二階導(dǎo)數(shù)的用法及零點嘗試法

1、二階導(dǎo)數(shù)的用法及零點嘗試法5x2 (a 3)x 1恒成立，求實數(shù)a 2導(dǎo)數(shù)最大的作用是判斷復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性，我們可以很簡單的求一次導(dǎo)數(shù)，然后 通過求導(dǎo)函數(shù)的根，就可以判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而知道函數(shù)的趨勢圖像，不過 這只是最基礎(chǔ)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，在很多題目中我們求一次導(dǎo)數(shù)之后無法求出導(dǎo)函數(shù)的根, 甚至也不能直接看出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，因此無法判斷單調(diào)性，在高考中不管文理都有極 大可能用到二階導(dǎo)數(shù)，雖然文科不談二階導(dǎo)數(shù)，其實只是把一階導(dǎo)數(shù)設(shè)為一個新函數(shù), 再對這個新函數(shù)求導(dǎo)，本質(zhì)上依舊是二階導(dǎo)數(shù)。例 1. f (x) ex 2x2 3x,當(dāng) x 1時，f (x) 2的取值范圍。. 一5 2解析：f (x

2、) -x (a 3)x 12ex 2x2 3x x2 (a 3)x 1,則2x 1 2/e -x 12在 xx1 ,-上恒成立2x 1 2 de -x 1令g(x) 2xx12de (x 1) - x 1 則 g (x) /x令 h(x) ex(x 1)x(ex 1)11當(dāng)x 時，h (x) 0怛成立，即h(x) h()221 所以 g(x) 0, g(x)在1,2)上單調(diào)遞增，肥)(2)2江:二階導(dǎo)的用法：判斷f (x)的單調(diào)性則需判斷f (x)的正負(fù)，假設(shè)f (x)的正負(fù)無法判斷，則把' » ' 、 、 . 、一 . ._.f (x)或者f (x)中不能判斷正負(fù)的

3、部分(通常為分子部分)設(shè)為新函數(shù) g(x),如果通過對g(x)進(jìn)仃求導(dǎo)繼而求取值，右 g(x)min 0或g(x)max 0則可判斷出f (x)的正負(fù)繼而判斷f(x)的單調(diào)性，流程如下圖所示：一階導(dǎo) 數(shù)無法 判斷單但是并不是一階導(dǎo)數(shù)無法求根或者判斷正負(fù)就必須使用二階導(dǎo)數(shù)，有時候適當(dāng)?shù)膶瘮?shù)做一些變形就可以省去很多麻煩，如下題：例2.已知函數(shù)f(x) (x 1)ln x x 1 ,證明：當(dāng)0 x 1時，f (x) 0x 11解析：f (x) In x 1 In x 無法求根也無法判斷正負(fù)xx11 x 1f (x)14J1，令f (x) 0,則 x1x x x、._ "_' 、_

4、. . »_ "_ '、.、.當(dāng)x 1時，f (x)0,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0x1時，f (x) 0, f (x)單調(diào)_ ' _ ' 一一一 _ > 遞減，f (x)minf(1)10,所以f(x)在0x1上單調(diào)遞增即 f(x) f(x)maxf (1) 0但是如果調(diào)整函數(shù)轉(zhuǎn)化為一階導(dǎo)數(shù)并且還出現(xiàn)了一階導(dǎo)數(shù)最小值小于等于零，或一階 導(dǎo)數(shù)最大值大于等于零的時候，則單純的二階導(dǎo)數(shù)將失靈，此時我們采用的是零點嘗 試法，即確定一階導(dǎo)數(shù)的零點的大致位置，如下：對上圖的解讀：零點嘗試法其實是無法求出一階導(dǎo)數(shù)的零點，且通過二階導(dǎo)數(shù)無法得 出需要的一階導(dǎo)數(shù)的最

5、值，此時一般可以根據(jù)二階導(dǎo)的恒正或恒負(fù)來判斷出一階導(dǎo)是 否只有一個零點，若用零點存在性定理能判斷出一階導(dǎo)數(shù)只有一個零點，則設(shè)出這個 零點為x0,但是難點就在這里，因為不知道準(zhǔn)確零點的區(qū)間，因此可能很難找出符合 I一 、，一 、一一 . 一.' '題意區(qū)間的x0,例如確定出x0在某數(shù)之前或某數(shù)之后，但是所設(shè)的x0滿足f (x°)=0,通過這個式子可以得到一個關(guān)于x0的等式，然后所設(shè)的點 x0肯定是原函數(shù)唯一的最值、 、 , . .點，因此若求原函數(shù)的最值則需要結(jié)合f (Xo) 0這個等式，有的時候能求出一個不包含x0的最值或者含有x0一個很簡單的數(shù)或式子，不過此方法并非

6、無敵，若二階導(dǎo)數(shù)和零點嘗試法均失效時，則需考慮你的思考方向是否正確了，關(guān)于零點嘗試法在2017年高考之前各個省份模擬題中經(jīng)常出現(xiàn)，在2017年高考中也出現(xiàn)了，因此這個方法必須作為高考中的備考題型掌握。零點嘗試法應(yīng)用舉例:例3.已知函數(shù)f (x) exln(x m),當(dāng) m2時，證明f (x) 0解析：原題可以理解為當(dāng)m 2 時，f(x)ex ln(x 2)0在定義域內(nèi)恒成立'x 1f(x) extf (x) e(x 2)2所以f1(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,設(shè)在定義域內(nèi)存在x0使得f (x) 0所以(2,x。)時，f (x)(x0,)時，f (x)f(x)minf(x。)ex00,0,f

7、(x)單調(diào)遞減f(x)單調(diào)遞增ln(x0 2)x01(%) e -x02由得f(x)minf (x0)2e 0故當(dāng)m 2時，證明f (x) 0例4.已知函數(shù)f(x) xln x ax ,若對任意x (1,), f (x) k(x 1) ax x恒成立，求正整數(shù)k的值。x ln x x解析：問題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)x (1,)時，k x1nx x恒成立x ln x 2(x 1)2x 1xln x x 設(shè) h(x) , h (x)x 1人1令m(x) x ln x 2, m (x) 1 一 0所以m(x)在je義域內(nèi)單調(diào)遞增xm(x)minm(1)1 (沒有用)注意二階導(dǎo)失靈了m(3) 1 ln3 0, m

8、(4) 2 ln 4 0所以存在 x0 (3,4)使得m(xo) x0 ln x0 2 0'、一.4當(dāng) x (1,X0), m(x) 0, h (x) 0, h(x)單調(diào)遞減當(dāng) x (x0,),m(x) 0, h(x) 0, h(x)單調(diào)遞增h(x)minh(x0)X0 In X0xoxo(lnx0 1)Xo 1x0 1又因為 m(x0) x0 In x0 2(lnx0 1) 0由由得h(x)minh(x0)x0所以 k x0,k 1,2,3例5 ,設(shè)函數(shù)f (x) f(x) g(x) oln(x1) ax2x 1,g(x) (x1)ex2 ax解析：g(x) f (x) (x1)ex

9、ln(x 1)，令 h(x)(x 1)exln( x 1) x 1x xh(x) xe x 1x(ex(x 1)ex1(x 1)2一一 ' . _ » .所以h(x)在(1,)上單調(diào)遞增，h (x)minh (1) lim h (x)x 1(此時二階導(dǎo)失效)因為h(1) 0,h (2) 0且h(x)在(1,)單調(diào)，因此h(x)一個零點設(shè)為x00在定義域內(nèi)有且只有、 » , 當(dāng)x x0時，h(x) 0, h(x)單調(diào)遞增當(dāng)1 x x0時，h (x) 0, h(x)單調(diào)遞減所以 h(x)min h(x0) (Xo 1)ex° ln(x0 1) x0 1xx0h

10、 (X0)X0e 0X0 1聯(lián)立可得h(x)min 0所以 h(x) g(x) h(x) 0,即 f(x)g(x)例6.已知函數(shù)f (x) ex ln(x m),當(dāng)m2時,證明f (x)解析：函數(shù)的定義域為(m, ) , f (x)x 1e , f (x)x m' > , ' > ,、-、 ,_.一，-一一此時£仁)在(m,)上單調(diào)遞增，由于 £(*)在*m處無息乂，因此用極限判斷最小值f'(x)min f'( m) lim (ex 1-) e m lim -1(二階導(dǎo)失靈)xm x mxmxm*目前只知道f'(x)單調(diào)遞增，f'(x)是否有零點不確定，因此還需要判斷f'(x)零點的個數(shù)，令 f (x) ex 1一 0 ,即 m e x x ,設(shè) g(x) e x x , f (x) x m有沒有零點等價于y m和g(x) e x x有沒有交點因為g'(x) ex 1 0, g(x)單調(diào)遞減，因為g( m) em m m, lim g(x) 故可知 y m和 g(x) e x x有一個交點， x即f (x)有一個零點。*f(x)單調(diào)遞增；當(dāng) x x0時,設(shè)f (x)的零點為x0 ,當(dāng)x %時, 一一一f (x) 0, f(x)單調(diào)遞減，所以x又因為f&