第17講力矩轉(zhuǎn)動(dòng)平衡問題

1、第仃講 力矩轉(zhuǎn)動(dòng)平衡問題1力臂：從轉(zhuǎn)軸到力的作用線的F垂直距離.2力矩：力F與力臂上的乘積即 M=FL，力矩的單位是 N m3. 作用：反映力對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效果，是使物體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變的原因.4力矩的平衡：有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的物體的平衡條件是力矩和等于零即刀M=0或刀M逆=刀M順。5 力矩的計(jì)算方法力對(duì)某轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩，順時(shí)針方向，規(guī)定為負(fù)力矩；逆時(shí)針方向，規(guī)定為正力矩.當(dāng)力與轉(zhuǎn)軸平行時(shí)，力對(duì)該軸沒有力矩，當(dāng)力與轉(zhuǎn)動(dòng)軸成任意角度時(shí)，力對(duì)這一轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力 矩，可將力分解為與軸平行和垂直的兩個(gè)分力，垂直于軸的分力對(duì)軸的力矩也就是該力的 力矩.6 .有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸物體受力分析的要點(diǎn)：首先認(rèn)準(zhǔn)轉(zhuǎn)動(dòng)軸，只分析作用

2、線不通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力，因作用線過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力的力矩為零，對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)不產(chǎn)生影響作受力分析圖時(shí)，力的作用點(diǎn)、作用線不能隨意移動(dòng)，這與用共點(diǎn)力的平衡研究問題時(shí)的受力分析圖有一定區(qū)別， 共點(diǎn)力平衡問題討論的是物體的平動(dòng)問題，可以把物體視為質(zhì)點(diǎn)看待，畫受力圖強(qiáng)調(diào)的是 方向問題，作用力的作用點(diǎn)，作用線不作要求力矩的平衡問題討論的是轉(zhuǎn)動(dòng)問題，物體 不可以視為質(zhì)點(diǎn)，則力的作用點(diǎn)，作用線要求準(zhǔn)確，不能在物體上隨意移動(dòng).7.般物體的平衡對(duì)一般物體來(lái)說(shuō)，其平衡條件必是滿足刀F=0,對(duì)任意軸的力矩有刀 M=0 .&利用力矩平衡條件解題的一般程序是：（1）確定研究對(duì)象，即明確要研究哪一個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì).（2）確定

3、轉(zhuǎn)動(dòng)軸.轉(zhuǎn)動(dòng)平衡物體的轉(zhuǎn)軸理論可任意選擇， 選軸的一般原則：使未知力盡可能多地通過(guò)軸， 以減少方程數(shù).（3） 對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，并作出受力示意圖.（4）根據(jù)受力分析，確定每一個(gè)力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力臂.（5）計(jì)算每一個(gè)力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩，并確定各個(gè)力矩的正、負(fù)號(hào).（6）根據(jù)力矩平衡列方程.必要時(shí)要根據(jù)題給條件列出輔助方程.（7）求解方程，并對(duì)所求結(jié)果進(jìn)行必要的討論，（一）力矩概念的考查1.如圖所示，直桿 OA可繞0點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，圖中虛線與桿平行，桿端 的作用，力的作用線跟 0A桿在同一豎直面內(nèi)， 它們對(duì)轉(zhuǎn)軸0的力距 分別是Mi、M2，則力矩間的大小關(guān)系是（）.A. Mi> M 2B. Mi= M2

4、C. Mi< M2D.無(wú)法推斷2. 如圖所示直桿 0A可繞0點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，圖中虛線與桿平行，桿端 A點(diǎn)受四個(gè)力Fi、F2、F3、 F4的作用，圖中力矢量的長(zhǎng)短表示力的大小， 力的作用線跟 0A桿在同一平面內(nèi)，它們對(duì)轉(zhuǎn)A F.軸0的力矩分別為Mi、M2、M3.M4，則力矩間的大小關(guān)系為 (A . M i= M 2= M 3= M 4B . M2> M i= M 3> M 4C. Mi> M 2> M 3> M 4；D . M 2> M i> M 4> M3i3. 質(zhì)量分布均勻，邊長(zhǎng)為 a的正方體，重力為 G.在與水平成 a=45°角的 力

5、F作用下將繞邊棱 M翻轉(zhuǎn)，此時(shí)正方體共受 4個(gè)力作用，如圖1 117 所示，請(qǐng)說(shuō)明各個(gè)力的力矩大小.4如圖所示，重為 G的均勻立方體 A端支在豎直墻的凸處，C端被一輕繩固定，繩的另一端固定在豎直墻上。已知繩子與BC邊（水平）成a角，求繩上張力。5.如圖所示，把長(zhǎng)為 0.1m的直棒的O端用鉸鏈連在天花板上，在另一端施加10N的水平拉力F,使棒偏離豎直方向0= 60°而保持靜止，求力 F的力矩.BA（二）力矩平衡條件的考查1如圖所示，質(zhì)量為 m的勻質(zhì)木桿，上端可繞固定軸 板置于光滑的水平地面上，靜止時(shí)桿與豎直方向的夾角為=0.5 .今用水平力F勻速拉動(dòng)木板，則A .向右勻速拉動(dòng)木板時(shí)，F(xiàn)

6、= mg/6B .向右勻速拉動(dòng)木板時(shí)，F(xiàn)= mg/4C .向左勻速拉動(dòng)木板時(shí)，F(xiàn)= mg/2O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，下端擱在木板上，木45°,D .向左勻速拉動(dòng)木板時(shí)，F(xiàn)= mg/82.如圖所示是一種手控制動(dòng)器,a是一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)著的輪子,b是摩擦制動(dòng)片，c是杠桿，O2是固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸，手在 A點(diǎn)施加一個(gè)作用力 F時(shí)，b將壓緊輪子，使輪子制動(dòng), 動(dòng)所需的力矩是一定的，則下列說(shuō)法正確的是A .輪a逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，所需的力 F較小B .輪a順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，所需的力 F較小C .無(wú)論a逆逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)還是順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，所需的力F相同D .無(wú)法比較F的大小3如圖所示，質(zhì)量為 ml的光滑球，置于豎直墻和傾斜木板ab之間，木板的

7、質(zhì)量不計(jì)，a端固定在墻壁的轉(zhuǎn)軸上， b端受一豎直向上的力 F作用，今保持F的方向不變，而讓 b端緩慢下降至木板水平，在這一過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是A F變大，其力矩不變B F變大，其力矩也變大C F不變，其力矩也不變D F變小，其力矩也變小4.如圖所示，BO是一根質(zhì)量均勻的橫梁，重量 Gi=80N , BO的一端安在 O點(diǎn)，可繞通過(guò) B點(diǎn)且垂直于紙面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端用鋼繩 AO拉著。橫 梁保持水平，與鋼繩的夾角0 =30°。在橫梁的 0點(diǎn)掛一個(gè)重物，重量G2=240N。鋼繩對(duì)橫梁的拉力 Fi=5個(gè)質(zhì)量為 m、半徑為R的金屬球上固定一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)桿，細(xì)桿的左端用鉸鏈與墻連接，球下邊

8、墊有一塊木板，木板放在光滑的水平地面上，此時(shí)細(xì)桿恰好水平。如圖所示，球與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為卩，現(xiàn)將木板向右勻速拉出，則作用在木板上的水平拉力F =6如圖所示，質(zhì)量不計(jì)的桿 一凸起物擱在OiB的中點(diǎn)， 桿便組合成一根長(zhǎng)桿，今在OiB和02A，長(zhǎng)度均為1, 0i和02為光滑固定轉(zhuǎn)軸,B處用繩系在O2A的中點(diǎn)，此時(shí)兩短OiB桿有C點(diǎn)（C為AB的中點(diǎn)）懸掛一 嵐 帀A處有重為C的物體.則A處受到的支承力大小為 , B處繩的拉力大小為7如圖所示，重 30N的物體放在傾角為 30o的光滑斜面上一根重 24N的均勻直棒 AB 水平放置，A端用光滑鉸鏈固定于豎直墻上， B端擱在物體上，若用平行斜面上的推力

9、 F =20N推物體，使物體勻速向上運(yùn)動(dòng)，求棒與物體之間的動(dòng)摩擦因數(shù).&如圖所示，將重為 mg的均勻木桿AB，一端用光滑鉸鏈固定于墻上，另一端擱在一個(gè) 表面光滑、半徑為 R、重Mg的半圓柱形物體上，此時(shí)桿 AB處于水平，桿 AB與地面的高度為h = h/2，且都靜止不動(dòng)，則地面對(duì)半圓柱體的靜摩擦力大小為多少3#k k#9圖中是用電動(dòng)砂輪打磨工件的裝置，砂輪的轉(zhuǎn)軸過(guò)圖中 0點(diǎn)垂直于紙面，AB是一長(zhǎng)度1=0.60 m，質(zhì)量mi=0.50 kg的均勻剛性細(xì)桿，可繞過(guò) A端的固定軸在豎直面（圖中紙面）內(nèi) 無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)工件 C固定在AB桿上，其質(zhì)量m2=1.5kg,工件的重心、工件與砂輪的接 觸

10、點(diǎn)P以及O點(diǎn)都在過(guò)AB中點(diǎn)的豎直線上.P到AB桿的垂直距離d=0.10m AB桿始終 處于水平位置砂輪與工件之間的動(dòng)摩擦因數(shù)卩=0.60.（1）當(dāng)砂輪靜止時(shí)，要使工件對(duì)砂輪的壓力F0=100N，則施于B端豎直向下的力 Fb應(yīng)是多大？（2）當(dāng)砂輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，要使工件對(duì)砂輪的壓力仍為 的力Fb'應(yīng)是多大？F0=100N ,則施于B端豎直向下（三）力矩平衡中極值問題和臨界問題1.如圖所示，A、B是兩塊相同的均勻長(zhǎng)方形磚塊，長(zhǎng)為I，疊放在一起，A磚相對(duì)B磚右端伸出1/4的長(zhǎng)度, 的端面與桌邊平行，為保持兩磚都不翻倒，最大值是（）A. l/8B. l/4C. 3l/8D. l/2B磚放在水平桌

11、面上，磚B磚伸出桌邊的長(zhǎng)度 x的2.如圖所示，一個(gè)質(zhì)量 m = 50kg的均勻圓柱體放在臺(tái)階旁邊，圓柱體 的半徑為R，臺(tái)階高h(yuǎn)是R的一半，圓柱體與臺(tái)階接觸處摩擦力足夠大, 現(xiàn)在圖中 A點(diǎn)施加一力使圓柱體滾上臺(tái)階，則施加的力最小值為 N .3.如圖所示，質(zhì)量為 m的運(yùn)動(dòng)員站在質(zhì)量為 m的均勻長(zhǎng)板 AB的中點(diǎn)，板位于水平地面上，可繞通過(guò) A點(diǎn)的水平軸無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，板的B端系有輕繩，輕繩的另一端繞過(guò)兩個(gè)定滑輪后，握在運(yùn)動(dòng)員的手中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員用力拉繩子時(shí)， 滑輪的兩側(cè)的繩子都保持在豎直方向上，則要使板的B端離開地面，運(yùn)動(dòng)員作用于繩的最小拉力是 54. 如圖所示，“L”形支架可繞固定軸 C轉(zhuǎn)動(dòng)，AC=2 ,

12、3R, BC=2R，其中R為球0的半徑，懸繩長(zhǎng)也為 R,球重100N;為使支架BC保持水平，需在 BC段施一作用力F,試求 力F的最小值：6#5如圖所示，某桿 A 一端與固定頂部鉸鏈連接，另一端放在物塊B上，現(xiàn)給B施一水平力F欲使之向左運(yùn)動(dòng)，桿與豎直方向夾角滿足何種條件才可行？（桿與物塊間動(dòng)摩擦因數(shù)為#6如圖所示，放在水平面上半徑為r的光滑圓柱體軸水平固定，將一根長(zhǎng)為L(zhǎng)、重為G的均勻桿AB垂直于圓柱體的軸線斜靠在圓柱體上.如果桿與水平面的夾角為0時(shí)，AB剛好不發(fā)生滑動(dòng)，則這時(shí)地面對(duì)桿的摩擦力是多大#7.兩根均勻的直短棒 AB、CD都可繞其固定光滑轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)， AB棒放在CD 棒的上面

13、且兩棒互成直角，如圖所示. AB棒與地面成0角，AB棒質(zhì)量為M, CD棒質(zhì)量為m,如果兩棒均處于平衡，則兩棒間動(dòng)摩擦因數(shù)至少應(yīng)為多少8 如圖是一臺(tái)起重機(jī)的示意圖，機(jī)身和平衡體的重量Gi=4.2 M0 N，起重臂的重量G2=2.0 M04N。其他數(shù)量如圖中所示。起重機(jī)最多能提起多重的貨物9. 質(zhì)量m=2.0kg的小鐵塊靜止于水平導(dǎo)軌 AB，的A端，導(dǎo)軌及支架 ABCD形狀及尺寸 如圖它只能繞通過(guò)支架 D點(diǎn)的垂直于紙面的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其重心在圖中的0點(diǎn)，質(zhì)量M=4.0kg，現(xiàn)用一細(xì)繩沿導(dǎo)軌拉鐵塊，拉力F=12N，鐵塊和導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)卩=0.5,重力加速度g=10m/s2 從鐵塊運(yùn)動(dòng)時(shí)起，導(dǎo)軌(

14、及支架)能保持靜止的最長(zhǎng)時(shí)間是多少？0.710如圖所示，光滑斜面的底端a與一塊質(zhì)量均勻、水平放置的平板光滑相接，平板長(zhǎng)為2L , L=1m，其中心C固定在高為 R的豎直支架上，R=1m，支架的下端與垂直于紙面的 固定轉(zhuǎn)軸0連接，因此平板可繞轉(zhuǎn)軸0沿順時(shí)針方向翻轉(zhuǎn)問：(1) 在斜面上離平板高度為ho處放置一滑塊 A ;使其由靜止滑下，滑塊與平板間的動(dòng)摩擦因數(shù)卩=0.2，為使平板不翻轉(zhuǎn)，ho最大為多少？(2) 如果斜面上的滑塊離平板的高度為h1=0.45m，并在h1處先后由靜止釋放兩塊質(zhì)量相同的滑塊A、B ,時(shí)間間隔為 t=0.2s,則B滑塊滑上平板后多少時(shí)間平板恰好翻轉(zhuǎn).(重力加速度g取10m/

15、s2)11有三個(gè)質(zhì)量相等、半徑均為r的圓柱體，置于一塊圓弧曲面上，為了使下面兩個(gè)圓柱體不分開，則圓弧曲面的半徑R最大是多少？整個(gè)裝置如圖所示，所有摩擦均不計(jì)。12兩個(gè)半徑為r、重為G的相同的光滑球放在圓柱形筒內(nèi)，圓筒半徑為R，且R<2r，若圓柱形筒無(wú)底，筒重為何值時(shí)，筒才不會(huì)翻倒 ？（四）天平和桿秤問題1. 如圖所示桿秤，0點(diǎn)處為提紐，B點(diǎn)處為秤鉤，秤鉤和秤桿的重力為 Go, C點(diǎn)處為其 重心，秤砣重力為 Gi.當(dāng)秤鉤上不掛重物時(shí)，秤砣放在 A點(diǎn)處，桿秤水平平衡. A點(diǎn)是刻度的起點(diǎn)，稱為定盤星試分析桿秤的工作原理.9#乙屮2有一沒有游碼的托盤天平，其最小砝碼質(zhì)量為100mg.用該天平稱量

16、某物體，當(dāng)右盤中加36.20g砝碼時(shí)，天平指針向左偏1.0格，如圖中實(shí)線所示.若在右盤中再加100mg的砝碼，天平指針則向右偏1.5格，如圖中虛線所示試求待測(cè)物的質(zhì)量.3如圖所示桿秤有甲、乙兩個(gè)提紐.；使用甲提紐時(shí)最大稱量為 質(zhì)量為1kg, OA=6cm , OB=4cm，問改用乙提紐時(shí)最大稱量為多大#4.天平的橫梁（連同指針）是一個(gè)有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的物體，轉(zhuǎn)動(dòng)軸過(guò)中央刀口O且與紙面垂直。橫梁的自重為G,重心C在指針上離轉(zhuǎn)動(dòng)軸 O為h的地方，天平兩個(gè)盤中物體的質(zhì)量 相等時(shí)，作用在橫梁兩端的力 F相等，橫梁平衡，指針指在標(biāo)尺的中央，即指針停在豎直 方向。天平兩盤中物體的質(zhì)量稍有不等時(shí)，橫梁就要傾斜，

17、指針隨著就要偏移到較輕的一 方，自重G對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸O的力矩將阻止橫梁的傾斜，最后橫梁在某一傾斜的位置上達(dá)到平 衡。設(shè)指針與豎直方向成0角時(shí)橫梁平衡，可以證明：tg 0 =L（F 1 F2）/Gh=gL（m 廠 m2）/Gh試應(yīng)用有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸物體的平衡條件證明上式5 有人設(shè)計(jì)了一種新型伸縮拉桿秤，結(jié)構(gòu)如圖，秤桿的一端固定一配重物并懸一掛鉤，秤桿外面套有內(nèi)外兩個(gè)套筒，套筒左端開槽使其可以不受秤紐阻礙而移動(dòng)到掛鉤所在位置（設(shè)開槽后套筒的重心仍在其長(zhǎng)度中點(diǎn)位置），秤桿與內(nèi)層套筒上刻有質(zhì)量刻度?？蛰d（掛鉤上不掛物體，且套筒未拉出）時(shí)，用手提起秤紐，桿秤恰好平衡.當(dāng)物體掛在掛鉤上時(shí)，往 外移動(dòng)內(nèi)外套筒可使桿秤

18、平衡，從內(nèi)外套筒左端的位置可以讀得兩個(gè)讀數(shù)，將這兩個(gè)讀數(shù) 相加，即可得到待測(cè)物體的質(zhì)量已知秤桿和兩個(gè)套筒的長(zhǎng)度均為16cm，套筒可移出的最大距離為15cm，秤紐到掛鉤的距離為2cm，兩個(gè)套筒的質(zhì)量均為 0.1kg .取重力加速度g=IOm/s2.求：（1）當(dāng)桿秤空載平衡時(shí)，秤桿、配重物及掛鉤所受重力相對(duì)秤紐的合力矩；（2）當(dāng)在秤鉤上掛一物體時(shí)， 將內(nèi)套筒向右移動(dòng) 5cm，外套筒相對(duì)內(nèi)套筒向右移動(dòng)8cm,桿秤達(dá)到平衡，物體的質(zhì)量多大？（3）若外層套筒不慎丟失，在稱某一物體時(shí)，內(nèi)層套筒的左端在讀數(shù)為I千克處桿秤恰好平衡，則該物體實(shí)際質(zhì)量多大10#（五）用力矩平衡條件求解共點(diǎn)力的平衡問題（含虛擬剛體

19、法的應(yīng)用）對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)平衡的問題中，如果研究所受的力為共點(diǎn)力，我們可以將轉(zhuǎn)動(dòng)問題轉(zhuǎn)化為共 點(diǎn)力平衡問題，用共點(diǎn)力平衡的方法求解利用力矩平衡條件求共點(diǎn)力平衡時(shí)，應(yīng)注意巧 選轉(zhuǎn)動(dòng)軸，具體是：盡可能使較多的力通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)軸；使較難分析求解的力通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)軸；同一直線上等大反向的兩個(gè)力對(duì)任何轉(zhuǎn)動(dòng)軸的合力矩為零，故列力矩平衡關(guān)系時(shí)可以不 考慮這樣的個(gè)力.1.如下圖所示，粗細(xì)均勻的木棒斜浮于水中，一端懸掛重為G而體積可以不計(jì)的小鐵球，另一端露出水面，其長(zhǎng)度為棒長(zhǎng)的1/n.求木棒的質(zhì)量是多少 ？S112. 如圖所示，在豎直固定的光滑圓環(huán)上，套著質(zhì)量為M和m的小球A和B,并用細(xì)線連接在一起.當(dāng)兩球平衡時(shí)，細(xì)線對(duì)圓心(0)

20、的張角為a求細(xì)線與豎直方向的夾角B是多大？3.如圖所示，質(zhì)量為 3 kg的A球和質(zhì)量為3 kg的B球，被輕質(zhì)細(xì)線連接后，掛在光滑的圓柱面上恰好處于靜狀態(tài)，已知/A0B = 90°,求OB與豎直方向的夾角.4如圖所示，A球和B球用輕繩連接并靜止在光滑圓柱面上。若 的質(zhì)量為m,則B球的質(zhì)量為()。A. 3m/4 B. 2m/3 C. 3m/5 D. m/25.如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量分別為mi、m2,帶電量分別為 qi、q2的金屬小球，用兩根等長(zhǎng)的絕緣輕繩懸掛于同一點(diǎn)0。平衡時(shí)，輕繩與豎直方向夾角分別為a 則()。tan.工 m1 tan ： m2tan 口m2sinceB. C. ltan I；-”m1sin -m1m2sin : m26如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量分別為 繩懸掛于同一點(diǎn)O。平衡時(shí),mi、m2,帶電量分別為兩球恰好位于同一水平面上。A球qi、q2的金屬小球，用兩根絕緣輕輕繩與豎直方向夾角分別為a12#tan.其 _m1t