2019年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試題及答案

1、 2019年普通高等學(xué)校春季招生考試(北京、內(nèi)蒙古、安徽卷)數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分.第卷至2頁.第卷3至8頁.共150分.考試時(shí)間120分鐘.第卷(選擇題 共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的(1) 集合M=1，2，3，4，5的子集個(gè)數(shù)是( )(A) 32(B) 31(C) 16(D) 15(2) 函數(shù)f (x ) = ax(a > 0且a 1)對于任意的實(shí)數(shù)x，y都有( )(A) f (xy) = f (x) f (y)(B) f (xy) = f (x) + f (y

2、)(C) f (x + y) = f (x) f (y)(D) f (x + y) = f (x) + f (y)(3) ( )(A) 0(B) 2(C) (D) (4) 函數(shù)的反函數(shù)是( )(A) y = x21 (1x0)(B) y = x21 (0x1)(C) y = 1x2 (x0)(D) y = 1x2 (0x1)(5) 極坐標(biāo)系中，圓的圓心的坐標(biāo)是( )(A) (B) (C) (D) (6) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在直線x = 1上，O為坐標(biāo)原點(diǎn). 以O(shè)P為直角邊、點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)作等腰RtOPQ，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是( )(A) 圓(B) 兩條平行直線(C) 拋物線(D) 雙曲線(7) 已知f (x

3、6) = log2x，那么f (8)等于( )(A) (B) 8(C) 18(D) (8) 若A、B是銳角ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn)P(cosBsinA，sinBcosA)在( )(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(9) 如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的頂角(圓錐軸截面中兩條母線的夾角)是( )(A) 30°(B) 45°(C) 60°(D) 90°(10) 若實(shí)數(shù)a，b滿足a + b = 2，則3a + 3b的最小值是( )(A) 18(B) 6(C) (D) (11) 右圖是正方體的平面展開圖.在這個(gè)正方體中， B

4、M與ED平行 CN與BE是異面直線 CN與BM成60º角 DM與BN垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是( )(A) (B) (C) (D) (12) 根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預(yù)測某種家用商品從年初開始的n個(gè)月內(nèi)累積的需求量Sn(萬件)近似地滿足 (n=1，2，12)按此預(yù)測，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是( )(A) 5月、6月(B) 6月、7月(C) 7月、8月(D) 8月、9月第卷二.填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.(13) 已知球內(nèi)接正方體的表面積為S，那么球體積等于_(14) 橢圓x2 + 4y2 = 4長軸上一個(gè)頂點(diǎn)為A，以A為直角

5、頂點(diǎn)作一個(gè)內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形，該三角形的面積是_(15) 已知(、均為銳角)，那么coscoscos的最大值等于_(16) 已知m、n是直線，、是平面，給出下列命題： 若，= m，nm，則n或n； 若，= m，= n，則mn； 若m不垂直于，則m不可能垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線； 若= m，nm；且，則n且n.其中正確的命題的序號是_ (注：把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上)三.解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.(17) (本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)，求f ( x )的單調(diào)區(qū)間，并證明f ( x )在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性.(18) (本小題滿分12分)已知

6、z7=1(zC且z1).()證明 1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6 = 0；()設(shè)z的輻角為，求cos+cos2+cos4的值.(19) (本小題滿分12分)已知VC是ABC所在平面的一條斜線，點(diǎn)N是V在平面ABC上的射影，且在ABC的高CD上.AB = a，VC與AB之間的距離為h，點(diǎn)MVC.()證明MDC是二面角MABC的平面角；()當(dāng)MDC = CVN時(shí)，證明VC平面AMB；()若MDC =CVN =()，求四面體MABC的體積.(20)(本小題滿分12分)在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a1，a2，a3，an，使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b1

7、，b2，b3，bn，使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記An = a1 a2 a3an，Bn = b1 + b2 + b3 + + bn.()求數(shù)列An和Bn的通項(xiàng)；()當(dāng)n7時(shí)，比較An和Bn的大小，并證明你的結(jié)論.(21)(本小題滿分12分)某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價(jià)為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛.本年度為適應(yīng)市場需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0 < x < 1)，則出廠價(jià)相應(yīng)的提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤 = (出廠價(jià)投入成本)×年銷售量.()

8、寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；()為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(22)(本小題滿分14分)已知拋物線y2=2px(p>0).過動(dòng)點(diǎn)M(a，0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，| AB | 2p.()求a的取值范圍；()若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求NAB面積的最大值.2001年普通高等學(xué)校春季招生考試（北京、內(nèi)蒙古、安徽卷）數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：一本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比

9、照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則.二對計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.三解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).四只給整數(shù)分?jǐn)?shù).選擇題和填空題不給中間分.一選擇題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算.每小題5分，滿分60分.（1）A （2）C （3）D （4）C （5）A （6）B（7）D （8）B （9）C （10）B （11）C （12）C二填空題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分16分.(13) (14)

10、 (15) (16) 三解答題（17）本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及不等式的基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)推理判斷能力.滿分12分.解：函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ琤）（b，+）.f ( x )在（，b）內(nèi)是減函數(shù)，f ( x )在（b，+）內(nèi)也是減函數(shù). 4分證明f ( x )在（b，+）內(nèi)是減函數(shù).取x1，x2（b，+），且x1 < x2，那么 ， 6分 ab > 0，x2x1>0，（x1+b）(x2+b) > 0， f (x1)f (x2) > 0，即f (x)在（b，+）內(nèi)是減函數(shù). 9分同理可證f (x)在（，b）內(nèi)是減函數(shù). 12分（18）本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)

11、算，考查綜合運(yùn)用復(fù)數(shù)的知識解決問題的能力，滿分12分.解：（）由 z（1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6）= z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6+ z7=1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6，得 （z1）（1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6）= 0. 4分因?yàn)?z1，z10，所以 1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6= 0. 6分（）因?yàn)閦7= 1.可知 | z | = 1，所以 ，而z7= 1，所以z·z6 = 1，同理，由（）知 z + z2 + z4 + z3

12、+ z5 + z6= 1，即 ，所以的實(shí)部為， 8分而z的輻角為時(shí)，復(fù)數(shù)的實(shí)部為，所以. 12分（19）本小題主要考查線面關(guān)系的基本概念，考查運(yùn)用直線與直線、直線與平面的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明的能力.滿分12分.（）證明：由已知，CDAB，VN平面ABC，NCD，平面ABC，VNAB.AB平面VNC. 2分又 V、M、N、D都在VNC所在的平面內(nèi)，所以，DM與VN必相交，且ABDM，ABCD，MDC為二面角MABC的平面角. 4分（）證明：由已知，MDC = CVN，在VNC與DMC中，NCV = MCD，又VNC = 90º， DMC =VNC = 90º， 故有DMVC

13、，又ABVC， 6分 VC平面AMB. 8分（）解：由（）、（），MDAB，MDVC，且DAB，MVC， MD = h.又 MDC =.在RtMDC中，CM = h·tg. 10分V四面體MABC = V三棱錐CABM. 12分（20）本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，考查觀察、猜想并進(jìn)行證明的數(shù)學(xué)思想方法.滿分12分.解：（） 1，a1，a2，a3，an，2成等比數(shù)列， a1an = a2 an1 = a3 an2 = = ak ank+1 = = 1×2 = 2 ， ， . 4分 1，b1，b2，b3，bn，2成等差數(shù)列， b1 + b2 = 1 + 2 = 3， .所以，數(shù)列An的通項(xiàng)，數(shù)列Bn的通項(xiàng). 6分（） ， ，要比較An和Bn的大小，只需比較與的大小，也即比較當(dāng)n 7時(shí)，2