第2章光波在自由空間和波導(dǎo)中的傳播

1、第2章光波在自由空間和波導(dǎo)中的傳播內(nèi)容提要：光的傳播是光電信息系統(tǒng)研究的基本問題之一，也是光能夠記錄、存儲(chǔ)、處理和傳送 信息的基礎(chǔ)。為了解釋光在光電器件之間傳播現(xiàn)象，需要研究光在自由空間和波導(dǎo)中傳播 的行為。本章首先介紹平面波角譜的概念，并從角譜的傳播導(dǎo)出光在自由空間傳播的規(guī)律；同時(shí)利用光的直線傳播和波動(dòng)理論，介紹光在波導(dǎo)中的傳播行為。2.1 球面波和平面波的復(fù)振幅表示我們知道，光是電磁波，求解 (1.10)和(i.ii)關(guān)于電磁波傳播的波動(dòng)方程，可以準(zhǔn)確解 決光的傳播問題。衍射是光波動(dòng)傳播過程的普遍屬性，是光具有波動(dòng)性的具體表現(xiàn)。電磁 波是矢量波，精確解決光的衍射問題，必須考慮光波的矢量性。

2、用矢量波處理衍射過程非 常復(fù)雜，這是因?yàn)殡姶艌?chǎng)矢量的各個(gè)分量通過麥克斯韋方程聯(lián)系在一起，不能單獨(dú)處理。 但是，在光的干涉、衍射等許多現(xiàn)象中，只要滿足：(1)衍射孔徑比波長(zhǎng)大得多；(2)觀察點(diǎn)離衍射孔不太靠近。把光作為標(biāo)量處理的結(jié)果與實(shí)際極其接近。因此，這里只討論光的 標(biāo)量衍射理論。從光場(chǎng)的分解可知，任何復(fù)雜的波都可以用球面波或平面波的線性組合來表示，球面 波和平面波都是波動(dòng)方程的基本解。因此，可將平面波作為基元函數(shù)來描述衍射現(xiàn)象，這 就是研究平面波衍射的角譜方法。2.1.1球面波的復(fù)振幅表示球面波是波動(dòng)方程的基本解。從點(diǎn)光源發(fā)出的光波，在各向同性介質(zhì)中傳播時(shí)形成球 形的波面，稱為球面波。一個(gè)復(fù)

3、雜的光源常?？梢钥醋鍪窃S多點(diǎn)光源的集合，它所發(fā)出的 光波就是球面波的疊加。這些點(diǎn)光源互不相干時(shí)是光強(qiáng)相加，相干時(shí)則是復(fù)振幅相加。因 此，研究球面波的復(fù)振幅表示是很重要的。球面波的等相位面是一組同心球面，每個(gè)點(diǎn)上 的振幅與該點(diǎn)到球心的距離成反比。如圖2.1所示，位于平面任意點(diǎn) S(Xo,y°,z°)的單色發(fā)散球面波在光場(chǎng)中任何一點(diǎn)P (x, y , z)產(chǎn)生的復(fù)振幅可寫做U (P)二玉ejkr(2.1)r式中，a0為離開點(diǎn)光源單位距離處的振幅；r為觀察點(diǎn)P(x, y, z)離開點(diǎn)光源的距離。r =( x -x。)2 (y -y。)2 (z -z°)21/2對(duì)于會(huì)聚球

4、面波，則有U (P)二屯e-j kr(2.2)r光學(xué)問題中所關(guān)心的是特定平面上的光場(chǎng)分布，例如，衍射場(chǎng)中的孔徑平面和觀察平 面，成像系統(tǒng)中的物面和像面等。因而光波在某一特定平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布具有重要 意義。在圖2.1中，點(diǎn)光源位于X。_y°平面上S(x0, y0)點(diǎn)，考察與其相距z(z>0)的x _ y平 面上的光場(chǎng)分布，r可寫為2 2r 二z (x X。)當(dāng)x-y平面上只考慮一個(gè)對(duì)f22(X X。)+(y y。) (y - y。)= z 1S點(diǎn)張角不大的區(qū)域時(shí)，取 r的一階近似(2.3)31 # 2 2(2.4)(XX。)+(y y。) r : z亠2z將式(2.4)代入

5、式(2.1)，因?yàn)樗紤]的區(qū)域相對(duì)z很小，各點(diǎn)的光振動(dòng)的振幅近似相等。式2 n(2.1)中分母上的r可用z近似，但在指數(shù)函數(shù)上的相位因子中，由于光的波長(zhǎng)極短，k=-數(shù)值很大，近似式(2.4)中第二項(xiàng)不能省略。因此，發(fā)散球面波在X-y平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布為a0f k2 丄21U (X, y) exp( jkz)exp j ( x x。)(y y。)(2.5)zI 2zJ在式(2.5)中，exp(j kz)是常量相位因子；隨x-y平面坐標(biāo)變化的項(xiàng)f k22 丨exp j(x-x。) (y-y。)為球面波的(二次)相位因子。當(dāng)平面上復(fù)振幅分布的表達(dá)z式中包含有這種因子時(shí)，一般就可以認(rèn)為距離該平面z

6、處有一個(gè)點(diǎn)光源發(fā)出的球面波經(jīng)過這個(gè)平面。x-y平面上等相位線方程為2(X - X。)2-(y - y°)(2.6)式中，C表示某一常量。不同 C值所對(duì)應(yīng)的等相位線構(gòu)成一個(gè)同心圓族，它們是球形波面 與x-y平面的交線。相位值相差2 n的同心圓之間的間隔由下式?jīng)Q定(2.7)2 2C1 C 2 (C1 C 2)(C1 -C2) = 2.；.z因此同心圓族由中心向外愈來愈密集。當(dāng)光源位于xo-yo平面的坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，在傍軸近似下，發(fā)展球面波在x-y平面上的復(fù)振幅分布為a。U (x, y) exp( j kz) expzj上(x IL 2z(2.8)33 # a。k若z<0,上式也可以用來

7、表示會(huì)聚球面波，或者寫做(2.9)(x2 - y2)它表示經(jīng)過x-y平面向距離|z|處會(huì)聚的球面波在該平面產(chǎn)生的復(fù)振幅分布。2.1.2平面波的復(fù)振幅表示2 n -如圖2.2所示，波矢量k表示光波的傳播方向，k i cost j cos “ cos 。在任意時(shí)刻，與波矢量相垂直的平面上振幅和相位為常數(shù)的光波稱為平面波。圖2.2平面波在x-y平面上的等相位線若空間某點(diǎn)P(x, y, z)的位置矢量為r,則平面波傳播到P點(diǎn)的相位為k r，該點(diǎn)復(fù)振幅的一般表達(dá)式為U (x, y, z )= a exp(j k r)= a expj k(xcos 士+ ycos : + zcos )(2.10)當(dāng)觀察面

8、已定，Z變?yōu)槌?shù)時(shí)，式(2.10)可表示為# U (x, y, z) = a exp( j kz Ji -cos 2 a -cos ? B ) x exp j k(x cos a + y cos B)(211)(2.11丿=A exp jk(x cos 二 亠 y cos I'1)于是復(fù)振幅可寫為U (x, y) = A exp j k(x cos :：£ 亠 y cos)(212)式(2.12)表征了與z軸垂直并距原點(diǎn)z處的任一平面上平面波的復(fù)振幅分布。上式右邊可分成與(x, y)坐標(biāo)有關(guān)的exp jk (x cos .：； y cos )和與(x, y)坐標(biāo)無關(guān)的A兩部分

9、。前者是 表征平面波特點(diǎn)的特征相位因子，當(dāng)平面上復(fù)振幅分布的表達(dá)式中包含有這種因子時(shí)，即 表明有一個(gè)方向余弦為cos 、cos的平面波經(jīng)過這個(gè)平面；后者即 A的模是個(gè)常數(shù)，不像球面波的模與距離成反比。A的幅角則與z坐標(biāo)成正比。平面波等相位線方程為xcos 二亠 ycos ： =C(2.13)式中，C表示某一常量。不同C值所對(duì)應(yīng)的等相位線是一些平行直線。圖2.2中用虛線表示出相位值相差2 n的一組波面與x-y平面的交線，即等相位線。它們是一組平行等距的斜直線。由于相位值相差2 n的點(diǎn)的光振動(dòng)實(shí)際相同，所以平面上復(fù)振幅分布的基本特點(diǎn)是相位值相差2 n的周期性分布。這是平面波傳播的空間周期性特點(diǎn)在x

10、-y平面上的具體表現(xiàn)，也是下面將要提出的平面波空間頻率概念的基礎(chǔ)。2.2 平面波的角譜及角譜的傳播2.2.1平面波的空間頻率在單色平面波中，引入與傳播方向有關(guān)的量cos Gcos Pcos '<fx , fy , fz (2.14a)/u/u/u平面波的復(fù)振幅的一般表達(dá)式變?yōu)閁 ( x, y, z) = a exp( j k r) = aexpj k(xcos _："ycos : + zcos )(2.14b)二 a exp j2 Mxfx ' yfy ' zf z)式(2.14a)定義的fx,fy,fz為平面波在x,y,z方向上的空間頻率。 可見，空間

11、頻率與平面波 有一定的聯(lián)系，如圖 2.3所示，一平面波的波矢量為 k,時(shí)間頻率為，其等相位面為平面，并與波矢量k垂直。圖中畫出了由原點(diǎn)起沿波矢量方向每傳播一個(gè)波長(zhǎng)周期性重復(fù)出現(xiàn)的兩個(gè)等相位面。相鄰兩等相位面與x、y、z軸的兩交點(diǎn)距離分別為X,丫二一，Z (2.15)COS ：COS Icos由式(2.15)可知，空間頻率表示在 x、y、z軸上單位距離內(nèi)的復(fù)振幅周期變化的次數(shù)。這就是平面空間頻率的物理意義。1 -V4 AoA35 # 圖2.3 傳播矢量k位于xo-z平面的平面波在x-y平面上的空間頻率空間頻率的意義可總結(jié)如下：(1) 對(duì)于一列平面波而言，它的空間頻率是一個(gè)常數(shù)，其大小由平面波的傳

12、播方向決 定。因此，“單頻信號(hào)”與一列平面波相對(duì)應(yīng)。(2) “多頻信號(hào)”代表各個(gè)方向的不同的平面波的組合，對(duì)于單色波，空間頻率與平面波的方向余弦是對(duì)應(yīng)的，因而多頻信號(hào)(復(fù)色信號(hào))可視為方向不同的多個(gè)平面波的疊加?？臻g頻率不同的平面波對(duì)應(yīng)不同的傳播方向，傳播方向與空間頻率對(duì)應(yīng)。由于空間頻率與平面波方向相聯(lián)系，即與角度有十分密切的關(guān)系，所以空間頻率可稱 為角頻率”。如果光沿一個(gè)平面如 x-z傳播，a =90 : fx =0，對(duì)應(yīng)“零頻”，即光波 沿z軸方向傳播；二越大，意味著fx越小，稱為“低頻” ；：越小，f x越大，稱為“高頻”； 當(dāng)=0時(shí)，即波沿x軸方向傳播，此時(shí)fx =1/ ,稱為極限高頻

13、(見圖2.4)。©圖2.4空間頻率與傳播方向的關(guān)系(3) 光柵線密度越小，則一級(jí)衍射平面波的空間頻率越低。當(dāng)平面波垂直入射到平面光柵上時(shí)，產(chǎn)生的多級(jí)平面衍射波具有不同的傳播方向。由光柵方程dsin壬k'可知，對(duì)于同樣波長(zhǎng)而言，光柵常數(shù)d越大則一級(jí)衍射波的衍射角越小，由此可知光柵線密度越小則一級(jí)衍射平面波的空間頻率越低。一個(gè)普通光學(xué)圖像可視為由多種空間頻率的光信號(hào)組合而成，低頻分量反映圖像的宏 觀結(jié)構(gòu)，高頻分量則反映圖像的精細(xì)結(jié)構(gòu)，也就是圖像的細(xì)節(jié)?？臻g頻率的量綱是長(zhǎng)度單位的倒數(shù)，通常取cm-1或mm-1。222平面波的角譜及其物理解釋平面上任意一個(gè)單色光場(chǎng)函數(shù)都可以分解成無窮

14、多個(gè)具有不同傳播方向、不同振幅的平面波加權(quán)的線性組合，沿不同方向傳播的平面波具有不同的空間頻率?；仡櫳险露S傅 立葉變換的定義，對(duì)平面上任意一個(gè)單色光場(chǎng)函數(shù)可做空間二維傅立葉變換，可知，平面波U (x, y, z) =aexp j2 Tt(xfx - yf y zf z)就是二維傅里葉變換的核。將平面上任意一個(gè)單色光場(chǎng)函數(shù)分解成不同空間頻率的平面波，這就是平面波的空間頻譜即角譜。角譜的數(shù) 學(xué)推導(dǎo)如下：設(shè)有一單色光波沿 z方向投射到x-y平面上，在z處光場(chǎng)分布為 U(x, y, z)，則函數(shù)U(x, y, z)在x-y平面上的二維傅里葉變換是A( fx，fy,z)二 U (x, y,z)exp

15、_j2 冗(xf x yf y)d xdy(2.16)-oO(2.17)這就是光場(chǎng)復(fù)振幅分布U(x, y, z)的角譜。同時(shí)有逆變換為U (x, y,z)二 A( fx, fy,z)exp j2 Tt(xfx - yf y)d xdy-oaCOS 二COS :,x, fy的U(x, y, z)可理解為不同空間頻率的一系列基元函數(shù)exp j2冗(xfx - yfy)的和，其疊加權(quán)重為A( fx, f y, z)。由式(2.17)可以看出，基元函數(shù)就是空間頻率為f平面波。權(quán)重因子 A(fx, fy,z)為該方向平面波即該空間頻率平面波的復(fù)振幅。因此，式(2.17)說明，單色光波在某一平面上的光場(chǎng)分

16、別可以看做是不同傳播方向的平面波的疊加， 在疊加時(shí)各平面波有自己的振幅和 相位，它們的 值分別為角譜的 模和幅角。因 為,cosaco sP“fx, fy，貝U A( fx , fy ,z)也可利用萬向余弦表示為：U(x,y,z)exp -j2 n 汪COSCOS :A, zcos 用 cos !：'xy dxdy (2.18)農(nóng)刀由(2.18)可以看出，空間頻譜COS -： cos A,-,z i是以平面波傳播方向的角度的余弦為自37 # 變量，因此將其稱做角譜。# 223平面波角譜的傳播1.平面波角譜傳播的推導(dǎo)研究角譜的傳播就是要找到z=0平面上的角譜'cos acosp

17、,0 1和I k九Jz=z平面上的Acos 篇 cos(x, y)平面平行且離它距離為z的平面上的光場(chǎng)的復(fù)振幅分布的角譜。根據(jù)式(2.17)，圖2.5中z=0平面上的光場(chǎng)分布U (x, y, z)可以分別表示如下U o (x, y, 0)和z = z平面上的光場(chǎng)分布o(jì)OU°(x,y,0) = A 二一,.：.'cos cos I：“，,0Fxpj2 trcos - cos x -cos :-(2.19)qQU (x, y, z)二 A-oO 'COScos -,zcoscos鄧 _j2 n x d Ico(2.20)39 # 在所有的無源點(diǎn)上，u (x, y, z)必

18、須滿足c 2 k2)U =0(2.21)將式(2.20)代入式(2.21)表示亥姆霍茲方程，改變積分與微分的順序，注意到角譜A co», co*l, z i僅是z的函數(shù)，而復(fù)指數(shù)函數(shù)中不含z變量，可以導(dǎo)出Acos -z必須滿足的微分方程# 2 ddz,z k2 (1 - cos2 ： - cos2 |:，) Acos : COS | ：',z =0(2.22a)該二階常微分方程的一個(gè)基本解是A COS a''cos aCOS 1 exp( jkz.1-COS 二COS 2 -)# # 式中，c'CO浮，CO蘭 由初始條件決定。z=0平面上的角譜為A _

19、co_,_c°., 0 j,因 (丸 九丿I丸 九 丿而有''cos a''cos a# # 最后得到cos 用 cosA-COS 二 COS 2:)COSCOS :,0 exp( j kz(2.22b)# # 這是一個(gè)十分重要的結(jié)果，它給出了兩個(gè)平行平面之間角譜傳播的規(guī)律。在由已知平cos a COS B I面上的光場(chǎng)分布Uo(x, y, 0)得到其角譜A COS , COS ,0 I后,可以利用式(2.22b)求出它傳播到z=z平面上的角譜 A C叱，°蘭，z I再通過傅里葉逆變換求出其光場(chǎng)分布U (x, y, z)。角譜的傳播公式(2.

20、22b)表明，當(dāng)方向余弦滿足COS Jcos? ： : 1時(shí)，平面波傳播一段距離距離z的效應(yīng)只是改變了各個(gè)角譜分量的相對(duì)相位。這是由于每個(gè)平面波分量以不同方向傳播，它們到達(dá)給定的點(diǎn)所經(jīng)過的距離不同，引入一個(gè)相位延遲因子exp對(duì)于COS用' COS " ： 1的情況，不能將COS -：i、COS ：解釋為方向余弦。由于c o S、； c o s !'10是場(chǎng)分布的傅立葉變換，而孔徑平面上對(duì)場(chǎng)施加了邊界條件即卷積,因此可能出現(xiàn)滿足 cos S cos .1的情況，這時(shí)，式(2.22b)中的平方根是虛數(shù)，于是公式變成COSCOS :,Z = ACOSCOS :,0 exp(

21、-z)(2.23)式中，=k . cos 2 二cos 2 I，. 1。由于是正實(shí)數(shù)，式(2.23)說明，一切滿足cos - cos 1的波動(dòng)分量，將隨 z的增大而按指數(shù)衰減，在幾個(gè)波長(zhǎng)的距離內(nèi)很快衰減到零。對(duì)應(yīng)于這些傳播方向的波動(dòng)分 量稱為倏逝波，它們與在截止頻率以下驅(qū)動(dòng)的微波波導(dǎo)中所產(chǎn)生的波非常相似。在滿足標(biāo) 量衍射理論近似的情況下忽略不計(jì)。對(duì)于cos二：cos 2 - = 1，即cos =0的情況，波動(dòng)分量的傳播方向垂直z軸，它在Z軸方向的凈能量流為零。2.在空間頻域平面波的傳播現(xiàn)象等效于對(duì)光波做空間濾波”cos acos p令fx =， fy =，把式(2.22b)改寫為A(fx，fy

22、)"。"，fy)H (fx，fy)(2.24)如果將 A( fx , fy)二 Acos ： cos :,z 和 A°(fx, fy) =A壬，心，0分別看做一個(gè)線性不變系統(tǒng)的輸出和輸入函數(shù)的頻譜，系統(tǒng)在頻域的效應(yīng)可由傳遞函數(shù)表征為H(fx, fy)A( fx,fy)A°( fx，fy): 2 2exp jkz 1 一(匚)-(- fy)(2.25)41 # 2 2 1 f fxy2h其他(2.26)在滿足標(biāo)量衍射理論近似條件情況下，倏逝波可忽略不計(jì)，因而傳遞函數(shù)可表示為exp jkz J (九 fx/ (九 fy),H ( fx, fy )二0公式(2

23、.26)表明，可以把光波的傳播現(xiàn)象看做一個(gè)空間濾波器。如圖2.6所示，在頻譜面上半徑為1/的圓形區(qū)域內(nèi)，傳遞函數(shù)的模為1，對(duì)各頻率分量的振幅沒有影響，但要引入與頻率有關(guān)的相移。在這一圓形區(qū)域外，傳遞函數(shù)為零。由此可知，對(duì)空域中比波長(zhǎng)還要小 的精細(xì)結(jié)構(gòu)，或者說空間頻率大于 1/'的信息，在單色光照明下不能沿 z方向向前傳遞。光 在自由空間傳播時(shí)，攜帶信息的能力是有限的。圖2.6傳播現(xiàn)象的有限空間帶寬224衍射孔徑對(duì)角譜的效應(yīng)假設(shè)在z=0平面處有一無窮大的不透明屏，它包含衍射結(jié)構(gòu)，即開一孔a，現(xiàn)在研究該衍射屏幕對(duì)光波擾動(dòng)的角譜的影響。定義該孔的透過率函數(shù)為Ut(x,y,O)1 (x,y)在

24、瓦t(x,y) t(2.27)U i(x,y,0)0 其它這里，沿z方向傳播的光波入射到該孔徑上的復(fù)振幅為Ui(x, y, 0)，則緊靠孔徑后的平面上出射光場(chǎng)的復(fù)振幅Ut(x, y, 0)為(2.28)U t(x, y,0) =U i (x,y,0)t(x,y)對(duì)上式兩邊做傅里葉變換，并利用傅立葉變換的卷積性質(zhì)，角譜可表示為'COS GAt ''cos a''cos a(2.29)式中，T COL, CO-為孔徑函數(shù)的傅里葉變換。由于卷積運(yùn)算具有展寬帶寬的性質(zhì)，因此，弓I入使入射光波在空間上受限制的衍射孔 徑的效應(yīng)就是展寬了光波的角譜，而不同的角譜分量相

25、應(yīng)于不同方向傳播的平面波分量， 故角譜的展寬意味著在出射波中除了包含入射光波相同方向傳播的分量之外，還增加了一些與入射光波傳播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空間頻率的波，這就是衍射波。2.3 用角譜理論推導(dǎo)光在自由空間的傳播2.3.1標(biāo)量衍射的推導(dǎo)及直觀解釋本節(jié)用平面波角譜理論即從頻域的角度推導(dǎo)常用的衍射公式。前面已經(jīng)討論過頻域的角譜傳播問題，在由已知平面上的光場(chǎng)分布U o(x, y, 0)得到其角譜A0(fx, fy,0)后，可以利用角譜的傳播公式(2.22b)求出它傳播到 z=z平面上的角譜A( fx, fy, z)。通過傅里葉反變換，最后得到用U。(x, y, 0)表示的衍射光場(chǎng)分

26、U (x, y, z)U(x,y,z)二II, ,Uo(Xo,yo,O)exp jJOOI2 n(2.30)43 expj2 nfx(x-X。) fy(y-yo)d fxdfydx°dy°這就是平面波譜衍射的基本公式。對(duì)孔徑平面的積分實(shí)際上只需對(duì)孔徑內(nèi)的場(chǎng)做積分。式(2.30)的四重積分使用起來仍很不方便，還需要按照菲涅耳的方法進(jìn)行化簡(jiǎn)?？紤]一列平面波通過一個(gè)孔徑，在孔徑后不同的平面上觀察其輻射的圖樣。如圖2.7所示，在緊靠孔徑后的平面上，光場(chǎng)分布基本上與孔徑的形狀相同，這個(gè)區(qū)域稱為幾何投影區(qū)；隨 著傳播距離的增加，衍射圖像與孔的相似性逐漸消失，衍射圖的中心產(chǎn)生亮暗變化，從

27、這 個(gè)區(qū)域開始到無窮遠(yuǎn)處，均稱為菲涅耳衍射區(qū)；當(dāng)傳播距離進(jìn)一步增加時(shí)，衍射圖樣的相 對(duì)強(qiáng)度關(guān)系不再改變，只是衍射圖的尺寸隨距離的增加而變大，幅度隨之降低，這個(gè)區(qū)域 稱為夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)。夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)包含在菲涅耳衍射區(qū)內(nèi)，但是通常不太確切地把前 者稱做遠(yuǎn)場(chǎng)衍射，后者稱做近場(chǎng)衍射。圖2.7按傳播距離劃分衍射區(qū)2.3.2菲涅耳衍射公式假定孔徑和觀察平面之間距離z遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于孔徑a的線度，并且只對(duì)z軸附近的一個(gè)小區(qū)域內(nèi)進(jìn)行觀察，則有Zx0max ' y0max 及 Z 'x2 + y2maxmax此條件等同于37t22 2z(X X。)(y y。)maxn22 2.(Lo - LJ4，4

28、'這里，Lo=('.,X： y：)max為孔徑的最大尺寸；Ll=( . x2 - y2)max為觀察區(qū)的最大區(qū)域。 這 種近似稱為菲涅耳近似或傍軸近似。 在這種情況下，對(duì).J - '2 fx2 - ' 2fy2展開，只保留# ( f )2項(xiàng)，略去高次項(xiàng),('2 22 21 2 221 - fx - fy ”1(fx - fy )2這樣式(2.30)可寫為U(X,y)_ exp( jkz)ki |U o(Xo,yo)exp j(X-Xo)(yy°) dx°dy°(2.31)上式還可表示為U(x,yexp(Jexp j Azj

29、jy2my。)-z(2.32)k22 I - |j(X0-y。) exp(xx。+yy。)1 2z扎zexpdx°dy°這就是常用的菲涅耳衍射公式。上一節(jié)已證明，因?yàn)椴▌?dòng)的可疊加性，可以把光波的傳播現(xiàn)象看做一個(gè)線性系統(tǒng)，其 傳遞函數(shù)由式(2.26)表示。在菲涅耳近似下這一傳遞函數(shù)可進(jìn)一步表示為(2.33)2 2H ( fx, fy) =exp( jkz)exp -j n z( fxfy )它表示在菲涅耳近似下角譜傳播的相位延遲。因子exp( j kz)代表一個(gè)總體相位延遲，它對(duì)、-2O于各種頻率分量都是一樣的，因子exp -j n z(fx fy )代表與頻率有關(guān)的相位延遲

30、，不同的頻率分量，其相位延遲不一樣。2.3.2夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換在菲涅耳衍射公式中，對(duì)衍射孔采取更強(qiáng)的限制條件，即取(2.34)1 2 z_ k( x。2則平方相位因子在整個(gè)孔徑上近似為k 2j (X一 2z'Il U o(Xo, yo,O)exp - jU(x, yzexpy2(2.35)(XX。+ yy°) dx°dy_1 z這就是夫瑯禾費(fèi)衍射公式。在夫瑯禾費(fèi)近似條件下，觀察平面上的場(chǎng)分布等于衍射孔徑上 場(chǎng)分布的傅里葉變換和一個(gè)二次相位因子的乘積。對(duì)于僅響應(yīng)光強(qiáng)不響應(yīng)相位的光電探測(cè)器，夫瑯禾費(fèi)衍射就是光場(chǎng)的傅里葉變換。2.4光波在光波導(dǎo)中的傳播光在光波導(dǎo)中

31、的傳播行為可以用幾何光學(xué)的射線理論和電磁場(chǎng)在受限介質(zhì)中波動(dòng)理 論進(jìn)行分析。2.4.1基于幾何光學(xué)的光纖維導(dǎo)光原理光在光纖中的傳播可以用簡(jiǎn)單的幾何光學(xué)原理即全內(nèi)反射原理來說明。典型光纖的橫截面示意圖如圖2.8所示。光纖由折射率略高的纖芯、折射率略低的包層及表面涂層組成。根據(jù)纖芯折射率徑向分布的不同，光纖可分為階躍折射率分布光纖和 漸變折射率分布光纖，如圖2.9所示。圖2.8光纖的橫截面示意圖圖2.9光纖纖芯折射率分布漸變折射牢分布丘纖光纖的導(dǎo)光原理可用射線理論與導(dǎo)波理論兩種方法進(jìn)行分析。當(dāng)纖芯直徑遠(yuǎn)大于光波波長(zhǎng)時(shí)，基于幾何光學(xué)的射線理論可以很好地解釋光纖的導(dǎo)光原理和特性。當(dāng)纖芯直徑與 光波波長(zhǎng)可

32、比擬時(shí)，則須用導(dǎo)波理論進(jìn)行分析。這里，僅對(duì)階躍折射率分布光纖的射線理 論分析方法進(jìn)行介紹。圖2.10表示光波在階躍折射率分布光纖中的傳播路徑。一束光線以與光纖軸線成 R的角度入射到芯區(qū)中心， 在光纖一空氣界面發(fā)生折射， 折射光與光纖軸線的夾角 H由折射定 律決定n0 sin 2 = nt sin -r(2.36)式中，n0和nt分別為空氣和纖芯的折射率。折射光到達(dá)光纖芯 一包層界面時(shí)，若入射角大于臨界角；時(shí)，將發(fā)生全反射，若包層折射率為n2，則二定義為sin c = n2/nt(2.37)所有;：-'；的光線都將被限制在光纖芯中，這就是光纖導(dǎo)光的基本原理。圖2.10光波在階躍折射率分布

33、光纖中的傳播路徑F面介紹光纖對(duì)光線的接收角，即數(shù)值孔徑(Numerical Aperture, NA)。為實(shí)現(xiàn)全反射，對(duì)光線的入射角有一個(gè)最大值限制，R與:有關(guān)系式斗=n/2 _ ：:成立。以化替代，并利用式(2.32)和式(2.37)可得no sin %櫛221/2=門勺cos二=(門勺一n2)(2.38)45 # n0sin p稱為光纖的數(shù)值孔徑，代表光纖的集光能力。對(duì)于n2、n1，NA可近似為(2.39)1 /2N A =(2 二)，丄-0 - n2) /式中，丄為光纖的纖芯與包層相對(duì)折射率差；耳是光纖的接收角。當(dāng)入射角 R "：耳時(shí)，光線在纖心和包層的界面發(fā)生全內(nèi)反射，因而光

34、線在光纖中傳播時(shí)不會(huì)有嚴(yán)重的衰減；然而，當(dāng).-ic時(shí)，光線在纖心和包層的界面上會(huì)發(fā)生能量泄漏，造成嚴(yán)重的衰減。這 就是幾何光學(xué)關(guān)于光線在光纖中傳播的基本原理。由于光纖很長(zhǎng)，因此光在傳播過程中要 發(fā)生很多次反射。為了保證低衰減，我們需要百分之百地完全反射，每次反射中的一小點(diǎn) 衰減在多次反射后將導(dǎo)致巨大的衰減。到此為止，我們從幾何光學(xué)的觀點(diǎn)解釋了光線如何在光纖中傳播。下一個(gè)需要了解的 問題是帶寬有多大，對(duì)此可做如下估計(jì)。假設(shè)光纖長(zhǎng)為l ,當(dāng)入射角n =o 時(shí)，光線穿過光纖的最短時(shí)間為tmin。從理論上，tmin由下式給出tminn1 L(2.40)V c / nt c當(dāng)光線以臨界角入射穿過光纖時(shí)需

35、花費(fèi)的時(shí)間最長(zhǎng)，為tmax時(shí)，光線在光纖中的傳播# # 距離為maxLL_sin c n2 / n1n1 L(2.41)n2# 因此，最大傳播時(shí)間為maxn 1 L / n2 n； Lc /n2c(2.42)上述兩種情況下，光纖傳播的時(shí)間差t為/ 、m lAt t max tmi n1c2 m axV(2.43)47 # 值得注意的是，傳播時(shí)間差從根本上限制了傳送信息的最大帶寬。為了避免不同傳播時(shí)間的信息相互混淆，最大帶寬B為1 1B(2.44)-t ntL / c( nt / n2 1)為了對(duì)式(2.44)有一定量的認(rèn)識(shí)，我們來看下面的例子。例2.1階躍折射率光纖的纖心折射率為nt =1.5

36、，包層折射率為n2 =1.485，長(zhǎng)度L =1 km，請(qǐng)計(jì)算此光纖的最大比特率。解：此光纖的最大比特率為1 1 1 B320 M b/s-t n丄 / c(nt / n2 1)1.5 10 m / 3 10m /s(1.5 /1.485 1)從這個(gè)例子可以看出，B遠(yuǎn)小于光學(xué)載波頻率(數(shù)量級(jí)是10 14 Hz)。為了解決這個(gè)問題，必須減小光線沿不同路徑傳播的時(shí)間差。有一種光纖(即單模光纖)，它只允許光線沿一條路線傳播，這樣可以獲得更大的帶寬。不過，簡(jiǎn)單幾何光學(xué)理論不能完全解釋這個(gè)現(xiàn) 象，其必須由下節(jié)所描述的更為精確的波動(dòng)理論來闡述。2.4.2基于光的波動(dòng)光學(xué)的波導(dǎo)導(dǎo)光理論當(dāng)光纖的橫向尺度與光的波

37、長(zhǎng)相比擬，需要更為精確的波動(dòng)光學(xué)理論來分析，尤其是 模式理論，才能解釋發(fā)生在光纖中的現(xiàn)象。波動(dòng)光學(xué)法從著名的麥克斯韋方程出發(fā)。光纖是絕緣介質(zhì)，因此它的自由電荷密度亍=0，傳導(dǎo)電流密度J =0。另外還可假設(shè)光波是簡(jiǎn)諧振蕩波，對(duì)這一線性系統(tǒng)，一般可以用基于傅里葉變換的加權(quán)求和來處理。在這些假設(shè)下，準(zhǔn)單色光場(chǎng)的電場(chǎng) E滿足下面的波動(dòng)方程' 2 E n 2k： E 二 0(2.45)式中，k0 = /c是波數(shù)；是光的時(shí)間角頻率；c是真空中的光速；n = , J ；r是 光纖的材料折射率，它可能是角頻率的函數(shù)，即由于一般光纖具有圓柱對(duì)稱性，因此在柱坐標(biāo)下解式(2.45)很方便。注意式(2.45)

38、是一個(gè)矢量微分方程，為了簡(jiǎn)單起見，首先處理電場(chǎng)在z軸方向的分量Ez。這時(shí)，式(2.45)變成下面簡(jiǎn)單的標(biāo)量微分方程(2.46)2 2 2'、Ez - n k0 Ez = 0在如圖2.10所示的柱坐標(biāo)下，式(2.46)可以寫成G d廣E、J込1 +¥-2V+2Ez(人，z) n2k：Ez(幾，z)二# # 2 21已+召 + 1 d P cP cP2 P2 別22已 Ez(P,©,z)cP2式(2.47)是一個(gè)線性偏微分方程,總2 )2 2+ 三7 Ez(P,©,z)+ n?k：Ez( P,©,z)= cZ丿22n2k0Ez( ?, ,z) =01

39、 ;:Ez(；?, ,z)1 : Ez(乙,z)匸 Ez(乙,z)2. 2oz(2.47)包括三個(gè)變量(P,©,z)?？梢酝ㄟ^分離變量法求解，即可假設(shè)Ez(，：z) = F(T)和(J Z(z)(2.48)把式(2.48)代入式(2.47)，可以得到下面三個(gè)方程d Z(z) - 2Z(z) -0 dz(2.49a)d：()m()=0d(2.49b)ood F ( ') 1 dF ( ')2 2 - 2 m、(n k。- ： - QF(T)=0 d-: d ：(2.49c)式中，m是整數(shù)；-是常數(shù)。式(2.49a)的解是Z(z)二e"(2.50)此式描述了光波

40、是如何在z軸方向傳播的，一般稱為傳播常數(shù)。式(2.49b)的解是(2.51)# 此式描述了光場(chǎng)在徑向是如何變化的。®) =e(©+2 n , m必須是整數(shù)。式(2.49c)比較復(fù)雜，對(duì)階躍折射率光纖能得到一個(gè)解析解。 述為在圖2.11中，階躍光纖的折射率分布可描< a(2.52)> an2,圖2.11柱坐標(biāo)下的光纖49 # 式中，a是纖心的半徑。把式(2.52)代入式(2.49c)，得到下面的方程組2d F ( 01 dF(門P dP2d F (門 1 dF (門d ¥ d ；-2 2 : 2 n1 ko -+ n1 ko2F()=0,；- <

41、a(2.53a)(2.53b)# # 式(2.53a)和式(2.53b)可以通過定義兩個(gè)新常數(shù)得到進(jìn)一步簡(jiǎn)化，這兩個(gè)常數(shù)是(2.54a)一 n2(2.54b)把式(2.54a)和式(2.54b)代入式(2.53a)和式(2.53b)，得到d2F(廠d J21 dF ( ?)2mr2F (討二 0,(2.55a)# # 1 dF( )-d：?FL)(2.55b)d2F()d r2式(2.55a)是著名的貝塞爾方程，而式(2.55b)是修正的貝塞爾方程。這兩個(gè)方程的解都是貝塞爾函數(shù)，因此，F(xiàn) (：-)可以表達(dá)為A Jm(KP) +B Ym(KP), P 蘭 a F ( P) = «(2.

42、56)C Km(YP) +D .Im(YP), PX式中，Jm是m階一類貝塞爾函數(shù)；Ym是m階二類貝塞爾函數(shù)；Km是m階二類修正貝塞爾函數(shù)；Im是m階一類修正貝塞爾函數(shù)；A,B,C,D均是常數(shù)。當(dāng) 0時(shí)，Ym(、)_. ，由于光能不能為無窮大， B必須為零(即 B =0 )。同樣 地，當(dāng)!?):時(shí)，I m ()r，而光能也不能為無窮大， D必須為零(即D =0)。這樣， 式(2.56)簡(jiǎn)化為”AJm(KP),PWaF ( P)=(2.57)C Km(fP), Px貝塞爾函數(shù)jmr)和Km(門可以通過查貝塞爾函數(shù)表得到，或者可以由其級(jí)數(shù)表達(dá)式 用計(jì)算機(jī)算出。它們的級(jí)數(shù)表達(dá)式是Ym(x)2+nod

43、J m(X)=、n -0n(-1)n!(n m)!；Jm(X)fxYf12丿 m -12 n衛(wèi)1 n + ( n) +C(m + n) J (一1)'2n !( m + n)!(2.58a)(2.58b)# # (2.58c)k 1(k)jm jn m 111Km(x)= i Jm(ix) +iYm(ix)(2.59)2把式(2.50)，式(2.51)及式(2.57)代入式(2.48)，可以得到光場(chǎng) Ez的最終解Ez(,z,r) 口 :”AJm 佯 P)eCKm()ei m ：.' i |.z i；-，te eim , :z；：te e:_a- a(2.60)然后，通過麥克斯韋

44、方程可以求得H z, E二E , H ;?, H -.o下面，利用纖心和包層表面的邊界條件求常數(shù)-和。此邊界條件在數(shù)學(xué)上可表述為Ez(二 Ez()宀# Ez('.門；Ez(門cPcP(2.61)把式(2.60)代入式(2.61)，可得(2.62a)A Jm (. a) =C Km( a)(2.62b)A JmC-aC Km( a)51 # 式中，撇號(hào)表示對(duì)變量求導(dǎo)。把式 (2.62a)和式(2.62b)相除，得到下式(稱為色散關(guān)系式)(2.63)JmCa) _( a)- JmC-a Km( a)為了理解式(2.63),把式(2.54) 中 ,代入得KmC _n:k：a)(2.64)(2

45、.66)Jm C. n：k；a) 有一個(gè)傳輸模式，這種光纖稱為單模光纖。既然只有一個(gè)模式在光纖中傳播，模間色散就不存在，因此在長(zhǎng)距離通信中單模光纖可以有更寬的帶寬。當(dāng)V更大時(shí)，光纖中存在的模式數(shù)大約等于(2.68)這對(duì)應(yīng)于多模光纖的情況。例2.2設(shè)一光纖的纖心直徑為50(im,片=1.48, n2 =1.46,工作波長(zhǎng)九= 0.82請(qǐng)計(jì)算其模式數(shù)。解：2 na2.門勺一 n2 tt50(im / 22歹既然V .1，可以用近似公式 N二V 2 / 2來計(jì)算其模式數(shù)46.65= 10891.48-1.46=46.45# # 因此，在普通的多模光纖中，傳播的模式多達(dá)上千個(gè)。例2.3 光纖工作在單模

46、狀態(tài)下，求其所允許的最大纖心半徑。已知=1.465, n2 =1.46，工作波長(zhǎng)，=1250 nm。解：?jiǎn)文＿\(yùn)行條件是 V =2 na/n： -n：）_ 2.405，因此最大半徑amax是2.405 2.4051.25 mamax 二2222r=3.96 E2 n , 口 - n22 n . 1.465-1.46此結(jié)果告訴我們，單模光纖的半徑很小。例2.4 一光纖半徑a = 2卩m , n 2 = 1.45 ,相對(duì)折射率差厶=0. 0 1，工作波長(zhǎng) ，=1. 2 8 8卩m，請(qǐng)計(jì)算此光纖的傳輸常數(shù)1和有效折射率n。解：根據(jù)相對(duì)折射率差的定義厶=（門勺-n 2） / nt可得n21.45門勺 2

47、1.46461 L 1-0.01波數(shù)為2 n k04.878m J1.288 m# # 歸一化頻率為53 2 歸 I 222 7l2/22V =n n21.4646-1.45=2.016 : 2.405九1.288 (im因此，光纖中只有一個(gè)模式在傳播，這就是單模光纖的情形。求解方程(2.64)可得到傳播常數(shù)1 ,即求解下式2 : 2k。一 - a)koko-：2a)2n 2 koKm(# # 單模光纖只有一個(gè)基模在傳播，它對(duì)應(yīng)于m =o的情況。把m = o代入上面的方程得n1ko2a)Jo(22Ko(22K_ n 2 k o a)-n 2 kon2ko a)利用貝塞爾函數(shù)恒等關(guān)系式,即Jo(

48、x) = J1(x)和Ko (x) = K1 (x)，此方程可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。這樣可得JoO. n：k：a)k： 一 "n；K°(n:k： a)ko -2 a) n:k： «1(迸書n：k；a)(2.69)# # 方程(2.69)是一個(gè)超越方程，它沒有解析解，采用圖解法可求得傳播常數(shù)1。把方程(2.69)的兩邊分別看做函數(shù)，用MathCAD程序可以分別畫出它們的曲線圖。如圖2.12所示，兩條曲線的交點(diǎn)就給出了傳播常數(shù)：的值，：=7.103，所以有效折射率n = : / k0 =1.456可以看出，有效折射率小于 n 1,大于巳，這和理論分析相一致。# # 圖2.12

49、方程(2.69)的左式和右式作為：函數(shù)的曲線圖# 2.4.3光纖中的衰減正如在241節(jié)及242節(jié)中所討論的，基于全內(nèi)反射原理，光線可以被限制在光纖里。然而，光纖中的一些機(jī)制可能導(dǎo)致衰減，圖2.13說明了衰減是波長(zhǎng)的函數(shù)。當(dāng)工作波長(zhǎng) ：1.3卩m時(shí)，損耗主要來自瑞利散射，它正比于1 / 4。而當(dāng)，.1.6呵 時(shí)，紅外吸收損耗變得越來越大。在，=1.4卩m處有一個(gè)損耗峰值，這主要是由氫氧根的吸收造成的。因此，為了將損耗減到最少，當(dāng)前的通信系統(tǒng)工作在中心波長(zhǎng)為1.3卩m或1.55卩m的低損耗窗口。1415% 凹0it55 # 圖2.13光的光學(xué)損耗（或衰減）2.4.4單模光纖的橫模正如前面幾節(jié)所討論

50、的，電場(chǎng)Ez具有式（2.60）所描述的分布狀態(tài)。本節(jié)將討論單模光纖的場(chǎng)分布。這對(duì)應(yīng)于基模的情況，也就是 m = 0。把m = 0代入式（2.60），則Ez的歸一 化橫向分布為! J°MP)(2.70)J 0 C a)EzC )二、|K°(fP).K°( a)，為便于計(jì)算，對(duì)1.2 : V :：: 2.4的情況有一個(gè)簡(jiǎn)便的經(jīng)驗(yàn)公式。歸一化電場(chǎng)Ez（門可以表述為Ez( )/Ww二 a I 0.651.6193/ 2V2.879(2.71)上式是高斯函數(shù)。為了理解式(2.70)和式(2.71),我們來看下面的例子。例2.5 一單模硅光纖半徑a = 2.6卩m ,纖心折射

51、率=1 . 4 6 5,包層折射率 n2 =1. 45工作波長(zhǎng)，=1.55卩m。(a) 對(duì)精確的公式即式 (2.70)和高斯近似經(jīng)驗(yàn)公式(2.71)，請(qǐng)分別畫橫向電場(chǎng)分布Ez(門的曲線圖。(b) 如果光纖半徑變?yōu)閍 =1.2眄，重做曲線圖。解：(a)首先，計(jì)算式(2.70)和式(2.71)中的參數(shù)。在情況下，波數(shù)2 n 2 n_lk04. 0 5 4m丸 1. 5 4m/22 歸ni - n22 冗2.6 4m2T歸一化頻率 V-1.465-1.45=2.204。幾1.55 pm傳播常數(shù)可以用例2.4中所描述的圖解法計(jì)算，結(jié)果為一：= 5.907。這樣，可算出參數(shù)和2 2 - 2 2 2 2二.厲 k。1.4654.054-5.9070.8252 -n:k： = -5.907 2 一 1.45? 4.054 = 0.586基于這些參數(shù)，用MathCAD程序可以畫出Ez(門的曲線圖，如圖2.14(a)所示。從圖2.14(a) 可以看出，精確公式和經(jīng)驗(yàn)公式之間的差別非常小。這表明，當(dāng)1.2 :V : 2.4時(shí)，高斯近似是可行的。本例中 V =2.204落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)。(b)依照新的半徑a =1.2 pm，我們重算了電場(chǎng)分布，如圖2.14(b)所示，兩條曲線有明顯的差別。注