初中數(shù)學(xué)平面幾何題20道

1、1、三角形ABC中,AD為中線，P為AD上任意一點(diǎn)，過p的直線交 AB于M.交ac于N,若AN=AM 求證 PM/PN=AC/AB證明：過P點(diǎn)作BC的平行線交 AB,AC分別于M,N點(diǎn)；再分別過 M,M兩點(diǎn)分別作 AC的 平行線分別交AD（或延長線）于 P,A兩點(diǎn)。由 MN平行 BC 得：AC/AN=AB/AM,即 AC/AB=AN/AM.且 MP=NP由三角形 ANP全等三角形 AMP得：MA=AN.所以，AC/AB=AM/AM由三角形 AMA相似三角形 AMP得：AM/AM=MP/AM,即 AM/AM=MP/AM所以：AC/AB=MP/AM由三角形MPP相似三角形ANP得：MP/AN=MP

2、/PN而 AN=AM所以：MP7AM=MP/PN1題圖所以：AC/AB=MP/PN2題圖2、在三角形 BCD43 ,BC=BD,延長BC至A,延長BD至E,使AC=BE連接AD,AE,AD=AE,求BCD 為證明：過點(diǎn) A作CD的平行線交 BE的延長線于F點(diǎn)。則/ BDC= / F= / BCD= /A,即/ A=Z F.又因?yàn)椋核倪呅?AFDC是梯形所以：AC=DF=FE+DE而 AC=BD+DE所以：BD=FE又因?yàn)椋篈D=AE, / BDA= / FEA所以：三角形 ABD和三角形AFE全等所以：/ B=/F所以：/ B= Z BCD= Z BDC=60所以：三角形BCD是等邊三角形。3

3、、三角形ABC中若圓O在變化過程中都落在三角形 ABC內(nèi)（含相切），A為60度,AC為8,AB 為10,X為未知數(shù)，是AE的長.圓O與AB,AC相切，圓O與AB的切點(diǎn)為E, X的范圍是？ 解：如圖，當(dāng)元 O與三角形ABC三條邊都相切時(shí)，x的值最大。此時(shí)：過B作BD垂直AC,則可求得 BD=5(/3),DC=3根據(jù)勾股定理求得 BC=2 21)設(shè)元O與邊AB,BC,CA的切點(diǎn)分別為 E,F,G,且AE=x,BE=y,CF=z,則有方程組: x+y=10,x+z=8,y+z=2( V 21),解這個(gè)方程組得：x=9- (，21)因此：x的范圍是(0, 9-V21 4、已知三角形 ABE中C、D分別

4、為AR BE上的點(diǎn)，且 AD=AE三角形BCM等邊三角形, 求證 BC+DE=AC證明：過D點(diǎn)作BE的垂線DF,交AB于F點(diǎn)，過A點(diǎn)作BE的垂線AH,H是垂足，再過 點(diǎn)作AH的垂線FG,G是垂足。貝U:四邊形 DHGF是矩形，有 FG=DH. 而由 ADE是等腰三角形得知 DH=HE, 所以：FG=(1/2)DE.又由于角B=60 ,所以：/ BAH=30所以：FG=(1/2)AF所以：AF=DE而在直角 BDF中，由于/ B=/BDC=60 所以：/ CDF=/CFD=30所以：CF=CD=BC所以：BC+DE=CF+AF 即：BC+DE=AC5、已知在三角形 ABC中,AD是BC邊上的中線

5、，E是AD上的一點(diǎn),且BE=AC延長BE交AC與F,求證 AF=EF證明：如圖，連接 EC,取EC的中點(diǎn)G,AE的中點(diǎn)H,連接DG,HG則：GH=DG所以：角1 = 7 2,而/ 1=74, / 2=/3=/5所以；/ 4=/5所以：AF=EF.6、在4ABC中，D是BC邊中點(diǎn)，O是AD上一點(diǎn)，BO,CO 的延長線分別交 AC,AB于E,F 求證：EF平行BC。證明：分別過 B,C兩點(diǎn)作AD的平行線分別交 CF,BE的延長線于 M,N兩點(diǎn)。則： 四邊形MBCN是平行四邊形。由MB | AO II CN,得：OF/FM=OA/BM,OE/EN=OA/CN.（相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例）而 BM=CN

6、所以：OF/FM=OE/EN所以：MN | EF而 MN | BC所以：EF | BC.7、已知：在 ABC 和 ABC中，AB=AB, AC=AC.AD , AD分別是 ABC 和 ABC 的中線，且 AD=AD.求證： ABCA ABC證明：分別過 B,B點(diǎn)作BE | AC,BE | AC.交AD,AD的延長線于 E,E點(diǎn)。則：ADC0EDB, AADCEDB所以：AC=EB,AC=EB ; AD=DE, AD=DE.所以：BE=BE, AE=AE所以： ABEA ABE所以：角 E=/E 角 BAD= H BAD所以：角BAC=角BAC所以： ABCA ABC8、四邊形 ABCM菱形，E

7、,F 為 AB,BC的中點(diǎn)，EPl CR / BAD= 110o,求/ FPC勺 度數(shù)解：連接BD,交AC于O點(diǎn)，過A作CD的垂線，垂足為 G,過O作BC的平行線交 CD于H. 因?yàn)椋航?DAB=110 , / GAB=90 所以：/ DAG=20 。由/AOD=/AGD=90 知 AOGD 四點(diǎn)共元，所以/ DOG= Z DAG=20由 OH | BC | AD 知：/ HOC= / DAC=(1/2) / BAD=55所以：/ GOH=90 -20 -55 =15而：/ OHG= / BCD=110所以：/ OGH=180 -15 -110 =55由于：不難證明/ FPC=/OGH (過程

8、略)所以：/ FPC=559、已知：E是正方形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，且/ DAE= ZADE=15 ,求證： EBC是等邊三角形證明：過E點(diǎn)作AB的平行線EP,交BC于P點(diǎn)，交AD于Q點(diǎn)，以D為角頂點(diǎn)，DA為角 的一邊，向正方形 ABCD內(nèi)作/ ADF=30 ,角的一邊交 EP于F點(diǎn)。設(shè) DQ=/3,貝U: FQ=1, DF=2, AD=2,3 , PC=PB=AQ=3,由角平分線定理得：QE/EF=QD/DF,即：QE/(1-QE)=(，3)/2解得：QE=2(/3) -3所以：PE=PQ- QE=2(/3) -2(，33=3在 EPC中由勾股定理得： EC=/ (PE2+PC2) =2,3而

9、：BE=CE所以：BC=BE=CE=23即： EBC是等邊三角形。10、在三角形 D、E,求證, 證明：ABC中，經(jīng)過BC的中點(diǎn)M,有垂直相交于 M的兩條直線，它們與AB,AC分別交于BD+CE DE如圖，延長 EM 至ij E,使 EM=ME,貝U: DE=DE, 由 BEM CEM 得：CE=BE在 BED 中，有 BD+BEDE等量代換得：BD+CEDE11、AB是等腰直角三角形 ABC的斜邊，若點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在邊BC上，沿直線MN把 MCN 翻折，使點(diǎn)C落在AB上設(shè)其落點(diǎn)(1) .如圖一，當(dāng)是 AB的中點(diǎn)時(shí)，求證： PA/PB=CM/CN(2) .如圖二當(dāng)P不是AB中點(diǎn)時(shí)，結(jié)論

10、PA/PB=CM/CN 是否成立？若成立,請(qǐng)給出證明(1)、證明：因?yàn)镻是AB中點(diǎn)，所以：AP/PB=1,因?yàn)椋篜點(diǎn)是C點(diǎn)沿直線MN折疊的落點(diǎn)，所以：MN垂直平分PC,所以：CM=MP,由 AP=BP 得/ ACP= / BCP=45所以：CM=MN所以：CM/CN=1所以：PA/PB=CM/CN(2)、結(jié)論仍然成立。證明：過P點(diǎn)分別作 AC,BC的垂線PE,PD.E,D 是垂足。過 C作CF垂直AB,F是垂足。則:S APC=(1/2)AC*PE=(1/2)AP*CFS BPC=(1/2)BC*PD=(1/2)BP*CF而 AC=BC所以：PE/PD=AP/BP由/MCN=/MPN=90 知

11、MCNP四點(diǎn)共元所以：/ PME= / PND所以：RTAPEM BD+DE+EC證明：設(shè)直線 DE交AB于F,交AC于G,則：在4AFG 中，有 AF+AGFD+DE+EG在 BFD 中，有 BF+FDBD在4EGC 中，有 EG+GCEC所以：三個(gè)不等式兩邊相加得AF+AG+BF+FD+EG+GCFD+DE+EG+BD+EC即：AB+ACDE+BD+EC15、在三角形 ABC中,BD,CE是邊AC,AB上的中點(diǎn),BD與CE相交于點(diǎn) O,BO與OD的長 度有什么關(guān)系？BC邊上的中線是否一定過點(diǎn) O?為什么？答：BO=2DO,BC 邊上的中線過 O點(diǎn)。證明：連接 AO,設(shè)M,N分別是BO,CO

12、的中點(diǎn)，連接 EM,DN,則：EM平行并等于 AO的一半，DN平行并等于 AO的一半所以：EM平行并等于DN所以：四邊形EMND是平行四邊形所以：MO=OD所以：BM=MO=OD所以：BO=2DO延長AO交BC于G,延長DN交BC于H,延長EM交BC于Q,則:由 AG | EQ | DH,BM=MO=OD 得知 BQ=QG=GH=HC所以；BG=GC所以；BC邊上的中線過O點(diǎn)。16、在4ABC中，AB,BE是 ABC的高，交于點(diǎn) H,邊BC,AC的垂直平分線 FO,GO 相交于點(diǎn)O求證：OF=1/2AH,OG=1/2BH證明：連接 CO并延長交 ABC的外接圓于 M點(diǎn)。則：OC是元的直徑。OF

13、=(1/2)BM,ZMBC= ZMAC= ZADB= / BEA=90所以：BM | AD,AM | BE所以：四邊形MBHA是平行四邊形所以：BM=AH所以：OF=(1/2 ) AH.同理可證：OG=(1/2)BH.17、三角形中線分別為 9 12 15 求三角形面積解：過F點(diǎn)作AE的平行線，交DC于H點(diǎn)，則：FH= (1/2)AM=5,MH=3,(三角形中位線定理，三中線交點(diǎn)分中線性質(zhì))而：MF=4所以：三角形 FMH是直角三角形，即 BM XDC.所以：SA BCD=(1/2)*9*8=36,所以：SA ADC=S BCD=36 (同高等底的兩個(gè)三角形面積相等)所以：SA ABC=721

14、8、在 ABC中/ A=90 , ADXBC于D, M是AD的中點(diǎn)，延長 BM交AC于E,過E作 EFBC 于 F。求證：EF2=AE*CE證明：如圖，延長 BA,FE交于N.因?yàn)椋篈D | FN所以：AM/NE=BM/BE,MD/EF=BM/BE所以：AM/NE=MD/EF而：AM=DM所以：NE=EF由于：角 NAC= / NFC=90所以：AFCN四點(diǎn)共圓所以：AE*EC=EF*EN所以：EFA2=AE*EC19、已知 E為平行四邊形 ABCD的邊BC上的任一點(diǎn)，DE延長線交 AB延長線與 F,求證 SA ABE=S CEF證明：分別過C,E兩點(diǎn)作AB的垂線CH,EG,H,G 是垂足。設(shè)

15、 BE=m,EC=n由BFEsCDE 得：BF/CD=m/n.即 BF/(BF+CD)=m/(m+n)也就是 BF/AF=m/(m+n) (因?yàn)?AB=CD ,有 AF=BF+CD)由 RT BEG s rt BCH 得：HC/GE=(m+n)/m所以：(BF/CD)*(HC/GE)=1而：SAAFE=(1/2)AF*GESABFC=(1/2)BF*CH所以：SA BFC/S AFE=BF*HC/AF*GE=1所以：SA BFC=S AFE兩邊同時(shí)減去 SABFE得：SAABE=S ACEFo20、等腰直角三角形，角 A為90, D, E兩點(diǎn)為斜邊上的動(dòng)點(diǎn)，角DAE=45，當(dāng)D合B重合或E和C重合時(shí)，線段 DE的長度等于BD+EC 當(dāng)不重合時(shí)，DEBD+CE.證明：不重合時(shí)。以A點(diǎn)為頂點(diǎn)，AC為一邊向 ABC的外側(cè)作/ CAB,使/ CAB= Z DAB.截取AB=AD.又因?yàn)椋篈C=AB.所以： C