全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽試題

1、【2012第九屆全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽B題】基于衛(wèi)星無源探測的空間飛行器主動段軌道估計與誤差分析有些國家會發(fā)射特殊目的的空間飛行器，如彈道式導(dǎo)彈、偵察衛(wèi)星等。對他國發(fā)射具有敵意的空間飛行器實(shí)施監(jiān)控并作出快速反應(yīng)，對于維護(hù)國家安全具有重要的戰(zhàn)略意義。發(fā)現(xiàn)發(fā)射和探測其軌道參數(shù)是實(shí)現(xiàn)監(jiān)控和作出反應(yīng)的第一步，沒有觀測，后續(xù)的判斷與反應(yīng)都無從談起。衛(wèi)星居高臨下，是當(dāng)今探測空間飛行器發(fā)射與軌道參數(shù)的重要平 臺。觀測衛(wèi)星按軌道特點(diǎn)，可分為高軌地球同步軌道衛(wèi)星和中低軌近圓軌道衛(wèi)星。其中同步軌道距地球表面約 3.6萬千米，軌道平面與地球赤道平面重合，理論上用3顆間隔120度分布的同步軌道衛(wèi)星可覆蓋地球絕大部分表

2、面。中低軌近圓軌道距地球表面數(shù)百 到幾千千米不等，根據(jù)觀測要求，其軌道平面與赤道平面交成一定角度，且常由若干顆衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)組網(wǎng)探測。裝置于衛(wèi)星上的探測器包括有源和無源兩類：有源探測器采用主動方式（如雷達(dá)，激光）搜尋目標(biāo)，同時具備定向和測距兩種能力；無源探測器則被動接 收目標(biāo)輻射。采用無源探測器的觀測衛(wèi)星常采用紅外光學(xué)探測器，只接收目標(biāo)的紅外輻射信息，可定向但不能測距。對于火箭尾部噴焰的高度敏感性是紅外技術(shù)的長處，但易 受氣候影響與云層干擾則是其缺點(diǎn)。探測的目的是為了推斷空間飛行器的軌道參數(shù)，推斷是基于觀測數(shù)據(jù)并通過數(shù)學(xué)模型與計算方法作出的。當(dāng)觀測衛(wèi)星飛行一段時間，探測器測得目標(biāo)相對于運(yùn)動衛(wèi)星的觀

3、測數(shù)據(jù)，以觀測衛(wèi)星和空間飛行器的運(yùn)動模型和觀測模型為基礎(chǔ)，對空間飛行器的軌道參數(shù)（包括軌道位置、速度初值和其他模型參數(shù)）進(jìn)行數(shù)學(xué)推斷，為飛行器類別、飛行 意圖的判斷提供信息基礎(chǔ)。空間飛行器軌道一般可分為三段，依次為：靠火箭推進(jìn)的主動段、在地球外層空間 的慣性飛行段和再入大氣層后的攻擊段。主動段通常由多級火箭相繼推進(jìn)， 前一級火箭完成推進(jìn)后脫落，由后一級火箭接力。慣性飛行段在空氣阻力極小的大氣層外，靠末級 火箭關(guān)機(jī)前獲得的速度在橢圓軌道上作無動力慣性飛行。攻擊段則根據(jù)任務(wù)需求，受控制后再入大氣層，飛向目標(biāo)。對于衛(wèi)星而言，在其壽命結(jié)束前一直繞地飛行，故無攻擊 段。圖1是空間飛行器的主動段示意圖 （

4、未按實(shí)際比例）。主動段又可細(xì)分為若干子段： 垂直上升段，程序拐彎段和重力斜飛段。按最優(yōu)軌道設(shè)計，為節(jié)約燃料，箭體應(yīng)盡快穿過稠密大氣層，故火箭一般先垂直發(fā)射。 設(shè)A點(diǎn)為地面發(fā)射點(diǎn)，AB為垂直上升段，BC 弧段為程序拐彎段，CD弧段為重力斜飛段，DE弧段為橢圓軌道。程序拐彎段連接垂 直上升段與重力斜飛段，在外力矩控制下使箭體轉(zhuǎn)過一定角度，該段完成后外加力矩撤銷，進(jìn)入斜飛狀態(tài)。第一級火箭通常負(fù)擔(dān)“垂直段+程序拐彎段（加外力矩）+重力斜飛段的前段”的推進(jìn)（視發(fā)動機(jī)的特性），重力斜飛段的后程則靠第二、第三級火箭相繼完成。由于斜飛狀態(tài)下地球引力與推力不在同一直線,所以箭體質(zhì)心的運(yùn)動軌跡為帶定弧度的光滑曲線

5、。垂直段緯線赤道平面圖1空間飛行器主動段軌道的示意圖為描述觀測衛(wèi)星和空間飛行器的運(yùn)動，需要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。 本題基礎(chǔ)坐標(biāo)系為隨地心平移的坐標(biāo)系，取地球中心 0c為原點(diǎn)，地球自轉(zhuǎn)軸取為 z軸，指向北極為正向， x軸由0c指向零時刻的0經(jīng)度線，再按右手系確定 y軸，建立直角坐標(biāo)系0c XcYcZc。 地心0c在繞日橢圓軌道上運(yùn)動，所以理論上 0c XcYcZc系是非慣性系。但地球公轉(zhuǎn)周 期遠(yuǎn)大于空間飛行器的觀測弧段時長，故本題在短時間內(nèi)認(rèn)定該系為慣性坐標(biāo)系，該基礎(chǔ)坐標(biāo)系不隨地球旋轉(zhuǎn)。圖2觀測坐標(biāo)系示意圖第二個坐標(biāo)系是隨衛(wèi)星運(yùn)動的觀測坐標(biāo)系Os XsYsZs,見圖2,原點(diǎn)取為衛(wèi)星中心Os, Xs軸

6、沿OcOs連線，離開地球方向?yàn)檎?，Zs軸與Xs垂直指向正北，Ys軸按右手系確定。由于一般測量衛(wèi)星的軌道都不會嚴(yán)格經(jīng)過南北極上空，所以這種坐標(biāo)系的定義是明確的。如此定義的觀測坐標(biāo)系也叫做 UEN坐標(biāo)系，因?yàn)槿齻€坐標(biāo)軸分別指向上 (UP)、東(EAST)和北(NORTH )三個方向。根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)，空間飛行器在基礎(chǔ)坐標(biāo)系下的主動段的簡化運(yùn)動方程如下：rr gFe Ft普|r(t)r ,其中向量Fe表示飛行器所受的外力加速度之和,r ,Ft表木火箭產(chǎn)生的推力加速度,(1)m(t)為瞬時質(zhì)量；m<t)是質(zhì)量變化率；r(t)為空間飛行器在基礎(chǔ)坐標(biāo)系下的位置矢量；傲t)表示r(t)對時間t的

7、二階導(dǎo)數(shù)，即加速度；Gm為地球引力常數(shù)(本題中地球引力常數(shù)r取Gm 3.986005 10 m /s )，為了更明確地表水推力加速度的萬向，v(t)取的是燃料相對于火箭尾部噴口的噴射速度的逆矢量方程(1)中如果只保留右側(cè)第一項(xiàng)，則可以表示觀測衛(wèi)星的簡化運(yùn)動方程:得t)Fe-rGmr(t)(2)在給定基礎(chǔ)坐標(biāo)系下的位置和速度初值情況下，可以利用常微分方程組數(shù)值解方法計算空間飛行器的運(yùn)動軌跡。不同空間飛行器的本質(zhì)差異就在于Vr(t)和m(t)的模型不同，m(t)一般而言應(yīng)為嚴(yán)格單調(diào)遞減的非負(fù)函數(shù)。Vr(t)的方向一般應(yīng)與飛行器的速度方向接近或相同，其大小一般較為穩(wěn)定。觀測衛(wèi)星對于空間飛行器的觀測數(shù)

8、據(jù)通過化簡可以由觀測坐標(biāo)系下的兩個無量綱比值確定：叢.Z(3);XsXs其中Xs,ys,zs為空間飛行器在觀測坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。觀測數(shù)據(jù)不可避免地帶有各種誤差，觀測誤差包括隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差。本題假設(shè)隨機(jī)誤差為直接疊加在觀測數(shù)據(jù)上的白噪聲，可能產(chǎn)生于背景輻射干擾與信息處理等多個方面。系統(tǒng)誤差也包括多種來源，如衛(wèi)星定位誤差、指向機(jī)構(gòu)誤差、圖像校準(zhǔn)誤差、傳感器安裝誤差等等。在本題框架內(nèi)，我們假定只考慮與衛(wèi)星平臺相關(guān)的系統(tǒng)誤差，即不同觀測衛(wèi)星的系統(tǒng)誤差相互沒有關(guān)聯(lián)，同一觀測衛(wèi)星對于不同空間飛行器的系統(tǒng)誤差 是一樣的。經(jīng)由適當(dāng)?shù)暮喕Ｐ?，各種系統(tǒng)誤差最終可以折合為觀測坐標(biāo)系的原點(diǎn)位置 誤差和三軸指向誤差

9、。 根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，原點(diǎn)位置誤差影響較小，而三軸指向誤差影響較 大，對三軸指向誤差進(jìn)行估計對于提高估計精度很有幫助，本題只考慮三軸指向誤差。三軸指向誤差在二維觀測數(shù)據(jù)平面上表現(xiàn)為兩個平移誤差和一個旋轉(zhuǎn)誤差，具體可以用三個常值小量d ,d ,d來表示，分別表示第一觀測量的平移量、第二觀測量 的平移量以及觀測量在平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)量。單個紅外光學(xué)探測器不具備測距能力，但借助多顆（含兩顆）觀測衛(wèi)星的同步觀測能夠進(jìn)行逐點(diǎn)定位，再結(jié)合空間飛行器的運(yùn)動模型，可以進(jìn)行軌道參數(shù)估計。在單星觀 測條件下，利用空間飛行器軌道的特殊性，結(jié)合較強(qiáng)的模型約束也可得到一定精度軌道 參數(shù)估計。由于受大氣影響，垂直上升段的火箭尾焰不

10、易觀測，程序拐彎段的運(yùn)動方程 又較為復(fù)雜，所以本題重點(diǎn)關(guān)注重力斜飛段的后程段，本題所附仿真數(shù)據(jù)也集中于此段。本題以中低軌近圓軌道衛(wèi)星為觀測星座對假想的空間飛行器進(jìn)行仿真觀測，生成仿真觀測數(shù)據(jù)，要求利用仿真觀測數(shù)據(jù)，對假想空間飛行器的軌道參數(shù)進(jìn)行估計。本題所 附文件包括：參數(shù)文件satinfo.txt用來存儲觀測衛(wèi)星信息，每行表示一顆衛(wèi)星，包含六列，分別 表示零時刻衛(wèi)星在基礎(chǔ)坐標(biāo)系下的位置和速度x, y, z,雙略z。衛(wèi)星編號從上到下遞增并從0開始。仿真數(shù)據(jù)文件meadata_i_j.txt用來存儲仿真觀測數(shù)據(jù)信息。i、j為占位符，表示編 號為i的衛(wèi)星對編號為j的飛行器的仿真觀測數(shù)據(jù)信息，按照時

11、間順序分行，每行分三 列，分別是觀測時刻t以及對應(yīng)觀測數(shù)據(jù)，。本題所涉及的數(shù)據(jù)與結(jié)果，均應(yīng)采用國際標(biāo)準(zhǔn)單位，即：時間單位為秒、距離單位 為米、速度單位為米每秒等等；所有位置和速度均指基礎(chǔ)坐標(biāo)系下的位置和速度。在僅考慮隨機(jī)誤差的條件下，請你們團(tuán)隊(duì)研究下列問題：1 .觀測衛(wèi)星在任意時刻的位置計算是估計的前提，請根據(jù)satinfo.txt和觀測衛(wèi)星的簡化運(yùn)動方程（2）,計算09號觀測衛(wèi)星在50.0s、100.0s、150.0s、200.0s、 250.0s五個時刻的三維位置。結(jié)果保留6位有效數(shù)字。2 .在本題給定的仿真數(shù)據(jù)下，06號和09號觀測衛(wèi)星對0號空間飛行器形成了立 體交疊觀測，請結(jié)合立體幾何

12、知識按逐點(diǎn)交匯定位的思路，給出 0號空間r飛行器在公式（1）框架下的軌道估計，注意選取適當(dāng)?shù)?Vr（t）和m（t）的表不 模型。按照從50.0s到170.0s間隔10.0s進(jìn)行采樣，計算并列表給出 0號空間 飛行器在各個采樣點(diǎn)的位置和速度，并給出估計殘差。結(jié)果保留6位有效數(shù)字。同時繪制0號空間飛行器的三個位置 t-x、t-y、t-z和三個速度t-vx、t-vy、 t-vz曲線示意圖。在同時考慮系統(tǒng)誤差的條件下，進(jìn)一步研究下列問題：3 .若06和09號兩顆觀測衛(wèi)星均有可能帶有一定的系統(tǒng)誤差，對系統(tǒng)誤差進(jìn)行正確的估計能夠有效提高精度。利用上述的逐點(diǎn)交匯方法能否同時對系統(tǒng)誤差進(jìn) 行估計？若不能，是否還有其他的思路能夠同時估計系統(tǒng)誤差與軌道？給出你 的解決方案與估計結(jié)果。 在報告中除給出與第二問要求相同的結(jié)果外，還應(yīng)分別給出兩顆觀測衛(wèi)星的系統(tǒng)誤差估計結(jié)果，共六個數(shù)值，分別是兩顆衛(wèi)星的d , d , d。如果你們還有時間和興趣，還可考慮下列：4 .對只有09號觀測衛(wèi)星單星觀測的 01號空間飛行器進(jìn)行軌道估計，結(jié)果形式 要求同第三問，注意參考第三問的系統(tǒng)誤差估計結(jié)果。并進(jìn)一步考慮在同時有多顆觀測衛(wèi)星觀測多個空間飛行器的情況下能否聯(lián)合進(jìn)行系統(tǒng)誤差估計？本題要求提供可計算出所提交報告中答案的計算程序，所使用的語言和工具不限， 但推薦使用 CC+、Fortran、Matlab、Mathematic