9-2高等數(shù)學同濟大學第六版本

1、 習題9-2 1. 計算下列二重積分: (1), 其中D=(x, y)| |x|£1, |y|£1; 解 積分區(qū)域可表示為D: -1£x£1, -1£y£1. 于是 . (2), 其中D是由兩坐標軸及直線x+y=2所圍成的閉區(qū)域: 解 積分區(qū)域可表示為D: 0£x£2, 0£y£2-x. 于是 . (3), 其中D=(x, y)| 0£x£1, 0£y£1; 解 . (4), 其中D是頂點分別為(0, 0), (p, 0), 和(p, p)的三角形閉區(qū)域.

2、 解 積分區(qū)域可表示為D: 0£x£p, 0£y£x. 于是, . . 2. 畫出積分區(qū)域, 并計算下列二重積分: (1), 其中D是由兩條拋物線, 所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域圖如, 并且D=(x, y)| 0£x£1, . 于是 . (2), 其中D是由圓周x2+y2=4及y軸所圍成的右半閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域圖如, 并且D=(x, y)| -2£y£2, . 于是 . (3), 其中D=(x, y)| |x|+|y|£1; 解 積分區(qū)域圖如, 并且 D=(x, y)| -1£x£

3、;0, -x-1£y£x+1È(x, y)| 0£x£1, x-1£y£-x+1. 于是 =e-e-1. (4), 其中D是由直線y=2, y=x及y=2x軸所圍成的閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域圖如, 并且D=(x, y)| 0£y£2, . 于是 . 3. 如果二重積分的被積函數(shù)f(x, y)是兩個函數(shù)f1(x)及f2(y)的乘積, 即f(x, y)= f1(x)×f2(y), 積分區(qū)域D=(x, y)| a£x£b, c£ y£d, 證明這個二重積分等于兩個

4、單積分的乘積, 即 證明 , 而 , 故 . 由于的值是一常數(shù), 因而可提到積分號的外面, 于是得 4. 化二重積分為二次積分(分別列出對兩個變量先后次序不同的兩個二次積分), 其中積分區(qū)域D是: (1)由直線y=x及拋物線y2=4x所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域如圖所示, 并且D=(x, y)|, 或D=(x, y)| ,所以 或. (2)由x軸及半圓周x2+y2=r2(y³0)所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域如圖所示, 并且 D=(x, y)|, 或D=(x, y)| ,所以 , 或. (3)由直線y=x, x=2及雙曲線(x>0)所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域如圖所示, 并

5、且 D=(x, y)|, 或D=(x, y)| È(x, y)|,所以 , 或. (4)環(huán)形閉區(qū)域(x, y)| 1£x2+y2£4. 解 如圖所示, 用直線x=-1和x=1可將積分區(qū)域D分成四部分, 分別記做D1, D2, D3, D4. 于是 用直線y=1, 和y=-1可將積分區(qū)域D分成四部分, 分別記做D1, D2, D3, D 4, 如圖所示. 于是 5. 設f(x, y)在D上連續(xù), 其中D是由直線y=x、y=a及x=b(b>a)圍成的閉區(qū)域, 證明:. 證明 積分區(qū)域如圖所示, 并且積分區(qū)域可表示為 D=(x, y)|a£x£

6、b, a£y£x, 或D=(x, y)|a£y£b, y£x£b. 于是 , 或. 因此 . 6. 改換下列二次積分的積分次序: (1); 解 由根據積分限可得積分區(qū)域D=(x, y)|0£y£1, 0£x£y, 如圖. 因為積分區(qū)域還可以表示為D=(x, y)|0£x£1, x£y£1, 所以 . (2); 解 由根據積分限可得積分區(qū)域D=(x, y)|0£y£2, y2£x£2y, 如圖. 因為積分區(qū)域還可以表示

7、為D=(x, y)|0£x£4, , 所以 . (3); 解 由根據積分限可得積分區(qū)域, 如圖. 因為積分區(qū)域還可以表示為, 所以 (4); 解 由根據積分限可得積分區(qū)域, 如圖. 因為積分區(qū)域還可以表示為, 所以 . (5); 解 由根據積分限可得積分區(qū)域D=(x, y)|1£x£e, 0£y£ln x, 如圖. 因為積分區(qū)域還可以表示為D=(x, y)|0£y£1, ey£x£ e, 所以 (6)(其中a³0) 解 由根據積分限可得積分區(qū)域, 如圖. 因為積分區(qū)域還可以表示為 ,

8、所以 . 7. 設平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線x+y=2, y=x和x軸所圍成, 它的面密度為m(x, y)=x2+y2, 求該薄片的質量. 解 如圖, 該薄片的質量為 . 8. 計算由四個平面x=0, y=0, x=1, y=1所圍成的柱體被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立體的體積. 解 四個平面所圍成的立體如圖, 所求體積為 . 9. 求由平面x=0, y=0, x+y=1所圍成的柱體被平面z=0及拋物面x2+y2=6-z截得的立體的體積. 解 立體在xOy面上的投影區(qū)域為D=(x, y)|0£x£1, 0£y£1-x, 所求立體的體積為以曲面

9、z=6-x2-y2為頂, 以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積, 即 . 10. 求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所圍成的立體的體積. 解 由消去z, 得x2+2y2=6-2x2-y2, 即x2+y2=2, 故立體在xOy面上的投影區(qū)域為x2+y2£2, 因為積分區(qū)域關于x及y軸均對稱, 并且被積函數(shù)關于x, y都是偶函數(shù), 所以 . 11. 畫出積分區(qū)域, 把積分表示為極坐標形式的二次積分, 其中積分區(qū)域D是: (1)(x, y)| x2+y2£a2(a>0); 解 積分區(qū)域D如圖. 因為D=(r, q)|0£q£2p, 0£r&

10、#163;a, 所以 . (2)(x, y)|x2+y2£2x; 解 積分區(qū)域D如圖. 因為, 所以 . (3)(x, y)| a2£x2+y2£b2, 其中0<a<b; 解 積分區(qū)域D如圖. 因為D=(r, q)|0£q£2p, a£r£b, 所以 . (4)(x, y)| 0£y£1-x, 0£x£1. 解 積分區(qū)域D如圖. 因為, 所以 . 12. 化下列二次積分為極坐標形式的二次積分: (1); 解 積分區(qū)域D如圖所示. 因為 , 所以 . (2); 解 積分區(qū)域D

11、如圖所示, 并且 , 所示 . (3); 解 積分區(qū)域D如圖所示, 并且 , 所以 (4). 解 積分區(qū)域D如圖所示, 并且 , 所以 13. 把下列積分化為極坐標形式, 并計算積分值: (1); 解 積分區(qū)域D如圖所示. 因為, 所以 . (2); 解 積分區(qū)域D如圖所示. 因為, 所以 . (3); 解 積分區(qū)域D如圖所示. 因為, 所以 . (4). 解 積分區(qū)域D如圖所示. 因為, 所以 . 14. 利用極坐標計算下列各題: (1)，其中D是由圓周x2+y2=4所圍成的閉區(qū)域; 解 在極坐標下D=(r, q)|0£q£2p, 0£r£2, 所以

12、. (2)，其中D是由圓周x2+y2=1及坐標軸所圍成的在第一象限內的閉區(qū)域; 解 在極坐標下, 所以 . (3), 其中D是由圓周x2+y2=4, x2+y2=1及直線y=0, y=x所圍成的第一象限內的閉區(qū)域. 解 在極坐標下, 所以 . 15. 選用適當?shù)淖鴺擞嬎阆铝懈黝}: (1)，其中D是由直線x=2，y=x及曲線xy=1所圍成的閉區(qū)域. 解 因為積分區(qū)域可表示為, 所以 . (2), 其中D是由圓周x2+y2=1及坐標軸所圍成的在第一象限內的閉區(qū)域; 解 在極坐標下, 所以 . (3), 其中D是由直線y=x, y=x+a, y=a, y=3a(a>0)所圍成的閉區(qū)域; 解 因為積分區(qū)域可表示為D=(x, y)|a£y£3a, y-a£x£y, 所以 . (4), 其中D是圓環(huán)形閉區(qū)域(x, y)| a2£x2+y2£b2. 解 在極坐標下D=(r, q)|0£q£2p, a£r£b, 所以 . 16. 設平面薄片所占的閉區(qū)域D由螺線r=2q上一段弧()與直線所圍成, 它的面密度為m(x, y)=x2+y2. 求這薄片的質量. 解 區(qū)域如圖所示. 在極坐標下, 所以所求質量 . 17. 求由平面y=0, y=kx(k>0), z=0以及球心在原點、