立體幾何證明題

1、 (文)如圖，已知在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADDC，ABDC，DCDD12AD2AB2.(1)求證：DB平面B1BCC1；(2)設E是DC上一點，試確定E的位置，使得D1E平面A1BD，并說明理由解析(1)證明：ABDC，ADDC，ABAD，在RtABD中，ABAD1，BD，易求BC，又CD2，BDBC.又BDBB1，B1BBCB，BD平面B1BCC1.(2)DC的中點即為E點DEAB，DEAB，四邊形ABED是平行四邊形AD綊BE.又AD綊A1D1，BE綊A1D1，四邊形A1D1EB是平行四邊形D1EA1B.D1E平面A1BD，A1B平面A1BD.D1E平面A1BD.12.已知

2、點S是正三角形ABC所在平面外的一點，且SASBSC，SG為SAB上的高，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點，試判斷SG與平面DEF內的位置關系，并給予證明分析如圖，觀察圖形，即可判定SG/平面DEF，要證明結論成立，只需證明SG與平面DEF內的一條直線平行觀察圖形可以看出：連結CG與DE相交于H，連結FH，F(xiàn)H就是適合題意的直線怎樣證明SG/FH？只需證明H是CG的中點證法1：連結CG交DE于點H，DE是ABC的中位線，DE/AB在ACG中，D是AC的中點，且DH/AG，H為CG的中點FH是SCG的中位線，F(xiàn)H/SG又SG平面DEF，F(xiàn)H平面DEF，SG/平面DEF分析2：要證明SG/平

3、面DEF，只需證明平面SAB/平面DEF，要證明平面DEF/平面SAB，只需證明SA/DF，SB/EF而SA/DF，SB/EF可由題設直接推出證法2：EF為SBC的中位線，EF/SBEF平面SAB，SB平面SAB，EF/平面SAB同理：DF/平面SAB，EFDFF，平面SAB/平面DEF，又SG平面SAB，SG/平面DEF例11試證經過平面外一點有且只有一個平面和已知平面平行已知：A平面，求證：過A有且只有一個平面分析：“有且只有”要準確理解，要先證這樣的平面是存在的，再證它是惟一的，缺一不可證明：在平面內任作兩條相交直線a和b，則由A平面知，Aa，Ab點A和直線a可確定一個平面M，點A和直線

4、b可確定一個平面N在平面M、N內過A分別作直線a a，bb，故a、b是兩條相交直線，可確定一個平面a ，a，a a，a同理b又a，b，a bA，所以過點A有一個平面假設過A點還有一個平面，則在平面內取一直線c，Ac，點A、直線c確定一個平面，由公理2知：m，n，mc，nc，又Am，An，這與過一點有且只有一條直線與已知直線平行相矛盾，因此假設不成立，所以平面只有一個所以過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行例9如圖所示，平面平面，點A、C，點B、D，ABa是、的公垂線，CD是斜線若ACBDb，CDc，M、N分別是AB和CD的中點，(1)求證：MN；(2)求MN的長9分析：(1)要證MN，取

5、AD的中點P，只要證明MN所在的平面PMN為此證明PM，PN即可(2)要求MN之長，在CMA中，CM、CN的長度易知，關鍵在于證明MNCD，從而由勾股定理可以求解證明：(1)連結AD，設P是AD的中點，分別連結PM、PNM是AB的中點，PMBD又BD，PM同理N是CD的中點，PNACAC，PN，PNPMP，平面PMNMN平面PMN，MN說明：(1)證“線面平行”也可以先證“面面平行”，然后利用面面平行的性質，推證“線面平行”，這是一種以退為進的解題策略(2)空間線段的長度，一般通過構造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理來求解(3)面面平行的性質：面面平行，則線面平行；面面平行，則被第三個平面所

6、截得的交線平行8.設平面平面，平面平面，且、分別與相交于a、b，ab求證：平面平面分析：要證明兩平面平行，只要設法在平面上找到兩條相交直線，或作出相交直線，它們分別與平行（如圖）證明：在平面內作直線PQ直線a，在平面內作直線MN直線b平面平面，PQ平面，MN平面，PQMN又ab，PQaQ，MNbN，平面平面說明：如果在、內分別作PQ，MN，這樣就走了彎路，還需證明PQ、MN在、內，如果直接在、內作a、b的垂線，就可推出PQMN由面面垂直的性質推出“線面垂直”，進而推出“線線平行”、“線面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”其核心是要形成應用性質定理的意識，在立體幾何證明中非常重要

7、6如圖，已知矩形ABCD的四個頂點在平面上的射影分別為A，B，C，D，且A，B，C，D互不重合，也無三點共線求證：四邊形ABCD是平行四邊形證明：A A， DDA ADD 不妨設A A和DD確定平面 同理BB和CC確定平面 又A ABB，且BB A A 同理AD 又A AADA又AD，BCADBC同理AACD四邊形ABCD是平行四邊形.例4：已知平面，AB、CD為夾在，間的異面線段，E、F分別為AB、CD的中點求證： EF，EF證明：連接AF并延長交于GAGCDFAG，CD確定平面，且AC，DG，所以ACDGACFGDFACFGDFAFFG又AEBEEFBG，BG因此EF同理EF說明：本題還有

8、其它證法，要點是對異面直線的處理209. 長方體ABCDABCD中，AB與AD所成的角為，AC與BC所成的角為，AC與CD所成的角為。求證：解析：作如圖的輔助線則ABC為AB與AD所成的角ABCAB/AB/CDBC/AD，故DAC為AC與BC所成的角DACAA/DD/CC，AC/ACDCA即為AC與CD所成的角DCA在ACD和ACB中，ABCD，BCDA，ACCAACDCAB，故ABCADC，故ADC在ADC中，ADCDCADAC即：231.如圖235：在空間四邊形ABCD中，已知BCAC，ADBD，引BECD，E為垂足，作AHBE于H，求證：AH平面BCD。解析： 要證AH平面BCD，只須利

9、用直線和平面垂直的判定定理，證AH垂直于平面BCD中兩條相交直線即可。證明:取AB中點F，連結CF、DF，ACBC，CFAB，又ADBD，DFAB，AB平面CDF，又CD平面CDF，CDAB又CDBE，CD平面ABE，CDAH又AHBE，AH平面BCD。點評:證明線面垂直，需轉化為線線垂直，而線線垂直，又可通過證線面垂直來實現(xiàn)。在這里，定義可以雙向使用，即直線a垂直于平面內的任何直線，則a，反之，若a，則a垂直于平面內的任何直線。153. 已知矩形ABCD的邊AB，BCa，PA平面ABCD，PA1，問BC邊上是否存在點Q，使得PQQD，并說明理由.解析：連接AQ，因PA平面ABCD，所以PQQ

10、DAQQD，即以AD為直經的圓與BC有交點當ADBCaAB1,即a1時，在BC邊上存在點Q，使得PQQD當0<a<1時，在BC邊上不存在點Q，使得PQQD88. 已知：直線a平面求證：經過a和平面平行的平面有且僅有一個證：過a作平面與交于a，在內作直線b與a相交，在a上任取一點P，在b和P確定的平面內，過P作bbb在外，b在內， b而a a，b確定的平面過a且平行于 過a，b的平面只有一個， 過a平行于平面的平面也只有一個95. 已知：ABCD是矩形，SA平面ABCD，E是SC上一點求證：BE不可能垂直于平面SCD解析：用到反證法，假設BE平面SCD，CD面SCD，BECD ABC

11、D；ABBE ABSB，這與RtSAB中SBA為銳角矛盾 BE不可能垂直于平面SCD110. 已知：AB與CD為異面直線，ACBC，ADBD求證：ABCD說明：（1）應用判定定理，掌握線線垂直的一般思路（2）思路：欲證線線垂直，只需證線面垂直，再證線線垂直，而由已知構造線線垂直是關鍵（3）分析等腰三角形三線合一的性質構造圖形，找到證明方法證明：如圖，取AB中點E，連結CE、DEACBC，E為AB中點CEAB同理DEAB，又CEDEE，且CE平面CDE，DE平面CDEAB平面CDE又CD平面CDEABCDBCD111. 兩個相交平面a、b 都垂直于第三個平面g ，那么它們的交線a一定和第三個平面

12、垂直證明：在g 內取一點P，過P作PA垂直a 與g 的交線；過P作PB垂直b 與g 的交線 ag 且bg PAa且PBb PAa且PBa ag36. 已知ABC三邊所在直線分別與平面交于P、Q、R三點，求證：P、Q、R三點共線。解析：A、B、C是不在同一直線上的三點過A、B、C有一個平面又ABp，且AB點P且Pl，則Pl同理Ql，RlP、Q、R三點共線本題主要考查用平面公理和推論證明共線問題的方法37. 已知：平面a，b，baA，c且ca.求證：b、c是異面直線解析：反證法：若b與c不是異面直線，則bc或b與c相交(1)bc與baA矛盾(2)b與c相交于B矛盾323. 如圖，在正四棱錐SABC

13、D中，P在SC上，Q在SB上，R在SD上，且SPPC12，SQSB23，SRRD21.求證：SA平面PQR.解析：根據(jù)直線和平面平行的判定定理，必須在平面PQR內找一條直線與AS平行即可.證：連AC、BD，設交于O，連SO，連RQ交SO于M，取SC中點N，連ON，那么ONSA.SQ:SBSR:SDRQBDSM:SO2:3而SP:SN2:3SM:SOSP:SN PMONSAON.SAPM,PM平面PQR SA平面PQR.評析：利用平幾中的平行線截比例線段定理.三角形的中位線性質等知識促成“線線平行”向“線面平行”的轉化.如圖,在長方體ABCD-ABCD中求證:平面BCD平面ABD如圖,設E,F,

14、E,F分別是長方體ABCDABCD的棱AB,CD,AB,CD的中點. 求證:平面BF平面ED 在正方體ABCDABCD中，M、N、P分別是AD、BD和BC的中點，求證：平面MNP平面CCDD畫圖：a，a，b ab如圖，在長方體ABCDABCD中，E為DD的中點。試判斷BD與平面AEC的位置關系，并說明理由。 如圖，在三棱柱ABCABC中，D是AC的中點。求證：AB/平面DBC如圖，在正方體ABCDABCD中，E、F分別是棱BC與CD的中點。求證：EF/平面BDDB如圖 , 正方體 AC 中，點N在 BD上,點M在BC上，且CM DN，求證: MN / 平面AABB。一直線分別平行于兩個相交平面

15、，則這條直線與它們的交線平行.已知：a，l，l。求證：la.求證：如果兩條平行線中的一條和一個平面相交，那么另一條也和這個平面相交.已知：ab,aA，求證：b和相交.證明：假設b或b.若b，ba，a.這與aA矛盾，b不成立.若b，設過a、b的平面與交于c.b,bc,又ab aca這與aA矛盾.b不成立.b與相交.如圖，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形，求證：(1)AB平面EFGH；(2)CD平面EFGH證明：(1)EFGH為平行四邊形，EFHG，HG平面ABD，EF平面ABD.EF平面ABC，平面ABD平面ABCAB.EFAB，AB平面EFGH.(2)同理可證：CD

16、EH，CD平面EFGH.評析：由線線平行線面平行線線平行.已知正方體ABCDABCD中，面對角線AB、BC上分別有兩點E、F且BECF求證：EF平面AC.解析： 如圖，欲證EF平面AC，可證與平面AC內的一條直線平行，也可以證明EF所在平面與平面AC平行.證法1 過E、F分別做AB、BC的垂線EM、FN交AB、BC于M、N，連接MNBB平面AC BBAB，BBBCEMAB，F(xiàn)NBCEMFN，ABBC，BECFAEBF又BABCBC45°RtAMERtBNFEMFN四邊形MNFE是平行四邊形EFMN又MN平面ACEF平面AC證法2 過E作EGAB交BB于G，連GFBE:BABG:BBB

17、ECF，BACBCF:CBBG:BBFGBCBC又EGFGG,ABBCB平面EFG平面AC又EF平面EFGEF平面AC如圖，ABCD和ABEF均為平行四邊形，M為對角線AC上的一點，N為對角線FB上的一點，且有AMFNACBF，求證：MN平面CBE.解析：欲證MN平面CBE，當然還是需要證明MN平行于平面CBE內的一條直線才行.題目上所給的是線段成比例的關系，因此本題必須通過三角形相似，由比例關系的變通，才能達到“線線平行”到“線面平行”的轉化.證：連AN并延長交BE的延長線于P. BEAF， BNPFNA. FN:NBAN:NP，則FN:(FNNB)AN:(ANNP即FN:FBAN:AP又A

18、M:FNAC:BF，AM:ACFN:BFAM:ACAN:AP MNCP，CP平面CBE. MN平面CBE如圖，四棱錐ADBCE中，O為底面正方形DBCE對角線的交點，F(xiàn)為AE的中點. 求證: AB/平面DCF.09已知三棱錐SABC中，ABC90°，側棱SA底面ABC，點A在棱SB和SC上的射影分別是點E、F。求證EFSC。分析：A、E、F三點不共線，AFSC，要證EFSC，只要證SC平面AEF，只要證SCAE（如圖）。又BCAB，BCSA，BC平面SAB，SB是SC在平面SAB上的射影。只要證AESB（已知），EFSC。10設矩形ABCD，E、F分別為AB、CD的中點，以EF為棱將

19、矩形折成二面角AEFC(如圖。求證：平面ABE平面C。分析一（縱向轉化）：AEDF，AE 平面CDF， AE平面C.同理，BE平面CDF，又AEBE，平面AB平面CDF。分析二（橫向轉化）：AEEF，B1EEF，且AEBEE，EF平面CDF。同理，EF平面CDF 。平面ABE平面CDF。06如圖，在三棱錐S-ABC中，OA=OB，O為BC中點，SO平面ABC，E為SC中點，F(xiàn)為AB中點（1）求證：OE平面SAB；（2）求證：平面SOF平面SAB考點：平面與平面垂直的性質；直線與平面平行的判定專題：證明題分析：（1）由O為BC中點，E為SC中點，可以得出OESB，下用線面平行的判斷定理證OE平面

20、SAB；（2）用面面垂直的判定定理證明平面SOF平面SAB先證AB平面SOF再由面面垂直的判定定理證明結論證明：（1）取AC的中點G，連接OG，EG，OGAB，EGAS，EGOG=G，SAAB=A，平面EGO平面SAB，OE平面OEGOE平面SAB（2）SO平面ABC，SOOB，SOOA，又OA=OB，SA²=SO²+OA²，SB²=SO²+OB²，SA=SB，又F為AB中點，SFAB，又SOAB，SFSO=S，AB平面SOF，AB平面SAB，平面SOF平面SAB點評：本題考查線面平行的判定定理與面面垂直的判定定理，主要訓練答題都對兩

21、個定理掌握的程度及運用的格式07如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側面PAB是等邊三角形，且側面PAB底面ABCD，（1）求證：BC側面PAB；（2）求證：側面PAD側面PAB考點：平面與平面垂直的性質；直線與平面垂直的判定；平面與平面垂直的判定專題：證明題分析：（1）由于側面PAB底面ABCD，直接利用面面垂直的性質可得BC側面PAB（2）由（1）和BCAD得AD側面PAB，利用面面垂直的判定可得側面PAD側面PAB（1）證明：側面PAB底面ABCD，且側面PAB與底面ABCD的交線是AB，在矩形ABCD中，BC側面PAB，（2）解：在矩形ABCD中，ADBC，BC側面PAB，AD側面P

22、AB，又AD平面PAD，側面PAD側面PAB點評：本題考查了面面垂直的判定定理和性質定理，它們是實現(xiàn)線面垂直和面面垂直之間轉化的橋梁，本題是個基礎題1.已知直線a平面，直線a平面，平面平面b，求證a/b10如圖，已知空間四邊形ABCD中，BCAC，ADBD，E是AB的中點。求證：（1）AB平面CDE;（2）平面CDE平面ABC。 證明：（1）BCAC且AEBE有CEAB同理，ADBD且AEBE有DEAB 又CEDEE AB平面CDE（2）由（1）有ABCDE又AB平面ABC， 平面CDE平面ABC考點：線面垂直，面面垂直的判定11如圖，在正方體ABCDABCD中，E是AA的中點，求證： AC平

23、面BDE。證明：連接AC交BD于O，連接EO，E為AA的中點，O為AC的中點EO為三角形AAC的中位線 EOAC又EO在平面BDE內，AC在平面BDE外AC平面BDE 考點：線面平行的判定12已知ABC中ACB90°,SA平面ABC,ADSC，求證：AD平面SBC證明：因ACB90°BCAC 又SA平面ABC有 SABC 有BC平面SAC BCAD又SCAD，SCBCC，AD平面SBC考點：線面垂直的判定13已知正方體ABCDABCD，O是底ABCD對角線的交點.求證：() CO面ABD；(2)AC面ABD 證明：（1）連結AC，設ACBDO，連結AO ABCDABCD是正

24、方體 所以 AACC是平行四邊形ACAC且 ACAC 又O，O分別是AC，AC的中點，OCAO且OCAOAOCO是平行四邊形 COAO，AO面ABD，CO面ABD，CO面ABD（2）因CC面ABCD 有CCBD 又ACBD， 有BD面ABC 即ACBD同理可證ACA D， 又BDA DD故AC面ABD 考點：線面平行的判定（利用平行四邊形），線面垂直的判定14正方體ABCDABCD中，求證：（1）AC平面BDDB；（2）BD平面ACB.(2)連接AB，ABAB，ABAD，ADAD，ABAD，AD與AB是平面ABD內交線，ABBD又ACBD的射影BD，ACBD，BD平面ACB考點：線面垂直的判定

25、15證明：在正方體ABCDABCD中，AC平面BCD證明：連結AC因BDAC AC為AC在平面AC上的射影BDACBCAC在平面BCBC上的射影BCAC，AC平面BCD考點：線面垂直的判定，三垂線定理16如圖，在正方體ABCDABCD中，E是AA的中點.（1）求證：AC平面BDE；（2）求證：平面AAC平面BDE.證明：（1）設ACBDOE、O分別是AA、AC的中點，ACEO又AC平面BDE，EO平面BDE，有AC平面BDE（2）AA平面ABCD，BD平面ABCD，AABD又BDAC，ACAAA，有BD平面AAC，BD平面BDE，有平面BDE平面AAC考點：線面平行的判定（利用三角形中位線），

26、面面垂直的判定17如圖，在正方體ABCDABCD中，E、F、G分別是AB、AD、CD的中點求證：平面DEF平面BDG.考點：線面平行的判定（利用三角形中位線）18已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，PAAD4，E為BC的中點（1）求證：DE平面PAE；（2）求直線DP與平面PAE所成的角證明：在ADE中AEDEPA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE又PAAEA，有DE平面PAE （2）DPE為DP與平面PAE所成的角DPE30°考點：線面垂直的判定,構造直角三角形19如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是DAB60°且邊長為a的菱形，側面PAD是等邊三角

27、形，且平面PAD垂直于底面ABCD（1）若G為AD的中點，求證：BG平面PAD；（2）求證：ADPB；（3）求二面角ABCP的大小證明：（1）ABD為等邊三角形且G為AD的中點，BGAD又平面PAD平面ABCD，BG平面PAD（2）PAD是等邊三角形且G為AD的中點，ADPG且ADBG，PGBGG，有AD平面PBG，PB平面PBG，有ADPB（3）由ADPB，ADBC，有BCPB又BGAD，ADBC，有BGBCPBG為二面角ABCP的平面角在RtPBG中，PGBG，有PBG45°考點：線面垂直的判定,構造直角三角形,面面垂直的性質定理，二面角的求法（定義法）20如圖，在三棱錐BCD中

28、，BCAC，ADBD，作BECD，為垂足，作AHBE于求證：AH平面BCD證明：取AB的中點，連結CF，DFACBC，CFABADBD，DFAB又CFDFF，AB平面CDFCD平面CDF，CDAB又CDBE，BEABBCD平面ABE，CDAHAHCD，AHBE，CDBEE AH平面BCD考點：線面垂直的判定22如圖，P是ABC所在平面外的一點，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC求證：BCAC分析：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應將兩條直線中的一條納入一個平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直證明：在平面PAC內作ADPC，交PC于D因為平面PAC平面

29、PBC于PC，AD平面PAC，且ADPC，所以AD平面PBC又因為BC平面PBC，于是有ADBC(1)另外PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC(2)由(1)(2)及ADPAA，可知BC平面PAC因為AC平面PAC，所以BCAC說明：在空間圖形中，高一級的垂直關系中蘊含著低一級的垂直關系，通過本題可以看到，面面垂直線面垂直線線垂直23如圖，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的平面，C是圓周上異于A、B的任意一點，求證：平面PAC平面PBC分析：證明面面垂直的有兩個依據(jù)，一是證明二面角的平面角為直角，二是利用兩個平面垂直的判定定理由于C點的任意性，用方法一的可能性不大，所以要尋求線面垂直證明

30、：因為AB是O的直徑，C是圓周上的點，所以有BCAC因為PA平面ABC，BC平面ABC，則PABC由及ACPAA，得BC平面PAC因為BC平面PBC，有平面PAC平面PBC說明：低一級的垂直關系是判定高一級垂直關系的依據(jù)，根據(jù)條件，由線線垂直線面垂直面面垂直通過這個例題展示了空間直線與平面的位置關系的內在聯(lián)系，垂直關系的判定和性質共同構成了一個完整的知識體系如圖，在正方體ABCDABCD中，E是棱BC的中點。（）求證：BD平面CDE；（2）試在棱CC上求一點P，使得平面ABP平面CDE；分析：（1）設法在平面DEC上找出一條直線平行BD，連CD于O點，連OE即可。（2）要證兩個面垂直，必須先證

31、到線面垂直。由已知易證CEAB，以此過B點作直線BPCE即可找到P點。（3）要設法作出二面角的平面角。證明： （2）過B點作BPCE，交CC于P點。在正方形BCCB中，易證RtBCPRtCCE，得P是CC的中點。因為AB平面BC，CE平面BC所以ABCE又因為CEBP，所以CE平面ABP所以平面ABP平面CDE故取CC的中點P，就有平面ABP平面CDE評析：在（1）小題中關鍵是找出OE，最容易誤用OC代替OE；在（2）小題中如果不能從已知面關系中合理地推測P點的位置，或不能作出正確的輔助面都會使解題思路受阻。01.如圖，已知P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，M為PB的中點，求證：PD/平面

32、MAC證明：連接AC、BD交點為O，連接MO，則MO為BDP的中位線，PD/MOPD平面MAC，MO平面MAC，PD/平面MAC02.如圖，在正方體ABCDABCD中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CD的中點，求證：EF平面BBDD03如圖，在正方體ABCDABCD中，試作出過AC且與直線DB平行的截面，并說明理由04如圖，在正方體ABCDABCD中，求證：平面ABD/平面CDB05如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點求證：MN/平面PAD06如圖，在直三棱柱ABCABC中ACB90°，E，F(xiàn)，G分別是AA，AC，BB的中點，且CGCG.()求證：CG

33、平面BEF；()求證：CG平面ACG.分析：(1)在平面BEF中找一線CG，連接AG，交BE于D，四邊形AEGB是矩形，DFCG。(2) CGCG，且AC平面BCBCCGAC， 又CG平面ACG，得證。07已知三棱錐SABC中，ABC90°，側棱SA底面ABC，點A在棱SB和SC上的射影分別是點E、F。求證EFSC。分析：A、E、F三點不共線，AFSC，要證EFSC，只要證SC平面AEF，只要證SCAE（如圖）。又BCAB，BCSA，BC平面SAB，SB是SC在平面SAB上的射影。只要證AESB（已知），EFSC。08設矩形ABCD，E、F分別為AB、CD的中點，以EF為棱將矩形折成

34、二面角AEFC(如圖)。求證：平面ABE平面CDF。分析一（縱向轉化）：AEDF，AE平面CDF， AE平面CDF同理，BE平面CDF，又AEBEE，平面ABE平面CDF。分析二（橫向轉化）：AEEF，BEEF，且AEBEE，EF平面CDF。同理，EF平面CDF 。平面ABE平面CDF。16. 已知：平面a，b，baA，c，c/a。求證：b、c是異面直線解析：反證法：若b與c不是異面直線，則bc或b與c相交如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C，且CMDN，求證：MN平面AA1B1B.如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，M、N分別為面對角線AD1、

35、BD上的點，且AMBNx.(1)求證：MN平面CDD1C1. (2)求證：MNAD.(3)當x為何值時，MN的長取得最小值，并求出這個最小值.在四棱錐P-ABCD中，PBC為正三角形，AB平面PBC，ABCD，AB½DC，E為PD中點.(1)求證：AE平面PBC；(2)求證：AE平面PDC.證明(1):取PC的中點F,連接EF, 則EFCD，EF½DC,所以有EFAB且EFAB, 則四邊形ABFE是平行四邊形.所以AEBF, 因為AE不在平面PBC內,所以AE平面PBC. 證明(2) 因為AB平面PBC，ABCD,所以CD平面PBC，CDBF.由(1)得,BFPC, 所以B

36、F平面PDC， 又AEBF,所以AE平面PDC如圖，M，N，K分別是正方體ABCDABCD的棱AB，CD，CD的中點(1)求證：AN/平面AMK；(2)求證：平面ABC平面AMK證明：（1）AN/ AK（2）MKAB，MKBC如圖，設E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是正方體ABCDABCD所在棱上的中點，求證：E，F(xiàn)，G，H，P，Q共面.(10·山東)在如圖所示的幾何體中，四邊形 ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，且ADPD2MA求證：平面EFG平面PDC；(10·北京)如圖，四棱錐SABCD的底面是矩形，SA底面ABCD，P為

37、BC邊的中點，AD2，SAAB1.(1)求證：PD平面SAP；(2)求三棱錐SAPD的體積解析(1)SA平面ABCD，PD平面ABCD，SAPD，在矩形ABCD中，AD2，AB1，P為BC中點，APPD，SAAPA，PD平面SAP.(10·山東)如圖，矩形ABCD中，AD平面ABE，AEEBBC2，F(xiàn)為CE上的點，且BF平面ACE.求證：AE平面BCE；解析AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE，AEBC，又BF平面ACE，AEBF，又BFBCB，AE平面BCE.如圖，P是ABC所在平面外的一點，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC求證BCAC分析：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應將兩條直線中的一條納入一個平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直證明：在平面PAC內作ADPC，交PC于D因為平面PAC平面PBC于PC，AD平面PAC，且ADPC，所以AD平面PBC又因為BC平面PBC，于是有ADBC另外PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC由及ADPAA，可知BC平面PAC因為AC平面PAC，所以BCAC說明：在空間圖形中，高一級的垂直關系中蘊含著低一級的