二項式定理講學案

1、講學案課題：二項式定理 第一課時設計教師：設計時間：2015.4.2一、教學目標1 .知識與技能：（1）理解二項式定理是代數(shù)乘法公式的推廣.（2）理解并掌握二項式定理，能利用計數(shù)原理證明二項式定理2 .過程與方法：通過學生參與和探究二項式定理的形成過程，培養(yǎng)學生觀察、 分析、概括的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維 方式.3 .情感、態(tài)度與價值觀： 培養(yǎng)學生的自主探究意識，合作精神，體驗二項式 定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，體會數(shù)學語言的簡潔和嚴謹.二、教學重點、難點1 .教學重點：用計數(shù)原理分析（a b）3的展開式，得到二項式定理.2 .教學難點：用計數(shù)原理分析二項式的展開

2、過程，發(fā)現(xiàn)二項式展開成單項 式之和時各項系數(shù)的規(guī)律.三、教學過程（老師在多媒體上展示學案，同學們齊讀）今天我們學習新課二項式定理，我 們的學習目標是： 1、進一步熟悉二項式定理及二項展開式的通項公式，并能靈活的應用2、運用二項式定理的過程中，領會化歸意識與方法遷移的能力（一）公式探究： 師：今天是星期四，再過8天是星期幾？再過 千是星期幾？再過宙天呢？如果是過 夕天呢 生：再過8天是星期五；再過即是星期五；再過天也是星期五，如果是過冷天, 應該也是星期五吧！師：先給同學們吃顆定心丸，星期五是對的，可有誰知道這是為什么？生：這師:沒事，學習完我們今天要學的知識，我想聰明的同學們能告訴你怎么一回事

3、了.板 書（二項式定理）設計感悟：本來的設計是經(jīng)過 學天,再過大，后來覺得那不是這道題的本質(zhì)，用8反而更容易我后面找到周期7埋下伏筆，而且學生馬上算了出來，更容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，事實證明能將學生的興趣激發(fā)出來.師：二項式定理其實就是研究形如（口+旬”如何展開表示.對這個問題我們?nèi)绾蝸硌?究呢？生：（感到茫然）師：我們研究問題時經(jīng)常使用什么方法？對了，就是特殊到一般，一般到特殊.現(xiàn) 在儂+$這種情況是一般還是特殊的？ 生：一般的.師：恩，那如何特殊化呢?生：是不是先令同=2方=3試試看師：很棒哦.這就是先特殊，然后再一般的方法，下面說來說說 9:與。如何展開表 示？生:（舉手并回答）(a +2

4、7;)a = a2 + 2ab+* = C?aa + 9+ C*師：很好哦.那誰來說說斗約，如何表示呢?生:（舉手并回答）s +以= ) + %+3研+ 4=厘、率% +7曲+ 愣師：看來同學們回答都不錯哦！接下來的一個問題是（津斗占），如何展開?生：許多同學拿起筆算了起來，一些同學陷入思考中 師：讓我們回顧剛剛的做法，為什么一些同學很快的寫出超二"3的情形?生：笑.記住的師：（嚴肅地）記住一些數(shù)學公式、定理固然重要，但是更重要的研究問題的方法! 以前你們怎么做的？教學感悟很多學生的學習數(shù)學以文科的方式來進行，不少同學都不進行思考，正 如張奠宙所說，是掐頭去尾燒中段.生：就是寫成的形

5、式，乘一下合并同類項師：對了.就是這種研究方法.我剛剛看到了一些同學用這樣的方法算.數(shù)學家波利亞說過，當遇到一個難題，我們是否可以研究類似的問題，現(xiàn)在我們來模 擬一下.將g+功視作一個容器，出是紅色玻璃球、是藍色玻璃球，如果是 1>+外（q+*'）顯然是從兩個容器中取球的問題.則問題可轉化為在兩個容器中取分 別各一個球，有什么樣的結果？生：只有這樣的三種結果，要么都是紅球、要么一紅一藍，要么都是藍球.師：恩，就是這樣三種結果.如果這樣考慮顯然不怎么妥當，我們可以以藍球為標 準進行分類.這三種結果也就是等價于都不取藍球、只取一個藍球，都取藍球.那 么分別有幾種做法？生:不取藍球的作

6、法是以種，一紅一藍有 酸種，都是藍球的是 片種.師：很好的.如果還原為原式又該如何?生： 一,一 師：恩，如果用這種方法來研究 俗+廣呢.請同學們思考這種模擬如何實現(xiàn)?生上是不是這樣.一一4個容器中有紅（盤）、藍（自）玻璃球各一個，每次從4 個容器中各取一個球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？生*:（一個優(yōu)秀的學生）同樣也按藍球 b進行分類，則有都不取藍（小）球的，恰有1個取藍（S）球，恰有2個取藍（）球，恰有3個取藍（8）球，4都取藍（七）球這五種情況.則從上面4個容器（括號）中，每個都不取藍（）球小的情 況有1種，即片種，/的系數(shù)是以恰有1個取藍（片）球力的情況有C；種，次的 系數(shù)是C：

7、，恰有2個取藍（占）球&的情況有種，/層的系數(shù)是U：，恰有3個取 藍（如 球S的情況有點種，如"勺系數(shù)是al ,有4都取藍（b ）球3的情況有C：種, 爐的系數(shù)是圖,.+, - 一 + ； , + 師：大家說他說得好不好？生：鼓掌，好的！教學感悟對這個問題的處理，是明顯和教材是不相同的.我是先讓學生知道今天 要學習什么，讓學生朝著學習目標進發(fā).然后積極在教學中滲透特殊到一般是思 想.和分類討論思想，特別是學生對為什么要按字母 次或匕進行分類，學生的學習 還不致于陷入混淆的狀態(tài).對于構造實驗進行模擬的效果在本節(jié)課反應顯著.就是 要求我們是教學過程中，要注意把書本的學術形態(tài)轉化為

8、教育形態(tài)師：好了 .那么我們是否能更膽大一些，有了前面的基礎，能不能猜測一下（” + &尸的展開情況？.生：我通過觀察剛剛的式子，認為應該是（a +9爐=CaK + 邑M）師：很好，能否簡要說明一下方法，我請另外一個同學來協(xié)同作戰(zhàn)生：同樣可按b進行分類：每個都不取占的情況有1種，即普種,恰有1個取由的情況有弋種，的系數(shù)是°；,恰有l(wèi)個取6的情況有°；種，的系數(shù)是,：, 有也都取占的情況有°：種，從的系數(shù)是1,g +為漕=c押+中產(chǎn)+cv s三?。煟何覀儼焉鲜鐾瑢W說的公式叫二項式定理. 右邊的多項式叫由戶的二項展開式， 觀察一下這個二項展開式有何特點的特點

9、生：都是正次式，師：說成n次齊次式更好！生：展開式各項的系數(shù)組合數(shù)的上標逐漸增加：&的次數(shù)逐漸減小，從焜T 口，分的次數(shù)逐漸增加，從：，,生：它有為+1項.師：上述同學歸納得不錯，我們規(guī)定二項展開式中各項的系數(shù)彳（廠二°內(nèi)）叫二項式系數(shù).同時要注意以c；0' 二 °J刈為項數(shù)的標志，也就是說二項展開式是有序 的，不能隨意顛倒的.師：在二項展開式中，我們有時研究它的全部項沒有必要，只要研究它的某一項， 在這修+ 1中，我們選出一個代表來.就是我國的人民代表大會一樣，從十幾億人中 選出2千個左右的代表，他當然要代表廣大人民群眾性的意志.那么大家認為哪一 項更能代

10、表呢？生：用第n項如何？好象數(shù)列的通項一樣，含有 n.師：大家覺得怎么樣？生：不行，應該是師：為什么不行呢.生：書上是這樣的.師：要有自己的思考哦！生：因為那樣的話對如果有色的情況顯然不能表示.師：有道理！那么為什么要用筵/一”呢.我們來重新寫一下（a=3+C/，+yb垃+建曠）顯然如果用第尸項是多少？產(chǎn)"TQtH工F 生：，口方.師：第尸+1項呢.生：牛,師：第廠+ 2項呢？工川生：八 ,師：大家說用什么表示更好呢！有什么理由？生：用C力方,表示更好.比較簡捷！師：很好，這就是數(shù)學美的簡潔美，不過他是第 廠十1項，不是第干項，也算是它是 一個缺點吧！須用4+1表示，即通項丁，八&q

11、uot;7b“ 正好象我國古代四大美人有每 個都有一個缺點一樣呀.生：叫它美人公式如何？師：哈哈，當然可以.教學感悟對通項的領悟比較常用的做法是直接告訴學生那就是通項，根本不講為 什么選它當通項，通過發(fā)揮學生的潛能，讓學生自主歸納，學生領悟到數(shù)學美，并 將美人公式記住，知道那個缺點就是不是IT項，而是第廠十1項，這樣學生如果在 使用過程中能回想起老師、同學的話，就能達到正確使用公式的目的.（二）公式應用：下面我們做一下練習.師：課件展示：例1.展開（勿土劭'；例2.展開QT）”生：練習，板演.設計感悟在這個環(huán)節(jié)中我把主要的精力放在讓學生學會展開，將 2厘當作定理中的 巴將給當作定理中的

12、占，體現(xiàn)一種換元的思想，尤其是對例2的設置不拘泥教材.教(1 +)*Q 6-材是這樣的例1是展開 X ，例2更麻煩展開,我覺得放于第一課時是不妥的，放在以后的習題課會好些.師：同學們做得不錯.能較好的使用二項式定理.下面我有個問題要問大家.請大家看這位同學的題目.(用手指指出)(2a *3“ = Cf (4+螃(勿)*(如| +上04(36)，+CJ 函 +C：”對= 1+96 + 216 口 + 21 加鋁 + S1A4現(xiàn)在問一個問題.對于小項的系數(shù)是多少，不項的二次項系數(shù)是多少？課件展開問 題.生：是16,是，:;爭論之聲四起師：大家考慮一下.最終哪出一個定論來.請同學們看問題有什么不同？

13、過了一段時間生：應該是這樣小項的系數(shù)是16. 小項的二次項系數(shù)是師：板書項的系數(shù)與二次項的系數(shù).問大家在初中時學過什么是單項式的系數(shù)嗎？生：比如師：要用數(shù)學概念比較好，你用的描述性定義.單項式的系數(shù)是指單項中所含的數(shù) 字因數(shù)叫單項式的系數(shù)，我們考慮這個二項展開式的其中一項，其實就是單項式中 的項數(shù).而二項式系數(shù)是規(guī)定組合數(shù)的 圖，當然是,；，所以我們在以后解題中要 小心審題，正所謂：生：差之毫厘，謬之千里也！最后出一道例題使用一下通項公式.師：出示課件例3.求(工*”的展開式中的倒數(shù)第4項，生：完成的效果較好.最后由一個同學來歸納今天學到的知識和數(shù)學思想方法.師：最后大家來回答我們上課提到的問

14、題，為什么過 于大也是星期五呢?生：（數(shù)學課代表）老師，我知道了.將 天看作（7 + 1）” ,然后展開，這時，前面的 每一項均含有7,都可被7整除，只有最后一項不含7,就是最后余1.顯然是星期師：太好了.終于功德圓滿了，很棒哦！不過我還想提一個問題，大家知道被3整除數(shù)的特征是什么？恩對了.就是其和能被 3整除，那么用我們今天學的知識，你 能告訴我這是為什么嗎？ 設計感悟主要是讓學生帶著問題進入課堂，又帶著問題走出課堂，這樣學生興趣 之火也才能越燒越旺.（三）當堂檢測（10分鐘）：1 .寫出（1 q）7的展開式（解略）2 .寫出（1 人的展開式（略）3 .寫出（aW的展開式（略）4 .求（2a 3b）b展開式中的第3項解：T3 C2（2a）4（3b）2 15（16a2）（9b2） 2160a4b25 .求（3b 2a）b展開式中的第3項24242 4用牛.T3 C6（3b） （2a）15（81b ）（4a） 4860a b師：比較第3、4題的解法，求二項展開式的某一項時要注意什么？生：公式中的a、b不能互換.師：對.求整個展開式，a、b可以互換，但求某一項時，a、b不能互換.師：第4題中第3項的二項式系數(shù)是多少？該項的系數(shù)是多少？兩者相同嗎？