2011-2012第一學(xué)期《數(shù)學(xué)建?！愤x修課試題卷及答案(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2011-2012第一學(xué)期數(shù)學(xué)建模選修課試題卷一、解釋下列詞語，并舉例說明(每小題滿分5分，共15分)1模型模型指為了某種特定目的將原型的某一部分信息簡化、壓縮、提煉而構(gòu)造成的原型替代物。如地圖、苯分子圖.2數(shù)學(xué)模型由數(shù)字、字母、或其他數(shù)學(xué)符號(hào)組成的，描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象（原型）數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。具體地說，數(shù)學(xué)模型也可以描述為：對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些簡化假設(shè)后，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)稱之為數(shù)學(xué)模型.如概率的功利化定義.3抽象模型通過人們對(duì)原型的反復(fù)認(rèn)識(shí)，將獲取的知識(shí)以經(jīng)驗(yàn)的形式直接存儲(chǔ)在大腦中的模型稱之謂

2、思維模型.如汽車司機(jī)對(duì)方向盤的操作.二、簡答題（每小題滿分8分，共24分）1模型的分類 按照模型替代原型的方式，模型可以簡單分為形象模型和抽象模型兩類.形象模型：直觀模型、物理模型、分子結(jié)構(gòu)模型等;抽象模型：思維模型、符號(hào)模型、數(shù)學(xué)模型等。2數(shù)學(xué)建模的基本步驟1）建模準(zhǔn)備：確立建模課題的過程；2）建模假設(shè)：根據(jù)建模的目的對(duì)原型進(jìn)行抽象、簡化。有目的性原則、簡明性原則、真實(shí)性原則和全面性原則；3）構(gòu)造模型：在建模假設(shè)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析建模假設(shè)的各條款，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和構(gòu)造模型的方法對(duì)其進(jìn)行表征，構(gòu)造出根據(jù)已知條件和數(shù)據(jù)，分析模型的特征和模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)或選擇求解模型的數(shù)學(xué)刻劃實(shí)際問題的

3、數(shù)學(xué)模型.；4）模型求解：構(gòu)造數(shù)學(xué)模型之后，方法和算法，并借助計(jì)算機(jī)完成對(duì)模型的求解；5）模型分析：根據(jù)建模的目的要求，對(duì)模型求解的數(shù)字結(jié)果，或進(jìn)行穩(wěn)定性分析，或進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度分析，或進(jìn)行誤差分析等。；6）模型檢驗(yàn)：模型分析符合要求之后，還必須回到客觀實(shí)際中去對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，看它是否符合客觀實(shí)際；7）模型應(yīng)用：模型應(yīng)用是數(shù)學(xué)建模的宗旨，將其用于分析、研究和解決實(shí)際問題，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)模型在生產(chǎn)和科研中的特殊作用.3數(shù)學(xué)模型的作用數(shù)學(xué)模型的根本作用在于它將客觀原型化繁為簡、化難為易，便于人們采用定量的方法去分析和解決實(shí)際問題。正因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)模型在科學(xué)發(fā)展、科學(xué)預(yù)見、科學(xué)預(yù)測、科學(xué)管理、科學(xué)

4、決策、駕控市場經(jīng)濟(jì)乃至個(gè)人高效工作和生活等眾多方面發(fā)揮著特殊的重要作用。數(shù)學(xué)不僅是人們認(rèn)識(shí)世界的有力工具，而且對(duì)于人的素質(zhì)培養(yǎng)，無論是在自然科學(xué)，還是社會(huì)科學(xué)中都隨時(shí)發(fā)生著作用，使其終生受益。特別是，當(dāng)代計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展和廣泛應(yīng)用，使得數(shù)學(xué)模型的方法如虎添翼，加速了數(shù)學(xué)向各個(gè)學(xué)科的滲透，產(chǎn)生了眾多的邊緣學(xué)科。數(shù)學(xué)模型還物化于各種高新科技之中，從家用電器到天氣預(yù)報(bào)，從通信到廣播電視，從核電站到衛(wèi)星，從新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高質(zhì)量、高效率等特點(diǎn)無一不是通過數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法并借助計(jì)算機(jī)的計(jì)算、控制來實(shí)現(xiàn)的。3、 解答題（滿分20分）B 題 (7n+1, 7n+3)國慶慶

5、典活動(dòng)的中心廣場有數(shù)萬名學(xué)生手持花環(huán)組成大型圖案方陣，方陣前排距觀禮臺(tái)120米,方陣縱列95人，每列長度192米，試問第一、二兩排間距多大能夠達(dá)到滿意的觀禮效果？解：可以認(rèn)為從觀禮位置看到的縱列上每個(gè)花的部分是一樣的。設(shè)觀禮者居高a 米，從觀禮位置看到的縱列上每個(gè)花的部分高度為b 米。依題意，每列從第一個(gè)人到最后一個(gè)人（第95人）有94個(gè)間空，列長192米，則每列相鄰二人平均間距約2米。為簡單起見，不妨設(shè)位于192米長的隊(duì)列中點(diǎn)前后的兩人間隔是2米，則設(shè)第一、二排間距為 x米，則于是， （米）D 題 (7n+3, 7n+4)1997年11月8日電視正在播放長江三峽工程大江截流的實(shí)況，截流從8:

6、55開始,當(dāng)時(shí)龍口的水面寬40米，水深60米。11:50時(shí)，播音員報(bào)告水面寬為34.4米，到13:00時(shí)，播音員又報(bào)告水面寬為31米。這時(shí)，電視機(jī)旁的某位同學(xué)說，現(xiàn)在可以估算下午幾點(diǎn)合龍。從8:55到11:50，進(jìn)展的速度每小時(shí)寬度減少1.9米，從11:50到13:00，進(jìn)展的速度每小時(shí)寬度減少2.9，該同學(xué)認(rèn)為回填速度是越來越快的，近似于每小時(shí)速度加快1米。從下午1點(diǎn)起，大約需要5個(gè)多小時(shí)，即下午6點(diǎn)鐘左右能合龍。因此，該同學(xué)上街到書店去買有關(guān)三峽工程介紹和數(shù)學(xué)建模方面的書籍，但當(dāng)他坐車返回時(shí)，突然從廣播里聽到了大江截流成功的消息，該同學(xué)非常后悔沒有看到大江截流成功時(shí)的實(shí)況，這時(shí)他忽然反應(yīng)過

7、來，趕快看了看手表，此時(shí)正好是下午3點(diǎn)30分。請(qǐng)你根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，建立一個(gè)合理的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算，使你的計(jì)算結(jié)果更切合實(shí)際；并幫助該同學(xué)分析他出錯(cuò)的原因，并對(duì)該同學(xué)應(yīng)提出那些合理化的建議？解：（1）假設(shè)化簡：為簡便計(jì)，回填體積可用龍口水流的截面面積代替。假設(shè)截面為等腰三角形，那么回填的面積 到11：50 經(jīng)175min回填后，龍口寬為34.3 。設(shè)此時(shí)水流截面與原截面相似，則此時(shí)的水深 滿足 故 =51.6（ ），此時(shí)尚待回填的面積： 回填平均速度為： 。到13：00尚待回填的面積：。從11：50到13：00回填的速度為： 比以前的速度加快了。在回填過程中，回填速度是越來越快的。（2）建模與求

8、解：模型一：假設(shè)回填速度是等比加速的，加快的比為 ，那么：下午1：002：00回填面積為143 1.336=191.048，2：003：00回填面積為143 =255.24。此時(shí)，待回填面積720.75（191.048+255.24）=274.462，需要 便能合龍。因此，自下午1點(diǎn)開始，在需2.8小時(shí)，即在下午3點(diǎn)48分即可合龍。模型二：假設(shè)回填速度 與水深 成反比，因?yàn)樗钆c待填面積S的關(guān)系是 ，所以回填的速度 成反比，即 ，k為常數(shù)，k值可按12：0013：00的v和s的值求出。那時(shí)下午：1：002：00回填速度為3：004：00回填的速度為故回填面積為296.33 。所以到下午4：00

9、， 待填面積僅為 可認(rèn)為已經(jīng)合龍；也就是說，按這一模型估計(jì)，下午4點(diǎn)龍口可合龍。比較模型1，2可知模型1的結(jié)果更接近于實(shí)際。說明建模的合理性有以下兩個(gè)評(píng)價(jià)點(diǎn)：（1）回填速度應(yīng)以每小時(shí)多少立方米填料計(jì)算；這樣，能否建立合理的回填速度計(jì)算模型便為第一評(píng)價(jià)要求點(diǎn)。（2）注意到回填的速度是在逐漸的加快；水流截面越慢，水越深，回填時(shí)填料被沖走的就越多，相應(yīng)的的進(jìn)展速度就越慢，反之就越快。在模型中對(duì)回填速度越來越快這一點(diǎn)如何作出較合理的假設(shè)，這是第二個(gè)評(píng)價(jià)要點(diǎn)。 四、綜合題（41分）I. 養(yǎng)魚問題(6n+2, 6n+4, 6n+5)我國為支持農(nóng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展, 免費(fèi)提某種魚苗用以支持某地區(qū)養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展。設(shè)某地

10、區(qū)有一池塘，其水面面積100100平方米，根據(jù)當(dāng)?shù)丨h(huán)境測出每平方米養(yǎng)魚不超過1公斤，每公斤魚苗大約有500條，魚可四季生長，每天的生長重量與魚自重成正比，360天可長成成魚，其重量為2公斤，每公斤魚每天需要飼料0.005公斤,給魚池內(nèi)只投放魚苗，池內(nèi)魚的繁殖與死亡均可忽略不計(jì)，市場上魚飼料價(jià)格0.2元/公斤,此種魚的銷售價(jià)格為：每條魚重量（公斤）0.2-0.750.75-1.51.5-20.2每公斤的售價(jià)（元）68100請(qǐng)你為一承包戶設(shè)計(jì)一下最優(yōu)方案. 1. 此承包護(hù)承包期為一年；2.此承包護(hù)承包期為三年；此承包護(hù)承包期為三十年.對(duì)養(yǎng)魚問題數(shù)學(xué)建模摘要：本文據(jù)題意再結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際情況，忽

11、略部分次要因素， 建立解決養(yǎng)魚問題的數(shù)學(xué)模型。從簡單的側(cè)邊描述和設(shè)計(jì)了 基本的養(yǎng)育模型：模型： 基本養(yǎng)殖模型，一年賣一次，投放一定數(shù)量的魚讓魚長成 成魚；此模型都從某方面反映了養(yǎng)魚問題。由于養(yǎng)魚問題的復(fù)雜性、多變性，我們忽略了部分養(yǎng)魚的因素，并應(yīng)用線性規(guī)劃和動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型予以解決我們的養(yǎng)魚問題。關(guān)鍵詞：養(yǎng)魚模型 線性規(guī)劃 最大利潤一、問題提出設(shè)某地有一池塘，其水面面積約為100100，用來養(yǎng)殖某種魚類。在如下的假設(shè)下，設(shè)計(jì)能獲取較大利潤的三年的養(yǎng)魚方案。 魚的存活空間為1kg /； 每1kg魚每天需要的飼料為0.005kg，市場上魚飼料的價(jià)格為0.2元/kg； 魚苗的價(jià)格忽略不計(jì)，每1kg魚苗大

12、約有500條魚； 魚可四季生長，每天的生長重量與魚的自重成正比，360天長為成魚，成魚的重量為2kg；池內(nèi)魚的繁殖與死亡均忽略；若q為魚重，則此種魚的售價(jià)為：該池內(nèi)只能投放魚苗。二、問題分析本文主要是設(shè)計(jì)一個(gè)可以獲得最佳的養(yǎng)魚方案，我們知道魚塘的面積，魚的存活空間，不考慮魚的繁殖與死亡，每1kg魚每天需要的飼料以及魚長成成魚的時(shí)間以及不同質(zhì)量魚的價(jià)格，將魚的價(jià)位與魚的養(yǎng)殖時(shí)間聯(lián)系起來，構(gòu)建一個(gè)價(jià)格體系。但由于養(yǎng)魚問題的復(fù)雜性，我們忽略了部分影響?zhàn)B魚的因素，并應(yīng)用線性規(guī)劃模型予以解決養(yǎng)魚問題。三、模型假設(shè)1、該池內(nèi)只能投放魚苗。而且不考慮魚的繁殖與死亡；2、魚可四季生長，每天的生長重量與魚的自重

13、成正比，360天長為成魚，成魚的重量為2kg；3、魚的存活空間為1kg /；每1kg魚每天需要的飼料為0.005kg，市場上魚飼料的價(jià)格為0.2元/kg；魚苗的價(jià)格忽略不計(jì)，每1kg魚苗大約有500條魚4、假設(shè)魚在生長過程中沒有出現(xiàn)過變異，每條魚的生長都服從生長系數(shù)。5、假設(shè)我們?cè)诓遏~的過程中，魚都是新鮮的，可以買到題目所給的價(jià)格。6、假設(shè)每天捕的魚都能夠正常賣出，沒有魚殘留下來。7、放養(yǎng)魚苗和捕魚在一年四季都能進(jìn)行，不受時(shí)間、季節(jié)的限制。8、放入的魚苗不受個(gè)體差異的影響，都能按照題目所給的條件生長，同時(shí)放入的魚苗在相同的時(shí)間內(nèi)能長到同樣大。9、市場上魚的售價(jià)和飼料的售價(jià)在三年之內(nèi)沒有發(fā)生變化

14、。四、模型構(gòu)成與求解符號(hào)說明：以下為文本中使用的符號(hào)： （1）最初放入的魚的數(shù)量。（2） 魚每天增重的比例。（3）每條魚在養(yǎng)殖t天的條件下需要的飼料費(fèi)用。（4）每條魚在養(yǎng)殖t天的條件下的重量。（5）M 三年的收益總額。（6）a每天放入的魚苗數(shù)目。（7）每條魚在養(yǎng)殖t天的條件下的重量。五、基本養(yǎng)殖模型 假設(shè)將魚苗一次性放入魚塘，等到年終長成成魚是一次性賣出，第二年、第三年都分別按照第一年的方案。 根據(jù)魚塘的容量，等到魚長成成魚時(shí)的質(zhì)量為2kg，每條魚的存活空間為1 kg/,則我們?cè)O(shè)最初放入的魚的數(shù)量為，=10000/2=500(條) 設(shè)魚每天增重的比例為，則1000/500=2000 化簡可以得

15、到 = 計(jì)算可以求出=0.0191 設(shè)養(yǎng)殖t天的條件下每條魚的重量為，則=1/500 設(shè)每條魚在養(yǎng)殖t天的條件下需要的飼料費(fèi)用為= 設(shè)三年的收益總額為M，則M= 通過計(jì)算可以得出最大利潤為： M= 故在這個(gè)模型的狀態(tài)和條件下養(yǎng)魚，三年可以獲得的收益為.2元。六、模型評(píng)價(jià)此模型是根據(jù)原有的條件假設(shè)之下，結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際情況，忽略部分次要因素，建立解決養(yǎng)魚問題的數(shù)學(xué)模型。模型講的是計(jì)算出一整年魚塘中可以養(yǎng)的魚的數(shù)量，計(jì)算出魚長成成魚后的利潤；這個(gè)模型是最基本得模型。不足：但在現(xiàn)實(shí)生活中不可取，因?yàn)樵隰~在某段時(shí)間內(nèi)還存在一些空間，這樣會(huì)有很大的浪費(fèi)。H，I，J，K，L，M試題分以下幾部分完成1. 論文題目；2. 論文摘要（不得超過300字）3. 關(guān)鍵詞（不得少于三個(gè)）4. 論文正文：問題提出（按你的理解對(duì)所給題目做更清晰的表述）；問題分析（根具問題的性質(zhì)