線性代數(shù)習(xí)題解答

1、線性代數(shù)習(xí)題解習(xí)題一 A組1.計(jì)算下列二階行列式（1） （2） （3） （4）2.計(jì)算下列三階行列式（1）=1+8+27-6-6-6=18 （2） （3） （4）3. 當(dāng)k取何值時(shí)，=0.解：， 得 ， 所以 或 。4.求下列排列的逆序數(shù). 解：(1) . (2) . (3) .(4) .5.下列各元素乘積是否是五階行列式 中一項(xiàng)?如果是,該項(xiàng)應(yīng)取什么符號(hào)?解：(2) 不是. 因?yàn)?中有倆個(gè)元素在第一列.(3) 是. 對(duì)應(yīng)項(xiàng)為 所以該項(xiàng)應(yīng)取負(fù)號(hào)。6.選擇i, j使成為五階行列式 中帶有負(fù)號(hào)的項(xiàng)解: 當(dāng) 時(shí), , 是奇排列.當(dāng) 時(shí), , 是偶排列.所以 i = 1, j = 5. 8.利用行列式

2、性質(zhì)計(jì)算下列行列式.解: (1) (2) . =(3) (4) .（5）（6）9.用行列式性質(zhì)證明:(1) =證明: .(2) =證明: . (3) 證明: = .10.解下列方程: (1) 解: 由 得 所以 或 .(2) 解: 由 = 得 , 所以 , .15. 用克萊姆法則解下列線性方程組:（1）解：由系數(shù)行列式 , . (3) 解: 由系數(shù)行列式 63 得 , ,. 16.判斷下列齊次方程組是否有非零解:(1) 解:由系數(shù)行列式(第一、二行對(duì)應(yīng)元素成比例) 此齊次方程組有非零解. (2). 解:由系數(shù)行列式此齊次方程組只有唯一的非零解.17. 若齊次線性方程組 有非零解.則取何值?解:

3、由系數(shù)行列式其齊次線性方程組有非零解,則 或 .習(xí)題二 A組 1.計(jì)算下列矩陣的乘積. (1) .解： .（2） (3) .解： .（4）解：=+ 2. 計(jì)算下列各矩陣: (1) .解： .（2）解: = (3) .解： = ,其中 .(4) 解： = 其中 , .5. 證明：對(duì)任意矩陣，與都是對(duì)稱方陣；而當(dāng)為階對(duì)稱方陣時(shí)，則對(duì)任意階方陣，為對(duì)稱方陣.證明： （1）為階方陣， 又 為階對(duì)稱方陣同理為階對(duì)稱方陣（2）為階方陣， 為階對(duì)稱方陣 又 為階對(duì)稱方陣 6.設(shè)均為階方陣.證明:如果則 解: 由已知 則 .且 即 , 則 . 得 .8.（3）解： 9. 解下列矩陣方程: (1) 解: 由 ,

4、 得 . (3) 解: 由 , 即 . 11. 設(shè) , 求解: 由已知 因 存在, 則 由 所以 .12.設(shè)均為n階方陣，為n階單位陣，證明： （1） 若 則可逆； （2） 若 則可逆，并求. 解: （1）由已知 , 即,所以 可逆,且. （2）由已知 , 所以 可逆,且. 14.設(shè), 求 及.解: , 由, 所以 . 由, 所以 .15. 用初等變換把下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形:(1) 解: 16.求下列各矩陣的秩：（2） 所以17.設(shè)，且矩陣的秩為2，求解：因?yàn)?，所?0 又因?yàn)椋?所以 即習(xí)題三 A組2. 設(shè)，其中 , 求向量.解:由已知 , 即, 所以 3. 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān),而向量組 試判斷

5、向量組的線性相關(guān)性.解:設(shè)數(shù) 使得 成立，即 ，得線性方程組，其系數(shù)行列式線性方程組只有唯一解，則向量組的線性無(wú)關(guān).5.已知向量組 問(wèn)取何值時(shí)向量組線性無(wú)關(guān)或向量組線性相關(guān).解:設(shè)數(shù) 使得成立，得線性方程組 ， 其系數(shù)行列式.所以 線性方程組有非零解 向量組線性相關(guān); 線性方程組只有零解 向量組線性無(wú)關(guān). 6.設(shè)向量組線性無(wú)關(guān),證明向量組也線性無(wú)關(guān).解：設(shè)數(shù) 使得成立，得線性方程組， 其系數(shù)行列式線性方程組只有唯一解，所以向量組線性無(wú)關(guān). 7. 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān),判斷向量組線性相關(guān)性并證明之.解：設(shè)數(shù) 使得 成立得線性方程組 其系數(shù)行列式則線性方程組有非零解，所以向量組線性相關(guān) . 9.若向量

6、組線性無(wú)關(guān),而向量不能由線性表示,證明向量組線性無(wú)關(guān). 證明: 反證法.設(shè)線性相關(guān),由定理3.1向量可由線性表示,這與已知條件矛盾.假設(shè)不成立.所以向量組線性無(wú)關(guān).10.判斷題(結(jié)論對(duì)的請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)打“” ,錯(cuò)的打“×”)(1) 若當(dāng)數(shù)時(shí),有則向量組線性無(wú)關(guān). ( × ). (2) 若有個(gè)不全為零的數(shù), 使得則向量組線性無(wú)關(guān) ( × ). (3) 若向量組線性相關(guān),則可由其余向量線性表示. ( × ). (4) 設(shè)向量組;.若向量組線性無(wú)關(guān),則向量組也線性無(wú)關(guān). ( × ). (5) 若向量組線性無(wú)關(guān),則向量不能由線性表示. ( ). (6) 若

7、向量組線性無(wú)關(guān)且向量不能由線性表示,證明向量組線性無(wú)關(guān). ( ). (7) 若向量不能由線性表示,則向量組線性無(wú)關(guān). ( × ).提示: 利用向量組 討論(1)(4),(7),利用定理3.1和3.2討論(5),(6).12.求下列向量組的秩,并求它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組. (1) .解: 取矩陣 所以向量組的秩為3，極大無(wú)關(guān)組是. (2) .解: 取矩陣所以向量組的秩為3，極大無(wú)關(guān)組是. (3) 解: 取矩陣所以向量組的秩為3，極大無(wú)關(guān)組是.14.求解線性方程組.(1) 解： 由增廣陣 所以 . (2) 解：由增廣陣 得 , 所以此方程組無(wú)解.(3) 解：由增廣陣得同解方程組 ; 取 得通

8、解 (4) 解：由增廣陣 得同解方程組取 得通解 .15.求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及全部解.（1）解：由系數(shù)陣 得同解方程組 , 取 得通解 ， 基礎(chǔ)解系. (2) 解：由系數(shù)陣 得同解方程組 取 得通解 ，基礎(chǔ)解系. (4) 解：由系數(shù)陣 得同解方程組 , 取 , 得基礎(chǔ)解系 , 通解 .18.已知非齊次線性方程組 解: 由增廣陣 知: 當(dāng)時(shí), ,方程組有無(wú)窮多解,通解為 ; 當(dāng)時(shí), 則 ,方程組無(wú)解; 當(dāng)時(shí), 有,方程組有唯一解.19.問(wèn)取何值時(shí)，線性方程組有唯一解，無(wú)解，無(wú)窮多解（無(wú)窮多解時(shí)并求其解）解：（1）系數(shù)行列式= 當(dāng)時(shí)方程組有唯一解（克拉默法則） （2）當(dāng)時(shí)， 所以線性方

9、程組無(wú)解（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即時(shí) ，方程組有無(wú)窮多解，同解方程組為 令 得方程組的特解 取得基礎(chǔ)解系此時(shí)全部解為 其中為任意常數(shù)20. 設(shè) 將表示成向量組的線性組合.解: 設(shè)數(shù) 使得 得 其增廣陣 得, 即.21.設(shè)四元線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，是其3個(gè)解向量，且，.求其全部解解： 所以全部解為 其中為任意常數(shù)B組1. 判斷題(結(jié)論對(duì)的請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)打“” ,錯(cuò)的打“×”)(1) 若,則維向量組線性相關(guān). ( )提示:定理3.3的推論2.(2)若向量組線性相關(guān),則它的任意一個(gè)部分組都相關(guān). ( × )提示:利用上面(10)題解中的討論.(3) 若向量組線性相關(guān),則它的秩小于,

10、反之也對(duì). ( )提示: 若向量組的秩為,則若.(4) 向量組的極大無(wú)關(guān)組為. ( × )提示: 向量組的秩為3.(5) 若階方陣的行列式不等于零,則的列向量組線性相關(guān). ( × )提示: 由階方陣的行列式不等于零, 方陣的秩,和的列向量組的秩=方陣的秩, 則的列向量組線性相關(guān). 2. 填空題(1) 向量組的秩= 2 .解: 由.(2) 若都是齊次線性方程組的解向量,則= 0 .解: .(3) 若向量組線性相關(guān),則1 .解: 由線性相關(guān),有 .即 . (4) 方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)= 1 .解:由系數(shù)陣的秩是2,.(5) 方程組的基礎(chǔ)解系為 .(6) 若線性方程組的

11、有解,則長(zhǎng)數(shù) 15/4 .解: 線性方程組的有解,則其系數(shù)陣的秩=增廣陣的秩,有所以 .3. 單項(xiàng)選擇題(1) 向量組(I)線性相關(guān)的充分必要條件是（ B ）. (A) (I)中每個(gè)向量都可由其余向量線性表示. (B) (I)中至少有一個(gè)向量都可由其余向量線性表示. (C) (I)中只有一個(gè)向量都可由其余向量線性表示. (D) (I)中不包含零向量.提示:定理3.2.習(xí)題四 A組10.下列矩陣是否為正交矩陣？（1） （2）解：（1），其中 所以為正交矩陣（2），其中 所以不是正交矩陣11.設(shè)是階對(duì)稱矩陣，是階正交矩陣，證明也是對(duì)稱矩陣證明： 由題意可知， 因?yàn)?所以也是對(duì)稱矩陣習(xí)題五 A組1.

12、 設(shè)矩陣 , 試證向量為矩陣的屬于特征值的特征向量.解：由 所以向量為矩陣的屬于特征值的特征向量. 3. 若是矩陣的一個(gè)特征值, 是正整數(shù),試證是矩陣的一個(gè)特征值.證明: 由是矩陣的一個(gè)特征值,存在非零向量,使得成立,即是矩陣的屬于特征值的特征向量.那么有所以是矩陣的一個(gè)特征值.4. 若是矩陣的一個(gè)特征值,試證（1）是矩陣的一個(gè)特征值;（2）若,矩陣的特征值只能等于-2或1.證明: 由是矩陣的一個(gè)特征值,存在非零向量,使得成立,即是矩陣的屬于特征值的特征向量.那么有 (1) 所以是矩陣的一個(gè)特征值.(2) 由, 和 , , 有,得,即矩陣的特征值只能等于-2或1.7. 求下列矩陣的特征值與特征

13、向量. (1) 解：由 得特征值 當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足齊次線性方程組，即,其基礎(chǔ)解系.所以矩陣的屬于特征值的全部特征向量為,其中是任意非零常數(shù).當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足齊次線性方程組，即,其基礎(chǔ)解系.所以矩陣的屬于特征值的全部特征向量為,其中是任意非零常數(shù). (2) 解：由 得特征值 當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足齊次線性方程組,即,其基礎(chǔ)解系.所以矩陣的屬于特征值的全部特征向量為,其中是任意非零常數(shù). (3) 解：由 得特征值 當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足齊次線性方程組，即,其基礎(chǔ)解系.所以矩陣的屬于特征值的全部特征向量為,其中是任意不同時(shí)為零常數(shù).8. 設(shè)為3階矩陣,滿足, 求 (1)的

14、特征值; (2)的行列式.解: (1) 因得因即得因即得(2)由和,有.9. 已知矩陣 的特征值求的值，并求矩陣特征向量。解：由和,因 ， 得 . 當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足齊次線性方程組，即,由其基礎(chǔ)解系.所以矩陣的屬于特征值的全部特征向量為,其中是任意不同時(shí)為零常數(shù).當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足齊次線性方程組，即,由其基礎(chǔ)解系.所以矩陣的屬于特征值的全部特征向量為,其中是任意不同時(shí)為零常數(shù).12. 設(shè)3階矩陣的特征值為-2，-1，3，矩陣，求矩陣的行列式。解 因?yàn)榈奶卣髦禐?2，-1，3，。所以的特征值為17，9，-3，所以。17.設(shè)為階可逆矩陣，且相似于，試證：（1）為可逆矩陣 （2）相似

15、于（1）證明：因?yàn)橄嗨朴?，所以存在可逆矩陣?因?yàn)闉殡A可逆矩陣，所以，即 所以為可逆矩陣（2）因?yàn)椋?，所以相似?9. 已知3階矩陣與相似，的特征值為，求行列式的值。解 因?yàn)榕c相似，所以與有相同的特征值，所以的特征值也為，所以的特征值為1,2,3，所以。24試證：若正交矩陣有實(shí)特征值，則該特征值等于1或.證明：設(shè)為正交矩陣的特征值，為對(duì)應(yīng)的非零特特征向量 或即該特征值等于1或.25.若為奇數(shù)階的正交矩陣，且，試證1是的一個(gè)特征值證明：因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以 即，所以1是的一個(gè)特征值26. 若為階正交矩陣，且，試證是的一個(gè)特征值證明： 即，所以是的一個(gè)特征值27.若是正交矩陣的特征值，試證也是的一個(gè)特征值證明：因?yàn)槭钦痪仃嚨奶卣髦?，所以是的一個(gè)特征值 又因?yàn)?而且與的特征值相同，所以是的一個(gè)特征值28. 下列矩陣為是對(duì)稱陣，求正交矩陣，使為對(duì)角矩陣 解 ，所以。當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，所以因?yàn)槭菍儆诓煌卣髦档奶卣飨蛄?，所以是正交的，將單位化，得，第六?. 寫出下列二次型的矩陣 ； 解 ； 解 ；解 ； 解 ； 解 2. 寫出下列對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)的二次型 解 ； ； 解 ； 解 ； 解 ； 解 3. 求二