并對該同學應提出那些合理化的建議？解：（1）假設化簡：為簡便計，回填體積可用龍口水流的截面面積代替。假設截面為等腰三角形，那么回填的面積 到11：50 經(jīng)175min回填后，龍口寬為34.3 。設此時水流截面與原截面相似，則此時的水深 滿足 故 =51.6（ ），此時尚待回填的面積： 回填平均速度為： 。到13：00尚待回填的面積：。從11：50到13：00回填的速度為： 比以前的速度加快了。在回填過程中，回填速度是越來越快的。（2）建模與求

8、解：模型一：假設回填速度是等比加速的，加快的比為 ，那么：下午1：002：00回填面積為143 1.336=191.048，2：003：00回填面積為143 =255.24。此時，待回填面積720.75（191.048+255.24）=274.462，需要 便能合龍。因此，自下午1點開始，在需2.8小時，即在下午3點48分即可合龍。模型二：假設回填速度 與水深 成反比，因為水深與待填面積S的關系是 ，所以回填的速度 成反比，即 ，k為常數(shù)，k值可按12：0013：00的v和s的值求出。那時下午：1：002：00回填速度為3：004：00回填的速度為故回填面積為296.33 。所以到下午4：00

9、， 待填面積僅為 可認為已經(jīng)合龍；也就是說，按這一模型估計，下午4點龍口可合龍。比較模型1，2可知模型1的結果更接近于實際。說明建模的合理性有以下兩個評價點：（1）回填速度應以每小時多少立方米填料計算；這樣，能否建立合理的回填速度計算模型便為第一評價要求點。（2）注意到回填的速度是在逐漸的加快；水流截面越慢，水越深，回填時填料被沖走的就越多，相應的的進展速度就越慢，反之就越快。在模型中對回填速度越來越快這一點如何作出較合理的假設，這是第二個評價要點。 四、綜合題（41分）I. 養(yǎng)魚問題(6n+2, 6n+4, 6n+5)我國為支持農(nóng)村經(jīng)濟發(fā)展, 免費提某種魚苗用以支持某地區(qū)養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展。設某地

10、區(qū)有一池塘，其水面面積100100平方米，根據(jù)當?shù)丨h(huán)境測出每平方米養(yǎng)魚不超過1公斤，每公斤魚苗大約有500條，魚可四季生長，每天的生長重量與魚自重成正比，360天可長成成魚，其重量為2公斤，每公斤魚每天需要飼料0.005公斤,給魚池內(nèi)只投放魚苗，池內(nèi)魚的繁殖與死亡均可忽略不計，市場上魚飼料價格0.2元/公斤,此種魚的銷售價格為：每條魚重量（公斤）0.2-0.750.75-1.51.5-20.2每公斤的售價（元）68100請你為一承包戶設計一下最優(yōu)方案. 1. 此承包護承包期為一年；2.此承包護承包期為三年；此承包護承包期為三十年.對養(yǎng)魚問題數(shù)學建模摘要：本文據(jù)題意再結合現(xiàn)實生活中的實際情況，忽

11、略部分次要因素， 建立解決養(yǎng)魚問題的數(shù)學模型。從簡單的側(cè)邊描述和設計了 基本的養(yǎng)育模型：模型： 基本養(yǎng)殖模型，一年賣一次，投放一定數(shù)量的魚讓魚長成 成魚；此模型都從某方面反映了養(yǎng)魚問題。由于養(yǎng)魚問題的復雜性、多變性，我們忽略了部分養(yǎng)魚的因素，并應用線性規(guī)劃和動態(tài)規(guī)劃模型予以解決我們的養(yǎng)魚問題。關鍵詞：養(yǎng)魚模型 線性規(guī)劃 最大利潤一、問題提出設某地有一池塘，其水面面積約為100100，用來養(yǎng)殖某種魚類。在如下的假設下，設計能獲取較大利潤的三年的養(yǎng)魚方案。 魚的存活空間為1kg /； 每1kg魚每天需要的飼料為0.005kg，市場上魚飼料的價格為0.2元/kg； 魚苗的價格忽略不計，每1kg魚苗大

12、約有500條魚； 魚可四季生長，每天的生長重量與魚的自重成正比，360天長為成魚，成魚的重量為2kg；池內(nèi)魚的繁殖與死亡均忽略；若q為魚重，則此種魚的售價為：該池內(nèi)只能投放魚苗。二、問題分析本文主要是設計一個可以獲得最佳的養(yǎng)魚方案，我們知道魚塘的面積，魚的存活空間，不考慮魚的繁殖與死亡，每1kg魚每天需要的飼料以及魚長成成魚的時間以及不同質(zhì)量魚的價格，將魚的價位與魚的養(yǎng)殖時間聯(lián)系起來，構建一個價格體系。但由于養(yǎng)魚問題的復雜性，我們忽略了部分影響?zhàn)B魚的因素，并應用線性規(guī)劃模型予以解決養(yǎng)魚問題。三、模型假設1、該池內(nèi)只能投放魚苗。而且不考慮魚的繁殖與死亡；2、魚可四季生長，每天的生長重量與魚的自重

13、成正比，360天長為成魚，成魚的重量為2kg；3、魚的存活空間為1kg /；每1kg魚每天需要的飼料為0.005kg，市場上魚飼料的價格為0.2元/kg；魚苗的價格忽略不計，每1kg魚苗大約有500條魚4、假設魚在生長過程中沒有出現(xiàn)過變異，每條魚的生長都服從生長系數(shù)。5、假設我們在捕魚的過程中，魚都是新鮮的，可以買到題目所給的價格。6、假設每天捕的魚都能夠正常賣出，沒有魚殘留下來。7、放養(yǎng)魚苗和捕魚在一年四季都能進行，不受時間、季節(jié)的限制。8、放入的魚苗不受個體差異的影響，都能按照題目所給的條件生長，同時放入的魚苗在相同的時間內(nèi)能長到同樣大。9、市場上魚的售價和飼料的售價在三年之內(nèi)沒有發(fā)生變化

14、。四、模型構成與求解符號說明：以下為文本中使用的符號： （1）最初放入的魚的數(shù)量。（2） 魚每天增重的比例。（3）每條魚在養(yǎng)殖t天的條件下需要的飼料費用。（4）每條魚在養(yǎng)殖t天的條件下的重量。（5）M 三年的收益總額。（6）a每天放入的魚苗數(shù)目。（7）每條魚在養(yǎng)殖t天的條件下的重量。五、基本養(yǎng)殖模型 假設將魚苗一次性放入魚塘，等到年終長成成魚是一次性賣出，第二年、第三年都分別按照第一年的方案。 根據(jù)魚塘的容量，等到魚長成成魚時的質(zhì)量為2kg，每條魚的存活空間為1 kg/,則我們設最初放入的魚的數(shù)量為，=10000/2=500(條) 設魚每天增重的比例為，則1000/500=2000 化簡可以得

15、到 = 計算可以求出=0.0191 設養(yǎng)殖t天的條件下每條魚的重量為，則=1/500 設每條魚在養(yǎng)殖t天的條件下需要的飼料費用為= 設三年的收益總額為M，則M= 通過計算可以得出最大利潤為： M= 故在這個模型的狀態(tài)和條件下養(yǎng)魚，三年可以獲得的收益為.2元。六、模型評價此模型是根據(jù)原有的條件假設之下，結合現(xiàn)實生活中的實際情況，忽略部分次要因素，建立解決養(yǎng)魚問題的數(shù)學模型。模型講的是計算出一整年魚塘中可以養(yǎng)的魚的數(shù)量，計算出魚長成成魚后的利潤；這個模型是最基本得模型。不足：但在現(xiàn)實生活中不可取，因為在魚在某段時間內(nèi)還存在一些空間，這樣會有很大的浪費。H，I，J，K，L，M試題分以下幾部分完成1. 論文題目；2. 論文摘要（不得超過300字）3. 關鍵詞（不得少于三個）4. 論文正文：問題提出（按你的理解對所給題目做更清晰的表述）；問題分析（根具問題的性質(zhì)